《铁路公路曲线测设》讲义

11.4圆曲线加缓和曲线及其主点测设 11.4.1缓和曲线的概念 列车在曲线上运行时,会产生离心力,离心力的大小取决于列车重量、运行速度和圆曲线 的半径。由于离心力的影响、使曲线外轨的负荷压力骤然增大,内轨负荷压力相应减小,当离 心力超过某一限度时,列车就有脱轨和倾复的危险。为了抵消离心力的不良影响,铁路在曲线 部分采用外轨超高的办法,即把外轨抬高一定数值.使车辆向曲线内倾斜,以平衡离心力的作 用,从而保证列车安全运行。图11-10a)、(b)为采用外轨超高前、后的情况。此外,由于车 辆的构造要求,需进行内轨加宽,如图11-11。无论是外轨超高还是内轨加宽都不可能突然进 行,而是逐渐完成,因此在直线与圆曲线之间加设一段平面曲线,其曲率半径p从直线的曲率 半径∞(无穷大)逐渐变化到圆曲线的半径R,这样的曲线称为缓和曲线或过渡曲线。在此曲线 上任一点p的曲率半径p与曲线的长度l成反比,如图11-12所示,以公式表示为 p·l=C (11-4) (b) 图11-10外轨超高 图11-1内轨加宽 图11-12缓和曲线的设置 式中C为常数,称曲线半径变更率 当l=l0时,p=R,按(11-4)式,应有 C=pl=R·l (11-5) 式(11-4)或(11-5)是缓和曲线必要的前提条件。在实用中,可采取符合这一前提条件的 曲线作为缓和曲线。常用的有辐射螺旋线及三次抛物线。我国采用辐射螺旋线。 11.4.2缓和曲线方程式 按上列前提条件导出缓和曲线上任一点的坐标x、y为 x=l 40C23456C 6c336C34 +4210c 实际应用时,舍去高次项,代入C=R·l,采用下列公式: 6

6 11.4 圆曲线加缓和曲线及其主点测设 11.4.1 缓和曲线的概念 列车在曲线上运行时,会产生离心力,离心力的大小取决于列车重量、运行速度和圆曲线 的半径。由于离心力的影响、使曲线外轨的负荷压力骤然增大,内轨负荷压力相应减小,当离 心力超过某一限度时,列车就有脱轨和倾复的危险。为了抵消离心力的不良影响,铁路在曲线 部分采用外轨超高的办法,即把外轨抬高一定数值.使车辆向曲线内倾斜,以平衡离心力的作 用,从而保证列车安全运行。图 11-10(a)、（b）为采用外轨超高前、后的情况。此外,由于车 辆的构造要求,需进行内轨加宽，如图 11-11。无论是外轨超高还是内轨加宽都不可能突然进 行,而是逐渐完成,因此在直线与圆曲线之间加设一段平面曲线,其曲率半径ρ从直线的曲率 半径∞(无穷大)逐渐变化到圆曲线的半径 R,这样的曲线称为缓和曲线或过渡曲线。在此曲线 上任一点 p 的曲率半径ρ与曲线的长度 l 成反比,如图 11-12 所示,以公式表示为：  ∝ l 1 或  l = C （ 11-4） 图 11-10 外轨超高 图 11-11 内轨加宽 图 11-12 缓和直线的设置 图 11-11 内轨加宽 图 11-12 缓和曲线的设置 式中 C 为常数,称曲线半径变更率。 当 0 l = l 时，  = R ，按（11-4）式，应有 0 C =  l = Rl （11-5） 式(11-4)或（11-5）是缓和曲线必要的前提条件。在实用中,可采取符合这一前提条件的 曲线作为缓和曲线。常用的有辐射螺旋线及三次抛物线。我国采用辐射螺旋线。 11.4.2 缓和曲线方程式 按上列前提条件导出缓和曲线上任一点的坐标 x、y 为： 4 9 2 5 40 3456C l C l x = l − + …… 5 11 3 3 7 6 336 42240C l C l c l y = − − + …… 实际应用时,舍去高次项,代入 0 C = R l ,采用下列公式： （a） （b）

