D0I:10.13374/1.issm100103.2008.08.018 第30卷第8期 北京科技大学学报 Vol.30 No.8 2008年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug.2008 类三维混沌系统界的估计 郑宇 张晓丹 北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要对一类三维混沌系统的界进行了估计·首先运用参数法给出了该三维混沌系统在条件一1≤<0下两变量的一个 上界估计定理并进行了证明，其次在两变量上界估计的基础上给出了该混沌系统三变量的一个上界估计定理并进行了证明： 最后给出了具体参数下该三维混沌系统的上界估计值并进行了数值模拟· 关键词三维混沌系统：混沌；有界；李雅普诺夫函数：参数法 分类号0415.5 Estimatiion of bounds for a kind of three-dimensional chaotic system ZHENG Yu.ZHA NG Xiaodan School of Applied Science.University of Science and Technology Beijing Beijing 100083.China ABSTRACT The bound of a kind of three-dimensional chaotic system was estimated.Firstly,under the condition of-10, the theorem about an upper bound estimate of two variables was given by parameterization and proved.Secondly.the theorem about an upper bound estimate of three variables was proposed and proved.Finally.the actual parameter bounds of the three-dimensional chaotic system were estimated and their numerical simulations were done. KEY WORDS three-dimensional chaotic system:chaos:bound:Lyapunov function:parameter method 混沌运动是存在于自然界中的一种普遍运动形 x=(25a十10)(y-x) 式，自从20世纪60年代Lorenz在数值试验中偶然 y=(28-35a)x-xz十(29a-1)y (1) 发现第一个混沌吸引子以来，混沌理论在许多领域 -&十8 中获得了巨大而深远的发展，理论上研究混沌的目 =xy一3 的是多方面的，主要是要揭示混沌的本质，刻画它 令a=25a+10,m=28-35a,6=寸8， 3,c= 的基本特征，了解它的动力学形态，并力求对它加 以控制和利用使之为人类服务].混沌系统是有 29a-1,系统(1)变为： 界，它的界的估计对混沌的控制、同步及其应用有 i=a(y-x) 着很重要的意义[-).然而，它的界很难求得. y=mx一xz十cy (2) 1987年，Leonov等门研究了Lorenz系统的界 、i=xy一bz 并得出了系统的球形和柱形上界.2003年，陈关荣 当0≤时，>10.b>m>-1Ke<0 等讨论了Chen系统的有界性8]，得到了Chen系统 的上界估计.2005年，李大梅等[9-10]对Lorenz系统 1三维混沌系统两变量的上界估计 族进行了界的估计， 定理1当一1≤c<0时，系统(2)满足y2十 在文献[8]的基础上，本文运用参数法对统一混 沌系统进行了界的估计，系统描述如下： (e-m)2≤- 4c(b+c) 证明：取Lyapunov函数 收稿日期：2007-06-12修回日期：2007-12-14 基金项目：北京科技大学科研基金资助项目(N。,000090I0) 作者简介：郑字(1983一)，女，硕士研究生，E-mail:zhengyubeijing@163.com;张晓丹(1959一)，女，教授
一类三维混沌系统界的估计 郑 宇 张晓丹 北京科技大学应用科学学院北京100083 摘 要 对一类三维混沌系统的界进行了估计．首先运用参数法给出了该三维混沌系统在条件－1≤ c＜0下两变量的一个 上界估计定理并进行了证明其次在两变量上界估计的基础上给出了该混沌系统三变量的一个上界估计定理并进行了证明； 最后给出了具体参数下该三维混沌系统的上界估计值并进行了数值模拟． 关键词 三维混沌系统；混沌；有界；李雅普诺夫函数；参数法 分类号 O415∙5 Estimatiion of bounds for a kind of three-dimensional chaotic system ZHENG Y uZHA NG Xiaodan School of Applied ScienceUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT T he bound of a kind of three-dimensional chaotic system was estimated．Firstlyunder the condition of －1≤ c＜0 the theorem about an upper bound estimate of two variables was given by parameterization and proved．