D0I:10.13374/i.issnl00113.2009.04.022 第31卷第4期 北京科技大学学报 Vol.31 No.4 2009年4月 Journal of University of Science and Technology Beijing Apr.2009 Riccati方程的降阶与广义系统的最优预见控制 廖福成张志刚张莹 北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要研究了一类广义离散时间线性系统的预见控制问题·首先通过对系统方程，误差向量和可预见的目标值信号取差 分，构造出一个扩大误差系统，把广义系统的预见控制问题转化为一个形式上的普通广义系统的控制问题·然后利用广义系 统最优控制理论的结果，得到广义系统的带有预见前馈补偿的控制器.同时通过详细推导，把一个阶数很高的矩阵Ri©ti方 程降为一个阶数很低的Riccati方程，从而使闭环系统可以实现. 关键词广义离散线性系统：误差系统；差分；最优预见控制：Riccati方程 分类号TP273 Reduced order of the Riccati equation and optimal preview control of singular systems LIAO Fu-cheng,ZHA NG Zhi-gang.ZHA NG Ying School of Applied Science,University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACI A preview control problem of a generalized discrete-time linear system was studied.First an extending error system was constructed by applying the difference method to the system equation.the error vector and the objective value signal.This converts the problem from a preview control problem of an extending system to a common control problem in analysis.Then.using the result of the optimal control theory of the generalized system,a controller with preview action of the generalized system was got.Also,a matrix Riccati equation was converted by decreasing its rank.which enables the closed-circular system. KEY WORDS singular discrete"time linear system:error system:difference:optimal preview control:Riccati equation 预见控制研究的基本问题是：当目标值信号的 关于广义系统的最优控制理论，可参考文献 未来值为已知时，如何对其加以利用以提高闭环系 [910],关于离散时间广义系统最优控制设计的必 统对目标值信号的跟踪性能，自从文献[1]提出预 要的基础，也可在文献[9-10]中查到 见控制问题后，已有很多学者进行了研究可.文 献[58]还把预见控制理论应用到了多采样率系统 1一类离散广义线性系统的最优预见控制 上 考虑正则线性离散时间广义系统（下式）的最优 广义系统比正常系统在结构上变得复杂而富于 预见控制问题， 新颖性，在理论研究上变得困难而更具有挑战性， Ex(k十1)=Ax(k)十Bu(k) 在正常系统预见控制理论日趋完善的基础上，把预 (1) y(k)=CEx(k) 见控制理论与广义系统相结合就当然地被提了出 其中，x(k)∈R"是状态向量，u(k)∈R'是输入向 来，本文首先把广义离散线性系统理论和预见控制 量，y(k)∈Rm是输出向量，E、A、B和C是具有适 理论相结合，通过推广的误差系统方法，对一类广义 当维数的常数矩阵，特别地，E为奇异矩阵，满足 系统给出最优预见控制器，然后简化其中的高阶矩 rank(E)=qn. 阵Riccati方程，使得结果具有实用性， 用R(k)表示m维目标值向量，它是阶跃信 收稿日期：2009-01-07 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。10671011) 作者简介：廖福成(1957一)，男，教授，博士生导师，E mail:feliao@sas.ustb.edu:cm
Riccati 方程的降阶与广义系统的最优预见控制 廖福成 张志刚 张 莹 北京科技大学应用科学学院北京100083 摘 要 研究了一类广义离散时间线性系统的预见控制问题．首先通过对系统方程误差向量和可预见的目标值信号取差 分构造出一个扩大误差系统把广义系统的预见控制问题转化为一个形式上的普通广义系统的控制问题．然后利用广义系 统最优控制理论的结果得到广义系统的带有预见前馈补偿的控制器．同时通过详细推导把一个阶数很高的矩阵 Riccati 方 程降为一个阶数很低的 Riccati 方程从而使闭环系统可以实现． 关键词 广义离散线性系统；误差系统；差分；最优预见控制；Riccati 方程 分类号 TP273 Reduced order of the Riccati equation and optimal preview control of singular systems LIA O Fu-chengZHA NG Zh-i gangZHA NG Y ing School of Applied ScienceUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT A preview control problem of a generalized discrete-time linear system was studied．