x=l- 40R22 6RI 式(11-6)表示以直缓(点或缓直(B点为原点, 相应的切线方向为横轴的直角坐标系中,缓和曲线上任 点的直角坐标。如图11-13所示: 图11-13缓和曲线上任一点的坐标 l为缓和曲线上任一点p到直缓(H点的曲线长 R为圆曲线半径 l为缓和曲线总长度 当Fb时,则x=x0,y=y,代入(11-6)式,得 xo=lo 40R (11-7) Vo x0、J0为缓圆()点或圆缓(功点的坐标。 1.4.3缓和曲线常数 图11-14(b)是没有加设缓和曲线的圆曲线。缓和曲线是在不改变直线段方向和保持圆 曲线半径不变的条件下,插入到直线段和圆曲线之间的。为了在圆曲线与直线之间加入一段 缓和曲线b,原来的圆曲线需要在垂直于其切线的方向移动一段距离p,因而圆心就由O移到 O,而原来的半径R保持不变,如图11-14(a) 图11-14缓和曲线的形成 由图中可看出,缓和曲线约有一半的长度是靠近原来的直线部分,而另一半是靠近原来的 圆曲线部分,原来圆曲线的两端其圆心角为Bo相对应的那部分圆弧,现在由缓和曲线所代替, 因而圆曲线只剩下m到H这段长度即Lo,现在由于在圆曲线两端加设了等长的缓和曲线b 后,曲线的主点为:直缓点(Z、缓圆点(m、曲中点(Q、圆缓点(H、缓直点(B。 βo、δ0、m、p、x0、y统称为缓和曲线常数: B0为缓和曲线的切线角,即在缓圆点或圆缓点H的切线与直缓点ZH(或缓直点B 的切线交角,亦即圆曲线BP→H两端各延长一部分所对应的圆心角 δ0为缓和曲线总偏角,即从直缓点(Z1测设缓圆点(m或从缓直点(测设圆缓点( 的偏角 m为切垂距,即Z(或B至自圆心O1向Z点或B点的切线作垂线垂足的距离 p为圆曲线移动量,即垂线长与圆曲线半径R之差。 7

7        = = − 0 3 2 0 2 5 6 40 Rl l y R l l x l 式(11-6)表示以直缓(ZH)点或缓直(HZ)点为原点, 相应的切线方向为横轴的直角坐标系中，缓和曲线上任 一点的直角坐标。如图 11-13 所示: 图 11-13 缓和曲线上任一点的坐标 l 为缓和曲线上任一点 p 到直缓（ZH）点的曲线长； R 为圆曲线半径； l0 为缓和曲线总长度。 当 l=l0 时，则 x=x0,y=y0,代入（11-6）式,得：        = = − R l y R l x l 6 40 2 0 0 2 3 0 0 0 (11-7) x0、y0 为缓圆(HY)点或圆缓(YH)点的坐标。 11.4.3 缓和曲线常数 图 11-14（b）是没有加设缓和曲线的圆曲线。缓和曲线是在不改变直线段方向和保持圆 曲线半径不变的条件下，插入到直线段和圆曲线之间的。为了在圆曲线与直线之间加入一段 缓和曲线 l0，原来的圆曲线需要在垂直于其切线的方向移动一段距离 p,因而圆心就由 O 移到 O1,而原来的半径 R 保持不变,如图 11-14（a）。 图 11-14 缓和曲线的形成 由图中可看出,缓和曲线约有一半的长度是靠近原来的直线部分,而另一半是靠近原来的 圆曲线部分,原来圆曲线的两端其圆心角为β0 相对应的那部分圆弧,现在由缓和曲线所代替， 因而圆曲线只剩下 HY 到 YH 这段长度即 L0,现在由于在圆曲线两端加设了等长的缓和曲线 l0 后,曲线的主点为：直缓点（ZH）、缓圆点(HY)、曲中点(QZ)、圆缓点(YH)、缓直点(HZ)。  0、 0 、m、p、x0、y0 统称为缓和曲线常数： β0 为缓和曲线的切线角,即在缓圆点 HY（或圆缓点 YH）的切线与直缓点 ZH(或缓直点 HZ) 的切线交角,亦即圆曲线 HY→YH 两端各延长 2 0 l 部分所对应的圆心角。  0 为缓和曲线总偏角,即从直缓点(ZH)测设缓圆点（HY）或从缓直点(HZ)测设圆缓点(YH) 的偏角。 m 为切垂距,即 ZH(或 HZ)至自圆心 O1 向 ZH 点或 HZ 点的切线作垂线垂足的距离。 p 为圆曲线移动量,即垂线长与圆曲线半径 R 之差。 （a） （b） (11-6)