Secondlythe theorem about an upper bound estimate of three variables was proposed and proved．Finallythe actual parameter bounds of the three-dimensional chaotic system were estimated and their numerical simulations were done． KEY WORDS three-dimensional chaotic system；chaos；bound；Lyapunov function；parameter method 收稿日期：2007-06-12 修回日期：2007-12-14 基金项目：北京科技大学科研基金资助项目（No．00009010） 作者简介：郑 宇（1983－）女硕士研究生E-mail：zhengyubeijing＠163．com；张晓丹（1959－）女教授 混沌运动是存在于自然界中的一种普遍运动形 式．自从20世纪60年代 Lorenz 在数值试验中偶然 发现第一个混沌吸引子以来混沌理论在许多领域 中获得了巨大而深远的发展．理论上研究混沌的目 的是多方面的主要是要揭示混沌的本质刻画它 的基本特征了解它的动力学形态并力求对它加 以控制和利用使之为人类服务［1－4］．混沌系统是有 界它的界的估计对混沌的控制、同步及其应用有 着很重要的意义［5－6］．然而它的界很难求得． 1987年Leonov 等［7］ 研究了 Lorenz 系统的界 并得出了系统的球形和柱形上界．2003年陈关荣 等讨论了 Chen 系统的有界性［8］得到了 Chen 系统 的上界估计．2005年李大梅等［9－10］对 Lorenz 系统 族进行了界的估计． 在文献［8］的基础上本文运用参数法对统一混 沌系统进行了界的估计系统描述如下： x ·＝（25α＋10）（ y－ x） y ·＝（28－35α） x－ xz ＋（29α－1） y z ·＝ xy－ α＋8 3 z （1） 令 a＝25α＋10m＝28－35αb＝ α＋8 3 c＝ 29α－1系统（1）变为： x ·＝ a（ y－ x） y ·＝ mx－ xz ＋cy z ·＝ xy－bz （2） 当0≤α＜ 1 29 时a＞10b＞ 8 3 m＞ 777 29 －1≤c＜0． 1 三维混沌系统两变量的上界估计 定理1 当－1≤ c＜0时系统（2）满足 y 2＋ （ z － m） 2≤－ b 2m 2 4c（ b＋c） ． 证明：取 Lyapunov 函数 第30卷 第8期 2008年 8月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．8 Aug．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．08．018
.960 北京科技大学学报 第30卷 V(t)=y2+(z-m)2, b2m2 (8) V(t)沿着系统(2)的轨线求导得到： y2+(:-m)≤-4c(6+。) 2i()=g2+bm:-起2. 2三维混沌系统三变量的上界估计 令V(t)=0,则 定理2当一1≤c<0时，系统(2)包含在以下 2 球中： 一cy 4 (3) x2+y2+(e-a-m)≤-0tm2+ 当-1≤c<0时，有 4ac(b+c) 。>106>骨m>g 2me+b+-22+2m-em2+2. 4a(b十c) a 方程(3)参数化得到： 证明：取Lyapunov函数 V1(t)=x2+y2+(z-a-m)2, (4) V1(t)沿着系统(2)的轨线求导得到： 则 2i1(e)=-ax2+g2-e2+(a+m）be (5) 根据系统(2)中x=a(y一x)得到： 另一方面有： s(-ceX-+we-()eds. y=mx一xz十cy= 其中，B、c1为常数 mx 受(1+)+受、FE (6) 由式(8)可知y有界，所以x(t)在区间t∈ (B,十∞)有界. 若(x(t)y(t),z(t)是系统(2)上的点，则将 将式(5)代入式(6)和(7)得到： (一x(t),一y(t),z(t)代入系统(2)有： -x=a(一y十x) x=一 b sine ccose 1-sine 一y=一mx十xz一cy h十cine-1 cos=0. =xy一bz 即 ()当 b十c: c ‘sine-l1cose≠0时，则e=0,说 x=a(y一x) 明e关于时间t是个常量，显然这种情况是不可能 y=mx一xz十Cy 的， ixy-bz (ii)当cose=0时，则sine=士1，将其代入(4) 所以（一x(t),一y(t),z(t)也是系统(2）上的点， 式：(a)当sine=1时，yo=0,z0=m,将yo,z0代 即系统(2)关于z坐标轴对称.因此，x(t)在区间 入V(t)有V(t)=0:(b)当sine=-1时，yo=0, (-∞，一也是有界的，则x(t)在t∈（一∞， z0=0,将y0,z0代入V(t)有V(t)=m2. 十∞)上有界.x2+y2+(z-a-m)2在区间t∈ (一∞，十∞)上是一致有界的. (面)当结m一1=0时ine一6千。则： V1(t)的最大值点满足V1(t)=0,即 ose=土1-sin7e=士B+2e a2=cy2-bz2+(a十m)bz, b+c 则 sine,cosE代入式(4)，得到： aVi(t)=ax2+ay2+a(z-a-m)2= 。±6日+8号 （a+c)y2+(a-b)z2- (2a-b)(a+m):+a(a+m)2= 记Po=(y0,z0),则有： b2m2 (a十c)y2+(a+c)(a-m)2- v()lp。=-4c(b+c) (e+6):-2m+bmth-22 2(b+c) 综合（①）、()和()得到函数V(t)=y2+(z-m)2 沿着系统(2)有： 2c士h土h=2+2am-cm2+d. 4(b+c)