First an extending error system was constructed by applying the difference method to the system equationthe error vector and the objective value signal．T his converts the problem from a preview control problem of an extending system to a common control problem in analysis．T henusing the result of the optimal control theory of the generalized systema controller with preview action of the generalized system was got．Alsoa matrix Riccati equation was converted by decreasing its rankwhich enables the closed-circular system． KEY WORDS singular discrete-time linear system；error system；difference；optimal preview control；Riccati equation 收稿日期：2009-01-07 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．10671011） 作者简介：廖福成（1957—）男教授博士生导师E-mail：fcliao＠sas．ustb．edu．cn 预见控制研究的基本问题是：当目标值信号的 未来值为已知时如何对其加以利用以提高闭环系 统对目标值信号的跟踪性能．自从文献［1］提出预 见控制问题后已有很多学者进行了研究［2—6］．文 献［5—8］还把预见控制理论应用到了多采样率系统 上． 广义系统比正常系统在结构上变得复杂而富于 新颖性在理论研究上变得困难而更具有挑战性． 在正常系统预见控制理论日趋完善的基础上把预 见控制理论与广义系统相结合就当然地被提了出 来．本文首先把广义离散线性系统理论和预见控制 理论相结合通过推广的误差系统方法对一类广义 系统给出最优预见控制器．然后简化其中的高阶矩 阵 Riccati 方程使得结果具有实用性． 关于广义系统的最优控制理论可参考文献 ［9—10］关于离散时间广义系统最优控制设计的必 要的基础也可在文献［9—10］中查到． 1 一类离散广义线性系统的最优预见控制 考虑正则线性离散时间广义系统（下式）的最优 预见控制问题 Ex（ k＋1）＝ Ax（ k）＋Bu（ k） y（ k）＝CEx（ k） （1） 其中x（ k）∈R n 是状态向量u（ k）∈R r 是输入向 量y（ k）∈R m 是输出向量E、A、B 和 C 是具有适 当维数的常数矩阵．特别地E 为奇异矩阵满足 rank（ E）＝q＜ n． 用 R（ k）表示 m 维目标值向量它是阶跃信 第31卷 第4期 2009年 4月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．31No．4 Apr．2009 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2009．04．022
第4期 廖福成等：Riccati方程的降阶与广义系统的最优预见控制 .521. 号.并要求 0] 引入二次型性能指标函数： J= 3.[e0e()+△r(k)Hm(1= 「B1 k=一MH C=[C10], 并且路≠0，政+1=0. 2[X(x(k)+△r()a(k](3) k=-MR 给出以下假设 其中，Q。为mXm正定矩阵，H为rXr正定矩 假设1存在复数入且入≠0，≠1使得dt(入E一 阵，2= A)≠0，且AE=EA. 0 是(m十n)X(m+十n)半正定矩 这个假设比广义系统理论中的正则性假设稍 阵 强，是为了既保证系统(1)正则，又保证可以进行后 再考虑可预见的目标值信号R()·令 面的推导而给出的 △R(k+1) 假设2系统(1)是R能稳和能检测的， △R(k+2) XR(k) 对正常系统，能稳性和能检测性假设是基本的， 推广到广义系统也一样. △R(k十MR) 「0 Im 0 假设3矩眸E … 0 行满秩. 这个假设在保证扩大误差系统R能稳方面是 AR= 0 重要的，对正常系统预见控制也有类似要求，见文献 [2] LO 0 假设4目标值信号R(k)的预见步数为Mr, 考虑到假设4，就得到 即设在当前时刻k,R(k)的MR步未来值R(k十 E0Xo(k十1)=电oXao(k)十G0△u(k)(④） 1),R(k十2)，，R(k十Mr)为已知，而且 e(k)=CRoXRO(k) R(k十j)=R(k+MR),j=MR十1，MR+2,… Xr(k〗 XR(k) ImMg 0 此假设是预见控制理论的标准假设，假设前一 其中， e(k) ERo= 半的意义是，在当前时刻，目标值信号有Mr步可预 L Xo(k) 0 Eo L△x(k) 见：后一半采用了预见控制中常用的手法，认为Mr AR 0 XR() 步之后的不可预见目标值信号为常数 ,X0(k)= L GPR L Xo(k) 目标值信号与系统输出之间的差值定义为系统 0 的误差： GPR=[GR 0..0].CRO=[0 Co] G e(k)=R(k)一y(k) 系统(4)是一个广义系统，它就是我们用于进 