2离散时间LT系统:卷积和 ( Discrete-Time LTI Systems: The Convolution Sum) 用单位脉冲表示离散时间信号 离散时间信号中最简单的是δ(河以由它的线性组 合构成,l即7 l(n)=∑(k)=∑O(n-k) k=0 对任何离散时间信号x(果每次从其中取出一个 点,就可以将信号拆开来,每次取出的一个点都可以 表示为不同加权、不同位置的单位脉冲
离散时间信号中,最简单的是 ,可以由它的线性组 合构成 ，即： 2.1 离散时间LTI系统：卷积和 ( ) n u n( ) 0 ( ) ( ) ( ) n k k u n k n k =− = = = − 一. 用单位脉冲表示离散时间信号 对任何离散时间信号 ,如果每次从其中取出一个 点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点都可以 表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。 x n( ) （Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum）
x回 x28n+2 3-201 3-2-10 x-11n+1 43-2102 x[2]8(n-21 x(11bn-1 432-1 4-3-2-1012
于是有:x(n)=∑x(k)6(m-k) k=-∞ 表明:任何信号x(葪可以被分解成移位加权的单 位脉冲信号的线性组合。 二.卷积和( Convolution sum) 如果一个线性系统对6(m.响应是kh(n) 由线性特性就有系统对任何输入x(的响应为 y(n)=∑x)h(n) 若系统具有时不变性,即: 若δ(n)→>h(n),则6(n-k)→>h(n-k)
二. 卷积和（Convolution sum） 于是有： ( ) ( ) ( ) k x n x k n k =− = − 表明：任何信号 都可以被分解成移位加权的单 位脉冲信号的线性组合。 x n( ) 如果一个线性系统对 的响应是 ， 由线性特性就有系统对任何输入 的响应为： ( ) n k − ( ) h n k x n( ) ( ) ( ) ( ) k k y n x k h n =− = 若系统具有时不变性，即： 若 ( ) ( ) n h n → ，则 ( ) ( ) n k h n k − → −
因此,只要得到了LT系统对d(的响应h(n) 单位脉冲响应( impulse response), 就可以得到LT系统对任何辅入信号x(响应: ● y(n)=>x(k)h(n-k)=x(n)*h(n) 这表明:一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲 响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷 积和( TThe convolution sum)
因此，只要得到了LTI系统对 ( ) 的响应 n h n( ) 单位脉冲响应( impulse response )， 就可以得到LTI系统对任何输入信号 x n( ) 的响应： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k y n x k h n k x n h n =− = − = 这表明：一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲 响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷 积和（The convolution sum）
卷积和的计算 计算方法: 有图解法、列表法、解析法(包括数值解法)。 运算过程: 将一个信号x动,另一个信号经反转后成 为h(-k),再随参变量移位。在每个的情况 下,将x(k)与h(n-k)对应点相乘,再把乘积的 各点值累加,即得到n时刻的y(n)。 例1:x(n)=a"l(n)0<a<1h(m)=l(m)
三. 卷积和的计算 计算方法： 有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。 运算过程： 将一个信号 不动，另一个信号经反转后成 为 ,再随参变量 移位。在每个 值的情况 下，将 与 对应点相乘，再把乘积的 各点值累加，即得到 时刻的 。 x k( ) h k ( ) − n n x k( ) h n k ( ) − n y n( ) 例1： ( ) ( ) n x n u n = 0 1 h n u n ( ) ( ) =