V （ t）＝y 2＋（ z － m） 2 V （ t）沿着系统（2）的轨线求导得到： 1 2 V · （ t）＝cy 2＋bmz －bz 2． 令 V · （ t）＝0则 b z － m 2 2 －cy 2＝ bm 2 4 （3） 当－1≤c＜0时有 a＞10b＞ 8 3 m＞ 777 29 ． 方程（3）参数化得到： z ＝ m 2 （1＋sinε）y＝ m 2 － b c cosε （4） 则 z ·＝ m 2 cosεε ·y ·＝－ m 2 － b c sinεε · （5） 另一方面有： y ·＝ mx－ xz ＋cy＝ mx－ mx 2 （1＋sinε）＋ cm 2 － b c cosε （6） z · ＝ xy－bz ＝ mx 2 － b c cosε－ bm 2 （1＋sinε） （7） 将式（5）代入式（6）和（7）得到： x＝－ － b c sinεε ·＋ccosε 1－sinε b＋c c sinε－1 cosεε · ＝0． （i） 当 b＋c c sinε－1 cosε≠0时则 ε · ＝0说 明ε关于时间 t 是个常量显然这种情况是不可能 的． （ii） 当cosε＝0时则 sinε＝±1将其代入（4） 式：（a） 当 sinε＝1时y0＝0z0＝ m将 y0z0 代 入 V （ t）有 V （ t）＝0；（b） 当 sinε＝－1时y0＝0 z0＝0将 y0z0 代入 V （ t）有 V （ t）＝ m 2． （iii） 当 b＋c c sinε－1＝0时sinε＝ c b＋c 则： cosε＝± 1－sin 2ε＝± b 2＋2bc b＋c ． sinεcosε代入式（4）得到： y0＝± m 2（b＋c） － b c b 2＋2bcz0＝ m（b＋2c） 2（b＋c） ． 记 P0＝（ y0z0）则有： V （ t）｜P0＝－ b 2m 2 4c（ b＋c） ． 综合（i）、（ii）和（iii）得到函数 V （ t）＝y 2＋（ z － m） 2 沿着系统（2）有： y 2＋（ z － m） 2≤－ b 2m 2 4c（ b＋c） （8） 2 三维混沌系统三变量的上界估计 定理2 当－1≤c＜0时系统（2）包含在以下 球中： x 2＋y 2＋（ z － a－ m） 2≤－ （ a＋c） b 2m 2 4ac（ b＋c） ＋ （2mc＋ ab＋ mb－2a 2） 2 4a（ b＋c） ＋2am－ cm 2 a ＋ a 2． 证明：取 Lyapunov 函数 V1（ t）＝ x 2＋y 2＋（ z － a－ m） 2 V1（ t）沿着系统（2）的轨线求导得到： 1 2 V · 1（ t）＝－ ax 2＋cy 2－bz 2＋（ a＋ m） bz ． 根据系统（2）中 x ·＝ a（ y－ x）得到： x（ t）＝c1e α（β－t）＋ ae － at∫ t β y（ s）e as d s 其中β、c1 为常数． 由式（8）可知 y 有界所以 x （ t）在区间 t ∈ （β＋∞）有界． 若（ x（ t）y（ t）z （ t））是系统（2）上的点则将 （－ x（ t）－y（ t）z （ t））代入系统（2）有： － x ·＝ a（－y＋ x） －y ·＝－ mx＋ xz －cy z ·＝ xy－bz 即 x ·＝ a（ y－ x） y ·＝ mx－ xz ＋cy z ·＝ xy－bz 所以（－ x（ t）－y（ t）z （ t））也是系统（2）上的点 即系统（2）关于 z 坐标轴对称．因此x （ t）在区间 （－∞－β）也是有界的则 x （ t ）在 t ∈（－∞ ＋∞）上有界．x 2＋ y 2＋（ z － a－ m） 2 在区间 t∈ （－∞＋∞）上是一致有界的． V1（ t）的最大值点满足 V · 1（ t）＝0即 ax 2＝cy 2－bz 2＋（ a＋ m） bz 则 aV1（ t）＝ ax 2＋ ay 2＋ a（ z － a－ m） 2＝ （ a＋c） y 2＋（ a－b） z 2－ （2a－b）（ a＋ m） z ＋ a（ a＋ m） 2＝ （ a＋c） y 2＋（ a＋c）（ z － m） 2－ （ c＋b） z － 2cm＋bm＋ ab－2a 2 2（ b＋c） 2 ＋ （2mc＋ ab＋ mb－2a 2） 2 4（ b＋c） ＋2a 2m－cm 2＋ a 3． ·960· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第8期 郑宇等：一类三维混沌系统界的估计 .961. 根据式(8)得到： 通过Matlab编程，得到系统(I1)的三维相图 o-48g+ 如图3所示，系统(11)的三维相图与△见图4. △=1(x,y,z)lx2+y2+(2-36)2≤2116 (2mctbb2ammd) 2 60f 4a(b+c) a 50 40 3 数值例子 30 例1取a=10,6=号c=-1,m=28,系统 20 10 (2)变为： 40 x=10(y-x) 40-20 -5 10 y=28x-xz-y (10) 图3系统(11)的三维相图 Fig.3 Three-dimensional phase diagram of System (11) 通过Matable编程，得到系统(lO)的三维相图 如图1所示. 100 50 40 304 760 20 20 60 -204 10 20 -20 6060 30 10 20 图4系统(11)的三维相图及△ -10 0-20410g0 Fig.4 Three dimensional phase diagram of system (11)and A 例3 图1系统(10)的三维相图 -9x-+18.1 20 Fig.1 Three-dimensional phase diagram of System (10) 根据式(9)，系统(10)应包含在A中（如图2 =-10x+xz (12) 所示)： i=xy-4z A=1(x,y,z)lx2+y2+(2-38)2≤18501. 