本文的目的是设计出一个带有预见补偿的最优 行最优预见控制设计的系统，我们称它为广义扩大 控制器，使得闭环系统的输出能够跟踪目标值信号， 「101 即： 误差系统：注意到E®o仍具有0E的形式 lim e()=lim(y(k)-R())=0 利用类似于文献[5一8]的方法可以证明，在所 首先用差分算子△作用到式e(k)=R(k)一 给假设下，系统(4)是正则的且满足EoΦo=Φo y(k)两端和系统(1)上得到误差系统： Eo,系统(4)的特点是：体现预见信息的XR(k)是 Eo Xo(+1)=Xo(k)+GAu()+GRAR(+1) 状态向量的一部分，而且(4)己具有(1)的形式和性 e()=CoXo() 质 (2) 把性能指标函数用系统(4)的状态向量表示即 e(k) 为： 其中，X0(k)= Φ= L△x(k) L0 E J- 2[xo(k)2xo(k)十△r(k)m(k], k=-M十1 ,Co=[1 其中，2是(mMr十m十n)X(mMr十m十n)矩
号．并要求 E＝ I 0 0 E2 A＝ A1 0 0 A2 B＝ B1 B2 C＝［ C1 0］ 并且 E h 2≠0E h＋1 2 ＝0． 给出以下假设． 假设1 存在复数λ ～且λ ～≠0λ ～≠1使得 det（λ ～ E— A）≠0且 AE＝ EA． 这个假设比广义系统理论中的正则性假设稍 强是为了既保证系统（1）正则又保证可以进行后 面的推导而给出的． 假设2 系统（1）是 R—能稳和能检测的． 对正常系统能稳性和能检测性假设是基本的 推广到广义系统也一样． 假设3 矩阵 E— A B CE 0 行满秩． 这个假设在保证扩大误差系统 R—能稳方面是 重要的．对正常系统预见控制也有类似要求见文献 ［2］． 假设4 目标值信号 R（ k）的预见步数为 MR 即设在当前时刻 kR（ k）的 MR 步未来值 R（ k＋ 1）R（ k＋2）…R（ k＋ MR）为已知而且 R（ k＋ j）＝ R（ k＋ MR）j＝ MR＋1MR＋2… 此假设是预见控制理论的标准假设．假设前一 半的意义是在当前时刻目标值信号有 MR 步可预 见；后一半采用了预见控制中常用的手法认为 MR 步之后的不可预见目标值信号为常数． 目标值信号与系统输出之间的差值定义为系统 的误差： e（ k）＝ R（ k）—y（ k）． 本文的目的是设计出一个带有预见补偿的最优 控制器使得闭环系统的输出能够跟踪目标值信号 即： limk→∞ e（ k）＝limk→∞ （y（ k）— R（ k））＝0． 首先用差分算子Δ作用到式 e（ k）＝ R（ k）— y（ k）两端和系统（1）上得到误差系统： E0X0（ k＋1）＝ΦX0（ k）＋ GΔu（ k）＋ GRΔR（ k＋1） e（ k）＝ C0X0（ k） （2） 其 中X0（ k ） ＝ e（ k） Δx（ k） E0＝ Im 0 0 E Φ＝ Im —CA 0 A G＝ —CB B GR＝ Im 0 C0＝［ I 0］． 引入二次型性能指标函数： J＝ ∑ ∞ k＝－MR＋1 ［ e T （ k） Qee（ k）＋Δu T （ k） Hu（ k）］＝ ∑ ∞ k＝－MR＋1 ［ X T 0（ k）ΩX0（ k）＋Δu T （ k） Hu（ k）］ （3） 其中Qe 为 m × m 正定矩阵H 为 r × r 正定矩 阵Ω＝ Qe 0 0 0 是（ m ＋ n）×（ m ＋ n）半正定矩 阵． 再考虑可预见的目标值信号 R（ k）．令 XR（ k）＝ ΔR（ k＋1） ΔR（ k＋2） ΔR（ k＋ MR） AR＝ 0 Im 0 … 0 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ 0 ⋱ Im 0 … … … 0 ． 考虑到假设4就得到 ER0XR0（ k＋1）＝ΦR0XR0（ k）＋ GR0Δu（ k） e（ k）＝CR0XR0（ k） （4） 其中 XR（ k） X0（ k） ＝ XR（ k） e（ k） Δx（ k） ER0＝ ImMR 0 0 E0 ΦR0＝ AR 0 GPR Φ XR0 （ k ） ＝ XR（ k） X0（ k） GR0 ＝ 0 G GPR＝［ GR 0 … 0］CR0＝［0 C0］． 系统（4） 是一个广义系统它就是我们用于进 行最优预见控制设计的系统．我们称它为广义扩大 误差系统．注意到 ER0仍具有 I 0 0 E2 的形式． 利用类似于文献［5—8］的方法可以证明在所 给假设下系统（4）是正则的且满足 ER0ΦR0＝ΦR0 ER0．系统（4）的特点是：体现预见信息的 XR （ k）是 状态向量的一部分而且（4）已具有（1）的形式和性 质． 把性能指标函数用系统（4）的状态向量表示即 为： J＝ ∑ ∞ k＝－MR＋1 ［ X T R0（ k）ΩXR0（ k）＋Δu T （ k） Hu（ k）］ 其中Ω 是（ mMR＋ m ＋ n）×（ mMR ＋ m ＋ n）矩 第4期 廖福成等： Riccati 方程的降阶与广义系统的最优预见控制 ·521·
522 北京科技大学学报 第31卷 阵： AR GPR 1[zw× 0 0 0 0 Φ」 0 w p] 0 0 ImM 0「AR 0 0 0n× E+鬥LGpR 为了应用广义系统最优控制的有关理论，注意 0 到(E枯)T2E2=2,我们把性能指标函数写为： Φr 0 (+1)T ∑[xo(k)()rE站Xo(k)十 =-M十1 01[ △u(k)H△u(k)] (5) B+G 对系统(4)和性能指标函数(5)应用预见控制理 论可得到下面的定理： H+[0G 0 定理1如果关于原系统(1)的假设1到假设4 成立，则使式(5)定义的性能指标函数J取最小值 07 的系统(4)的最优控制输入为： 0c]× △u(k)=FRO XRO(k) (6) 式中， FRO=-H+GRO(ER01)T PRO ERO GRO]1X Go(E)TPoE'Φro (7) 01[AR (9) 其中，Po是广义Riccati方程（下式）的正定解， (E枯2)TPR0E枯2= 详细计算并比较方程两边的对应部分知方程 (E枯2)T2E姑2+Φo(E枯)TPRoE枯Φo- (9)等价于以下三个方程： ΦRo(Et)TPoE钻'GRoH十Go(E)TX Z=[ARZ+G邵R(E成+)TW]AR十[ARwT+1+ ProE'Go-1GRo(E钻')TPRoE林④o(8) GPR(E)TPE1]GPR-LARWT E61+ 转化为系统(1)的最优控制输入，就得到需要的 GER()TPE]G[H+G ()T PEG]X 结果 G(E)T[WAR+PE GPR](10) (E+2)TW=(ET PEIGPR+ 2代数Riccati方程的分解 Φr(E路+1)TWAR-Φr(的+1)PE+1G[H十 定理1用到Riccati方程(8)的解.