xo、1的计算由(11-7)式求出,其余B0、p、m、δ计算式为: l180 β=2R兀 24R (11-8) 2240R Bo Io 36R丌 根据R及l,缓和曲线常数可按上式直接计算,也可以在曲线表中的缓和曲线常数表中 查取(摘录如表11-4) 表11-4缓和曲线常数表 公式(117)、(11-8)导证:设B为缓和曲线上任一点的切线角;x、y为这一点 的坐标:p为这一点上曲线的曲率半径;1为从Z点到这点的缓和曲线长(如图11-15) 1.求B0 先求B,由图11-15知: PP(已知。R·L d/ -dl 1- dl B 1·dl= R·loR·l 2R·l 2R 时,B=B0 =5 80 图11-15缓和曲线常数 2R丌 2.求 即求(11-6)式之x、y dx=dl·cosB dy=dl·snB 将cosB、sinB按级数展开: B=1 B- B 2!4! B=B B'B

8 x0、y0 的计算由（11-7）式求出,其余  0 、p、m、 0 计算式为：              = =  = − = =         180 3 6 2 240 24 180 2 0 0 0 2 3 0 0 2 0 0 0 R l R l l m R l p R l （11-8） 根据 R 及 l0，缓和曲线常数可按上式直接计算，也可以在曲线表中的缓和曲线常数表中 查取（摘录如表 11-4）。 表 11-4 缓和曲线常数表 公式（11-7）、（11-8）导证：设  为缓和曲线上任一点的切线角；x、y 为这一点 的坐标；  为这一点上曲线的曲率半径；l 为从 ZH 点到这点的缓和曲线长（如图 11-15）。 1.求β0 先求β，由图 11-15 知： 0 R l dl l dl d   = =   （已知 l R l 0   = ） 0 2 0 0 0 0 0 2 1 R l l l dl R l R l l dl d l l l   =  =   = =      或   0 0 2 180 2   = R l l 当 l=l0 时,β=β0   0 0 0 180 2 =  R l 2.求 x0、y0 即求（11-6）式之 x、y：   sin cos =  =  dy dl dx dl 将 cosβ、 sinβ按级数展开：   = − + − = − + − 3! 5! sin 2! 4! cos 1 3 5 2 4        图 11-15 缓和曲线常数

已知β= ,连上两式一并代入d、式中,积分,略去高次项得x、y的普遍表 2R lo 40R212 图11-16m、p、50的计算 6R 即(11-6)式。ll时,得 xo=lo 40R 6R 即(11-7)式。 求 由图11-16中几何关系知: m=xo-R. Bo 将x及 sin Bo的表达式代入上式得 2240R (取至b三次方) 4.求p 由图11-16中几何关系知: R(1-cos Bo) 将及cosB0代入上式即得 (取至l二次方) 5.求S0 由图11-16中知: 因60很小,故 6o≈ tan d= yo 将x0、代入上式,取至l二次方 l。B 6R3

9 已知 0 2 2R l l   = ，连上两式一并代入 dx、dy 式中,积分，略去高次项得 x、y 的普遍表 达式：        = = − 0 3 2 0 2 5 6 40 Rl l y R l l x l 即（11-6）式。l=l0 时,得:        = = − R l y R l x l 6 40 2 0 0 2 3 0 0 0 即（11-7）式。 3、求 m 由图 11-16 中几何关系知： 0 0 m = x − Rsin  将 x0 及 sinβ0的表达式代入上式得： 2 3 0 0 2 240R l l m = − （取至 l0 三次方） 4. 求 p 由图 11-16 中几何关系知： (1 cos ) = 0 − R −  0 p y 将 y0 及 cosβ0 代入上式即得： R l p 24 2 0 = （取至 l0 二次方） 5.求δ0 由图 11-16 中知： 0 0 0 tan x y  = 因δ0 很小，故 0 0 0 0 tan x y    = 将 x0、y0 代入上式，取至 l0 二次方： 6 3 0 0 0   = = R l 图 11-16 m、p、δ0 的计算