通过Matlab编程，得到系统(l2)的三维相图 如图5所示，系统(12)的三维相图及其界见图6. 100 80H 60 -5 40 -10叶 20 -15 -20 -25 -3 0 20 -50-50 0-20六100020 30 -20 图2系统(10)的三维相图及△ Fig.2 Three-dimensional phase diagram of System (10)and A 图5系统(12)的三维相图 Fig.5 Three-dimensional phase diagram of system (12) 例2 x=-16x+16y 4结论 y=30x-xz (11) 本文运用参数法对统一混沌系统的界进行了估 =xy一2z
根据式（8）得到： V1（ t）≤－ （ a＋c） b 2m 2 4ac（ b＋c） ＋ （2mc＋ ab＋ mb－2a 2） 2 4a（ b＋c） ＋2am－ cm 2 a ＋ a 2 （9） 3 数值例子 例1 取 a＝10b＝ 8 3 c＝－1m＝28系统 （2）变为： x ·＝10（ y－ x） y ·＝28x－ xz －y z ·＝ xy－ 8 3 z （10） 通过 Matable 编程得到系统（10）的三维相图 如图1所示． 图1 系统（10）的三维相图 Fig．1 Three-dimensional phase diagram of System （10） 根据式（9）系统（10）应包含在 Λ中（如图2 所示）： Λ＝｛（ xyz ）｜x 2＋y 2＋（ z －38） 2≤1850｝． 图2 系统（10）的三维相图及 Λ Fig．2 Three-dimensional phase diagram of System （10） and Λ 例2 x ·＝－16x＋16y y ·＝30x－ xz z ·＝ xy－2z （11） 通过 Matlab 编程得到系统（11）的三维相图 如图3所示系统（11）的三维相图与 Δ见图4． Δ＝｛（ xyz ）｜x 2＋y 2＋（ z －36） 2≤2116｝ 图3 系统（11）的三维相图 Fig．3 Three-dimensional phase diagram of System （11） 图4 系统（11）的三维相图及 Δ Fig．4 Three-dimensional phase diagram of system （11） and Δ 例3 x ·＝ 20 7 x－yz ＋18∙1 y ·＝－10x＋ xz z ·＝ xy－4z （12） 通过 Matlab 编程得到系统（12）的三维相图 如图5所示系统（12）的三维相图及其界见图6． 图5 系统（12）的三维相图 Fig．5 Three-dimensional phase diagram of system （12） 4 结论 本文运用参数法对统一混沌系统的界进行了估 第8期 郑 宇等： 一类三维混沌系统界的估计 ·961·
.962 北京科技大学学报 第30卷 60r (盛昭翰，马海军，非线性动力系统分析引论，北京：科学出 版社，2001) [3]Hang RS.Choos and its Application.Wuhan:Wuhan Universi- ty Press.2000 -20 40 (黄润生.混沌及其应用.武汉：武汉大学出版社，2000) 60 [4]Zhang X D.LiZ P.Zhang L L.A method based on singular val- 60 20 40 20 ue decomposition for computation of Lyapunov exponent.Uni -20 -6040-20 Sci Technol Beijing.2005.27(3):371 (张晓丹，李志萍，张丽丽，一类基于奇异值分解的Lyapunov 指数计算方法.北京科技大学学报，2005,27(3)：371) 图6系统(12)的三维相图以及其界 [5]Zhang X D.Zhang LL.Min L Q.Construction of generalized Fig.6 Three-dimensional phase diagram of System (12)and its synchronization for a kind of array differential equtions and appli- bound cation.Chin Phys Lett,2003.20(12):2114 [6]Min L Q,Zhang X D.A generalized synchronization theorem for 计，给出了当0≤a<29时系统三变量的一个上界 an array of differential equations with application to secure com- 数值模拟发现，系统的确包含在求得的区域内，然 munication.Int J Bifurcation Chaos,2005.15(1):119 而上述方法只讨论了在条件0≤<为下系统变量 [7]Leonov G,Bunin A.Koksch N.Attractor localization of the Lorer system.Z Angew Math Mech.1987(67):649 的一个上界，对于为≤≤1的情况还有待于进一 [8]Chen C R.Lu J H.The Lorenz Family System Dynamics Anal- ysis,Control and Synchronization.Beijing:Science Press.2001 步的讨论， (陈关荣，吕金虎.Lorenz系统族的动力学分析、控制和同步. 