注意到式(8) G(6+1)TP+1G]-1G(+1)T× 中的Po是(mMR十m十n)X(mMr十m十n)矩 PE GPR+WAR] (11) 阵，如果预见步数MR较大，方程(8)就会变得无法 (+)TP瑞+2=(+)T+2+ 求解.例如，假如有200步预见，就是Mr=200,即 (+)TP+1Φ-Φr(+1)TPX 使m=1,方程(8)也有超过200个未知量.本节把 E+1G[H+G(+1)TP+1G]-1× 各矩阵进行分块处理，降低其阶数，以达到用较为低 G(E+1)TPE+1Φ (12) 价的Riccati方程的解来代替方程(8)的解的目的. 为此，先化简Riccati方程(8)，把矩阵Po分 注意式(12)本身就是一个关于P的Riccati方程，它 「ZW 07 只有m+n阶.希望用式(12)的解来表示Z和 块，令Po一LWP ,且把ERo= (+2)TW.但稍后就会发现，最优输入式(6)中不 0 需要Z,所以只须求(+2)TW.GR和AR的特殊 AR 0 0 重0一 代入(8)，得到： 结构使得求(+2)TW成为比较容易的事.把式 L GPR L ImMg ImM 0 (6)中的Fo适当分块以使得FoXo(k)能分块相 乘： 0 (+2)T P + FRO=[FRI FO]-[FR(1)FR(2).FR(MR)Fo]- . ImMg 0 为了后面的需要，设 0 的+？ (h+2)TW=[w(1)W(2)·W(Mr)]
阵： Ω＝ 0mMR 0 0 Ω ＝ 0mMR×mMR 0 0 0 Qm 0 0 0 0n× n ． 为了应用广义系统最优控制的有关理论注意 到（ E h＋2 R0 ） T ΩE h＋2 R0 ＝Ω我们把性能指标函数写为： J＝ ∑ ∞ k＝－MR＋1 ［ X T R0（ k）（ E h＋2 R0 ） T ΩE h＋2 R0 XR0（ k）＋ Δu T （ k） HΔu（ k）］ （5） 对系统（4）和性能指标函数（5）应用预见控制理 论可得到下面的定理： 定理1 如果关于原系统（1）的假设1到假设4 成立则使式（5）定义的性能指标函数 J 取最小值 的系统（4）的最优控制输入为： Δu（ k）＝FR0XR0（ k） （6） 式中 FR0＝—［ H＋ G T R0（ E h＋1 R0 ） T PR0E h＋1 R0 GR0］ —1× G T R0（ E h＋1 R0 ） T PR0E h＋1 R0 ΦR0 （7） 其中PR0是广义 Riccati 方程（下式）的正定解 （ E h＋2 R0 ） T PR0E h＋2 R0 ＝ （ E h＋2 R0 ） T ΩE h＋2 R0 ＋ΦT R0（ E h＋1 R0 ） T PR0E h＋1 R0 ΦR0— ΦT R0（ E h＋1 R0 ） T PR0E h＋1 R0 GR0｛H＋ G T R0（ E h＋1 R0 ） T× PR0E h＋1 R0 GR0｝—1G T R0（ E h＋1 R0 ） T PR0E h＋1 R0 ΦR0 （8） 转化为系统（1）的最优控制输入就得到需要的 结果． 2 代数 Riccati 方程的分解 定理1用到 Riccati 方程（8）的解．注意到式（8） 中的 PR0是（ mMR＋ m＋ n）×（ mMR＋ m ＋ n）矩 阵如果预见步数 MR 较大方程（8）就会变得无法 求解．例如假如有200步预见就是 MR＝200即 使 m＝1方程（8）也有超过200个未知量．本节把 各矩阵进行分块处理降低其阶数以达到用较为低 价的 Riccati 方程的解来代替方程（8）的解的目的． 为此先化简 Riccati 方程（8）把矩阵 PR0分 块令 PR0＝ Z W T W P 且把 ER0＝ ImMR 0 0 E0 ΦR0＝ AR 0 GPR Φ GR0＝ 0 G 代入（8）得到： ImMR 0 0 （ E h＋2 0 ） T Z W T W P ImMR 0 0 E h＋2 0 ＝ ImMR 0 0 （ E h＋2 0 ） T 0 0 0 Ω ImMR 0 0 E h＋2 0 ＋ A T R G T PR 0 ΦT ImMR 0 0 （ E h＋1 0 ） T Z W T W P × ImMR 0 0 E h＋1 0 AR 0 GPR Φ — A T R G T PR 0 ΦT ImMR 0 0 （ E h＋1 0 ） T × Z W T W P ImMR 0 0 E h＋1 0 0 G × H＋［0 G T ］ ImMR 0 0 （ E h＋1 0 ） T Z W T W P × ImMR 0 0 E h＋1 0 0 G —1 ［0 G T ］× ImMR 0 0 （ E h＋1 0 ） T Z W T W P × ImMR 0 0 E h＋1 0 AR 0 GPR Φ （9） 详细计算并比较方程两边的对应部分知方程 （9）等价于以下三个方程： Z＝［ A T RZ＋G T PR（ E h＋1 0 ） T W］ AR＋［ A T RW T E h＋1 0 ＋ G T PR（ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 ］ GPR—［ A T RW T E h＋1 0 ＋ G T