国家重点实验室 循环码的系统码 G=I P C(x)=m(x)x"-k+r(x)=0 I mod(g(x)) -r(x)=C(x)+mxr≡mx”k modg(x)》 。(x:信息多项式；x:校验位多项式 。首先将信息组乘以xn-k变成x-km(x)；然后，用 gx)除，得到余式x)；再将其各项系数取加法 逆元，就得到了所要求的校验位
C(x) m(x)x r(x) (g(x)) n k = + 0 mod − r(x) C(x) m(x)x m(x)x (g(x)) n k n k mod − − − = + 循环码的系统码 G I P = k m(x): 信息多项式；r(x): 校验位多项式 首先将信息组乘以x n-k变成x n-km(x)；然后，用 g(x)除，得到余式r(x) ；再将其各项系数取加法 逆元，就得到了所要求的校验位
国家重点实验室 循环码的系统码 由于生成矩阵G中的k行要求线性无关，因此在求 余式时，可选择k个线性无关的信息组 (1,0,0,.,0)xk1 (0,1,0,0,.0)xk-2 .(0,0,0,.,0,1)1 (x)=xk-1x"k =x-1 mod(g(x)) r2(x)=xk-2x"-k =xm-2 mod(g(x)) Ik(x)=xox"-k =x"-k mod(g(x))
( ) mod( ( )) 1 1 1r x x x x g x k− n−k n− = = ( ) mod( ( )) 2 2 2r x x x x g x k− n−k n− = = ( ) mod( ( )) 0 r x x x x g x n k n k k − − = = 由于生成矩阵G中的k行要求线性无关，因此在求 余式时，可选择k个线性无关的信息组 (1,0,0,…,0) x k-1 (0,1,0,0,…0) x k-2 …(0,0,0,…,0,1) 1 循环码的系统码
国家重点实验室 循环码的系统码 1 -(x) 0 1 0 -3(x) G 0 0 1-(x) (x) 表示r,x)的系数 H=-P7I =(x),2(x),…(x)In]
( ) ( ) ( ) − − − = r x r x r x k~ 0 0 1 ~ 0 1 0 ~ 1 0 0 2 1 G r (x) i ~ 表示ri (x)的系数 循环码的系统码 n k T = − − H P I n k T k T T r x r x r x = − ( ) I ~ ( ) , ~ ( ) , ~ 1 2
国家重点实验室 Example 二进制[7,4]码的8(x)=x+x2+1，求系统码的 G和H矩阵 r(x)=x=x2+x (modg(x)) 5(x)≡x3=x+1(modg(x) (x)xx2+x+1(modg(x)) r(x)≡x3≡x2+1(modg(x) 1000110 1 011100 01 00011 G H= 1 10010 0 1 11 00 01101 0111001
Example 二进制[7, 4]码的 ，求系统码的 G和H矩阵 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 = H 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 = G 6 2 1 5 2 4 2 3 3 2 4 ( ) (mod ( )) ( ) 1 (mod ( )) ( ) 1 (mod ( )) ( ) 1 (mod ( )) r x x x x g x r x x x g x r x x x x g x r x x x g x + + + + + 3 2 g x x x ( ) 1 = + +
国家重点实验室 特殊的循环码 ·最小循环码 ·一个理想中不再含有任何的非零理想，此理想对应的循环码称为 最小循环码或既约循环码 。缩短循环码 >对循环码缩短得到的码 >取[n,循环码中前位信息位为0的码字，得到一个[-i,k-i缩短循 环码 。准循环码 >一个[mno,mk,l线性分组码，若它的任一码字左移或右移循环移位 o次后，得到的码仍是该码的一个码字，则称这类码为准循环码 。双环循环码 >由两个循环矩阵I和P阵组成的G=LP]生成的码
特殊的循环码 最小循环码 ➢ 一个理想中不再含有任何的非零理想，此理想对应的循环码称为 最小循环码或既约循环码 缩短循环码 ➢ 对循环码缩短得到的码 ➢ 取[n, k]循环码中前i位信息位为0的码字，得到一个[n-i, k-i]缩短循 环码 准循环码 ➢ 一个[mn0 , mk0 ]线性分组码，若它的任一码字左移或右移循环移位 n0次后，得到的码仍是该码的一个码字，则称这类码为准循环码 双环循环码 ➢ 由两个循环矩阵Ik和P阵组成的G=[Ik P]生成的码