北京：科学出版社，2001) 参考文献 [9]Li D M,Lu J A.Wu X Q.et al.Estimating the bounds for the [1]Liu B Z.Non-linear Dynamics and Choos Basis.Liaoning: Lorer family of chaotic systems.Chaos Solitons Fractals.2005. 23:529 Northeast Normal University Press,1994 (刘秉正·非线性动力学与混沌基础。辽宁：东北师范大学出 [10]Li D M,Lv J A.Wu X Q,et al.Estimating the ultimate 版社，1994) bounds and positively invariant set for the Lorenz system and a [2]Sheng Z H.Ma H J.Introduction to Non-linear Dynamic unified chaotic system.J Math Appl.2006.323:844 Systems Analysis.Beijing:Science Press.2001
图6 系统（12）的三维相图以及其界 Fig．6 Three-dimensional phase diagram of System （12） and its bound 计给出了当0≤α＜ 1 29 时系统三变量的一个上界． 数值模拟发现系统的确包含在求得的区域内．然 而上述方法只讨论了在条件0≤α＜ 1 29 下系统变量 的一个上界对于 1 29 ≤α≤1的情况还有待于进一 步的讨论． 参 考 文 献 ［1］ Liu B Z． Non-linear Dynamics and Chaos Basis．Liaoning： Northeast Normal University Press1994 （刘秉正．非线性动力学与混沌基础．辽宁：东北师范大学出 版社1994） ［2］ Sheng Z H Ma H J． Introduction to Non-linear Dynamic Systems A nalysis．Beijing：Science Press2001 （盛昭翰马海军．非线性动力系统分析引论．北京：科学出 版社2001） ［3］ Hang R S．Chaos and its Application．Wuhan：Wuhan University Press2000 （黄润生．混沌及其应用．武汉：武汉大学出版社2000） ［4］ Zhang X DLi Z PZhang L L．A method based on singular value decomposition for computation of Lyapunov exponent．J Univ Sci Technol Beijing200527（3）：371 （张晓丹李志萍张丽丽．一类基于奇异值分解的 Lyapunov 指数计算方法．北京科技大学学报200527（3）：371） ［5］ Zhang X DZhang L LMin L Q．Construction of generalized synchronization for a kind of array differential equations and application．Chin Phys Lett200320（12）：2114 ［6］ Min L QZhang X D．A generalized synchronization theorem for an array of differential equations with application to secure communication．Int J Bif urcation Chaos200515（1）：119 ［7］ Leonov GBunin AKoksch N．Attractor localization of the Lorenz system．Z A ngew Math Mech1987（67）：649 ［8］ Chen G RLu J H．The Lorenz Family System Dynamics A nalysisControl and Synchroniz ation．Beijing：Science Press2001 （陈关荣吕金虎．Lorenz 系统族的动力学分析、控制和同步． 北京：科学出版社2001） ［9］ Li D MLu J AWu X Qet al．Estimating the bounds for the Lorenz family of chaotic systems．Chaos Solitons Fractals2005 23：529 ［10］ Li D MLv J AWu X Qet al．Estimating the ultimate bounds and positively invariant set for the Lorenz system and a unified chaotic system．J Math Appl2006323：844 ·962· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