PR（E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 ］ G［ H＋G T （E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 G］ —1× G T （ E h＋1 0 ） T ［ WAR＋PE h＋1 0 GPR ］ （10） （ E h＋2 0 ） T W＝ΦT （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 GPR＋ ΦT （ E h＋1 0 ） T WAR—ΦT （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 G［ H＋ G T （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 G］ —1G T （ E h＋1 0 ） T× ［ PE h＋1 0 GPR＋ WAR ］ （11） （ E h＋2 0 ） T PE h＋2 0 ＝（ E h＋2 0 ） T ΩE h＋2 0 ＋ ΦT （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 Φ—ΦT （ E h＋1 0 ） T P× E h＋1 0 G［ H＋ G T （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 G］ —1× G T （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 Φ （12） 注意式（12）本身就是一个关于 P 的 Riccati 方程它 只有 m ＋ n 阶．希望用式（12）的解来表示 Z 和 （ E h＋2 0 ） T W．但稍后就会发现最优输入式（6）中不 需要 Z所以只须求（ E h＋2 0 ） T W．GPR和 AR 的特殊 结构使得求（ E h＋2 0 ） T W 成为比较容易的事．把式 （6）中的 FR0适当分块以使得 FR0XR0（ k）能分块相 乘： FR0＝［ FR｜F0］＝［ FR（1） FR（2） … FR（ MR）｜F0］． 为了后面的需要设 （ E h＋2 0 ） T W＝［ W（1） W（2） … W（ MR）］． ·522· 北 京 科 技 大 学 学 报 第31卷
第4期 廖福成等：Riccati方程的降阶与广义系统的最优预见控制 .523. 注意到，由于 因此得到 1m001 w(1)=(+1)TP+1GR 01 E0= 010 w(2)=()2(+1)TP+1Gn 00E2 (14) 且+1=0，因而+2=0，于是 W(MR)=()M(1)T PE+1 GR 1m001T 注意，方程(1O)现在成为Z=ARZAR十Y(Y为 (+2)T= 01 0 己知矩阵)，由于Ar的特殊结构，(I一Ar)可逆且 001 +冈 ImIm……Inm Im 0T「m0 07T 0 10 010 =(+1)T. (I-AR)-1= ,从而可求得 0 00 L00+ Im 因此又有 0 (+1)TW=($+2)TW= Z=(I一AR)1Y(I-AR)-1,但不需要求Z. [W(1)W(2)·W(Me)] 3原系统的最优预见控制器 把该式连同 从式(6)解出(k),就得到原系统的带有预见 GPR=[GR 0...0], 作用的控制器. 001 注意已经求出Riccati方程(8)的解为 Z WT An= : 0 Po一wpJ Im 利用这一结果和各个有关矩阵可求得 Fro=-[H十Go(El)TX 一起代入(11)式得到： Pro钴Gro]-1Gho(El)T PgoE钴Dro= [Ww(1)W(2)…W(MR)]= -H+G()TPEG][G()T WAR+ r(+1)TP+1[Gr0…0]+ G()TPE GPRI GT(E)TPE]= ΦT[0W(1)…W(Mr-1)]- -[H+G(+1)rP+1G]1× Φ(+1)TPE+1G[H+ [G(+1)TPE+1GmGw(1)… G(+1)TPE+1G]-1G× G2(MR-1)|G(+1)TPE哈+1Φ]， {(+1)TP-[Gr0…0]+ 与Fo的分块 [0W(1).w(Mg-1)]}. FRO=[FRI FO]=[FR(1)FR(2)FR(MR)I F0]- 令 对比可知： ξ={I-G[H+ Fo=-[H+G(+1)TP+1G]-1× GTPEG]GPE G($+1)TPE+1Φ， (13) FR(j)=-[H+G (E)T PE+1G]X 注意这是一个已知矩阵，整理得： G(T)y-(+1)P+1Gm(G=1,2,…,MR) [W(1)W(2)…W(MR)]= 再注意到Xo(k)的结构，得到以下定理， (+)TPE+[GR0…0]+ 定理2如果关于原系统(1)的假设1到假设4 [0W(1)…W(Mr一1)]， 成立，则使式(5)定义的性能指标函数J取最小值 即 的系统(4)的最优控制输入为： W(1)=(+1)TP+1GR 当 W(2)=TW(1) △u(k)=FXo(k)+∑FR(U)△R(k十j) (15) W(MR)=W(MR-1) 其中
注意到由于 E0＝ Im 0 0 E ＝ Im 0 0 0 I 0 0 0 E2 且 E h＋1 2 ＝0因而 E h＋2 2 ＝0于是 （ E h＋2 0 ） T＝ Im 0 0 0 I 0 0 0 E h＋2 2 T ＝ Im 0 0 0 I 0 0 0 0 T ＝ Im 0 0 0 I 0 0 0 E h＋1 2 T ＝（ E h＋1 0 ） T． 因此又有 （ E h＋1 0 ） T W＝（ E h＋2 0 ） T W＝ ［ W（1） W（2） … W（ MR）］． 把该式连同 GPR＝［ GR 0 … 0］ AR＝ 0 Im 0 … 0 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ 0 ⋱ Im 0 … … … 0 一起代入（11）式得到： ［ W（1） W（2） … W（ MR）］＝ ΦT （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 ［ GR 0 … 0］＋ ΦT ［0 W（1） … W（ MR—1）］— ΦT （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 G［ H＋ G T （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 G］ —1G T× ｛（ E h＋1 0 ） T PE h—1 0 ［ GR 0 … 0］＋ ［0 W（1） … W（ MR—1）］｝． 令 ξ＝｛I— G［ H＋ G T （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 G］ —1G T （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 ｝Φ （13） 注意这是一个已知矩阵整理得： ［ W（1） W（2） … W（ MR）］＝ ξT （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 ［ GR 0 … 0］＋ ξT ［0 W（1） … W（ MR—1）］ 即 W（1）＝ξT （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 GR W（2）＝ξT W（1） W（ MR）＝ξT W（ MR—1） 因此得到 W（1）＝ξT （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 GR W（2）＝（ξT ） 2（ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 GR W（ MR）＝（ξT ） MR （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 GR （14） 注意方程（10）现在成为 Z＝A T RZAR＋ Y（ Y 为 已知矩阵）由于 AR 的特殊结构（ I— AR ）可逆且 （ I— AR） —1＝ Im Im … … Im ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ Im 0 … … … Im 从而可求得 Z＝（ I— A T R） —1Y（ I— AR） —1但不需要求 Z． 3 原系统的最优预见控制器 从式（6）解出 u（ k）就得到原系统的带有预见 作用的控制器． 注意已经求出 Riccati 方程（8）的解为 PR0＝ Z W T W P 利用这一结果和各个有关矩阵可求得 FR0＝—［ H＋ G T R0（ E h＋1 R0 ） T× PR0E h＋1 R0 GR0］ —1G T R0（ E h＋1 R0 ） T PR0E h＋1 R0 ΦR0＝ —［ H＋G T （E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 G］ —1［ G T （E h＋1 0 ） T WA R＋ G T （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 GPR｜G T （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 Φ］＝ —［ H＋ G T （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 G］ —1× ［ G T （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 GR G T W（1） … G T Ω（ MR—1）｜G T （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 Φ］ 与 FR0的分块 FR0＝［ FR｜F0］＝［ FR（1） FR（2） … FR（ MR）｜F0］． 对比可知： F0＝—［ H＋ G T （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 G］ —1× G T （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 Φ FR（ j）＝—［ H＋ G T （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 G］ —1× G T （ξT ） j—1（ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 GR （ j＝12…MR） 再注意到 XR0（ k）的结构得到以下定理． 定理2 如果关于原系统（1）的假设1到假设4 成立则使式（5）定义的性能指标函数 J 取最小值 的系统（4）的最优控制输入为： Δu（ k）＝F0X0（ k）＋ ∑ MR j＝1 FR（ j）ΔR（ k＋ j） （15） 其中 第4期 廖福成等： Riccati 方程的降阶与广义系统的最优预见控制 ·523·
.524 北京科技大学学报 第31卷 Fo=-[H+G(8+1TPE+1G]-1× 化为求解阶数很低的Riccati方程，相关的量都可通 G(+1)TP+1Φ (16) 过低阶Riccati方程的解计算出来，本文的结果使 Fr()=一[H+G(+1)TP$+1G]-1× 得广义系统预见控制问题变得可以实现， G()y-1(+1)TPE+1Gn(j=1,2,…,Mr) 参考文献 (17) [1]Sheridan T B.Three models of preview control.IEEE Trans 这里 Human Factors Electron:1966,7(2):91 ={1-G[H+G(+)T× [2]KatayamaT,OhkiT,Inoue T,et al.Design of an optimal con P+1G]-1G(+1)TPE+1}Φ(18) troller for a diseretetime system subject to previewable demand. Int J Control.1985.41(3):677 而P是Riccati方程 (+2)TP+2=(+2)T2E+2+ [3]Tsuchiya T,EgamiT.Digital Preview and Predictive Control. Liao F C.Translated.Beijing:Beijing Science and Technology T(+)TPE+1Φ-Φr(E路+1)TPE+1G[H+ Press,1994 G(+1)TPE+1G]-1G(+1)TP+1Φ (土谷武士，江上正·最新自动控制技术一数字预见控制， 廖福成，译，北京：北京科学技术出版社，1994) (19) [4]Liao FC.Tsuchiya T.EgamiT.et al.Unified approach to opti- 的正定解，Φ，G,Eo等如前面定义 mal preview servo systems and optimal preview FF compensated 若再对Fo分块，Fo=[F。Fx],并从式(15)解 systems.Chin J Autom,1998.10(4):329 出u(k),就得以下定理. [5]Liao F,Takaba K.Katayama T.et al.Design of an optimal pre- 定理3如果假设1到假设4成立，则使式(3) view servomechanism for discrete time systems in a multirate set- 定义的性能指标函数J取最小值的系统(1)的最优 ting.Dyn Contin Discrete Impuls Syst Ser B.2003.10(5):727 [6]Liao F C.Liu H P.Design of an optimal preview controller for a 控制输入为： kind of discretetime systems.J Univ Sci Technol Beijing. 2007,29(5):542 u()=R.台e(i)+Fx(k)+ (廖福成，刘贺平。多重采样离散时间系统的最优预见伺服控 制器设计.北京科技大学学报，2007,29(5)：542) 会空GaRt》F()+(e0 [7]Liao F C.Liu H P.Design of an optimal preview controller for a 其中，各系数矩阵由式(16)~(19)确定，初始值 kind of discretetime system with time-delay.JUnie Sci Technol Beijing,2008,30(4):452 x(0)、u(0)可任意赋值 (廖福成，刘贺平，带有状态时滞的多采样率线性离散时间系 注意，仔细分析式(20)发现，由于(k)中包含 统的最优预见控制器设计.北京科技大学学报，2008,30(4)： R.匀()，所以闭环系统含有积分器，因此系统 452) =1 [8]Liu H P.Liao F C.Design of an optimal preview controller for 没有静态误差，u(k)中的Fxx(k)是状态反馈， multirate systems with general previewable signal.Pure Appl Mamh,2008,24(4):634 上之Fa)AR(i+j》是预见前馈补偿. (刘贺平，廖福成，一般目标信号和干扰信号下多采样率系统 =1=1 的最优预见控制器设计，纯粹数学与应用数学，2008,24(4)： 4结论 634) [9]Yang D M.Zhang Q L.Yao B,et al.Singular Systems.Bei- 在进行广义离散时间线性系统的预见控制器设 jing:Science Press,2000 (杨冬梅，张庆灵，姚波，等.广义系统，北京：科学出版社，2000) 计时，需要通过构造扩大误差系统把问题转化为普 [10]Zhang X H.Zhang QL.Optimal control for discrete time singu 通广义系统最优控制问题，最后需要借助于解一个 lar system.J Northeast Univ Nat Sci,1998.19(4):435 矩阵Riccati方程实现闭环系统的控制，本文推广 (张秀华，张庆灵·离散广义线性系统的最优控制，东北大学 理论推导，把求解阶数很高的Riccati方程的问题转 学报：自然科学版，1998,19(4)：435)
F0＝—［ H＋ G T （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 G］ —1× G T （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 Φ （16） FR（ j）＝—［ H＋ G T （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 G］ —1× G T （ξT ） j—1（ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 GR （ j＝12…MR） （17） 这里 ξ＝｛I— G［ H＋ G T （ E h＋1 0 ） T× PE h＋1 0 G］ —1G T （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 ｝Φ （18） 而 P 是 Riccati 方程 （ E h＋2 0 ） T PE h＋2 0 ＝（ E h＋2 0 ） T ΩE h＋2 0 ＋ ΦT （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 Φ—ΦT （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 G［ H＋ G T （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 G］ —1G T （ E h＋1 0 ） T PE h＋1 0 Φ （19） 的正定解ΦGE0 等如前面定义． 若再对 F0 分块F0＝［ Fe Fx ］并从式（15）解 出 u（ k）就得以下定理． 定理3 如果假设1到假设4成立则使式（3） 定义的性能指标函数 J 取最小值的系统（1）的最优 控制输入为： u（ k）＝Fe ∑ k i＝1 e（ i）＋Fxx（ k）＋ ∑ MR j＝1 ∑ k i＝1 FR（ j）ΔR（ i＋ j）—Fxx（0）＋ u（0）（20） 其中各系数矩阵由式（16）～（19）确定初始值 x（0）、u（0）可任意赋值． 注意仔细分析式（20）发现由于 u（ k）中包含 Fe ∑ k i＝1 e（ i）所以闭环系统含有积分器因此系统 没有静态误差u（ k）中的 Fxx （ k） 是状态反馈 ∑ MR j＝1 ∑ k i＝1 FR（ j）ΔR（ i＋ j）是预见前馈补偿． 4 结论 在进行广义离散时间线性系统的预见控制器设 计时需要通过构造扩大误差系统把问题转化为普 通广义系统最优控制问题最后需要借助于解一个 矩阵 Riccati 方程实现闭环系统的控制．本文推广 理论推导把求解阶数很高的 Riccati 方程的问题转 化为求解阶数很低的 Riccati 方程相关的量都可通 过低阶 Riccati 方程的解计算出来．本文的结果使 得广义系统预见控制问题变得可以实现． 参 考 文 献 ［1］ Sheridan T B．Three models of preview control．IEEE T rans Human Factors Electron19667（2）：91 ［2］ Katayama TOhki TInoue Tet al．Design of an optimal controller for a discrete-time system subject to previewable demand． Int J Control198541（3）：677 ［3］ Tsuchiya TEgami T．Digital Preview and Predictive Control． Liao F CTranslated．Beijing：Beijing Science and Technology Press1994 （土谷武士江上正．最新自动控制技术———数字预见控制． 廖福成译．北京：北京科学技术出版社1994） ［4］ Liao F CTsuchiya TEgami Tet al．Unified approach to optimal preview servo systems and optimal preview FF compensated systems．Chin J A utom199810（4）：329 ［5］ Liao FTakaba KKatayama Tet al．Design of an optimal preview servomechanism for discrete-time systems in a multirate setting．Dyn Contin Discrete Impuls Syst Ser B200310（5）：727 ［6］ Liao F CLiu H P．Design of an optimal preview controller for a kind of discrete-time systems． J Univ Sci Technol Beijing 200729（5）：542 （廖福成刘贺平．多重采样离散时间系统的最优预见伺服控 制器设计．北京科技大学学报200729（5）：542） ［7］ Liao F CLiu H P．Design of an optimal preview controller for a kind of discrete-time system with time-delay．J Univ Sci Technol Beijing200830（4）：452 （廖福成刘贺平．带有状态时滞的多采样率线性离散时间系 统的最优预见控制器设计．北京科技大学学报200830（4）： 452） ［8］ Liu H PLiao F C．Design of an optimal preview controller for multirate systems with general previewable signal． Pure Appl Math200824（4）：634 （刘贺平廖福成．一般目标信号和干扰信号下多采样率系统 的最优预见控制器设计．纯粹数学与应用数学200824（4）： 634） ［9］ Yang D MZhang Q LYao Bet al．Singular Systems．Beijing：Science Press2000 （杨冬梅张庆灵姚波等．广义系统．北京：科学出版社2000） ［10］ Zhang X HZhang Q L．Optimal control for discrete time singular system．J Northeast Univ Nat Sci199819（4）：435 （张秀华张庆灵．离散广义线性系统的最优控制．东北大学 学报：自然科学版199819（4）：435） ·524· 北 京 科 技 大 学 学 报 第31卷