§2柯西中值定理和不等式极限 柯西中值定理 定理(6.5)设∫(x)、g(x)满足 i)在区间[a,6上连续, (i)在(a,b)内可导 i)f(x),g(x)不同时为零 (iy)g(O)≠g(a) 则至少存在一点5∈(a,b)使得 f(b)-f(a)y"() gb-g(a) g(E) 柯西中值定理的几何意义 曲线AB由参数方程 X=f(x) ∈[a,b] =g(x) 给出,除端点外处处有不垂直于X轴的切线, 则AB上存在一点P处的切线平行于割线AB
§2 柯西中值定理和不等式极限 一 柯西中值定理 定理(6.5) 设 、 满足 (i) 在区间 上连续， (ii) 在 内可导 (iii) 不同时为零; (iv) 则至少存在一点 使得 柯西中值定理的几何意义 曲线 由参数方程 给出，除端点外处处有不垂直于 轴的切线， 则 上存在一点 P 处的切线平行于割线
注意曲线AB在点(,处的切线的斜率为 dx g(=) X=F(x) B A °|F(a)P()F(x) F(52)F(b) X 而弦AB的斜率为 f()-f(a) ()-g(a) 受此启发,可以得出柯西中值定理的证明如下 由于9()-9(a)=9(m)(b-a)≠0, 类似于拉格朗日中值定理的证明,作一辅助函数 p(s)=f(r)-f(a g(a)-g(] 容易验证p(x)满足罗尔定理的条件且
注意曲线 AB 在点 处的切线的斜率为 ， 而弦 的斜率为 . 受此启发，可以得出柯西中值定理的证明如下： 由于 ， 类似于拉格朗日中值定理的证明，作一辅助函数 容易验证 满足罗尔定理的条件且
f()-f(a) 8()-(a)(x) 根据罗尔定理,至少有一点∈(ab)使得φ()=0,即 fe)-f(b)-f(a) 9(b)-s(a)s()=0 由此得 f()-f(a)f∈) 9(6)-s(a)g() 注2:在柯西中值定理中,取(x)=x,则公式(3)可写成 f(6)-f(a) b-a 这正是拉格朗日中值公式,而在拉格朗日中值定理中令f()=f(),则 f()=0.这恰恰是罗尔定理 注3:设∫(x)在区间上连续,则fx)在区间I上为常数→f(x)=0, x∈I 三、利用拉格朗日中值定理研究函数的某些特性 1、利用其几何意义 要点:由拉格朗日中值定理知:满足定理条件的曲线上任意两点的弦,必与 两点间某点的切线平行。 可以用这种几何解释进行思考解题 例1:设f(x)在(a,b)可导,且(∞)在[a,b]上严格递增,若 f(a)=f(b),则对一切 x∈(a,b)有f(x)<f(a)=f(b) 证明:记A(a,(a),B(b,f(),对任意的x∈a,),记C(xf(x) 作弦线AB,BC,应用拉格
根据罗尔定理，至少有一点 使得 ，即 由此得 注 2：在柯西中值定理中，取 ，则公式（3）可写成 这正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令 ，则 . 这恰恰是罗尔定理. 注 3:设 在区间 I 上连续，则 在区间 I 上为常数 ， . 三、利用拉格朗日中值定理研究函数的某些特性 1、利用其几何意义 要点：由拉格朗日中值定理知：满足定理条件的曲线上任意两点的弦，必与 两点间某点的切线平行。 可以用这种几何解释进行思考解题： 例 1：设 在 （a ，b） 可导，且 在 [a，b] 上严格递增，若 ，则对一切 有 。 证明：记 A（ ）， ，对任意的 x ，记 C（ ）， 作弦线 AB，BC，应用拉格
朗日中值定理,35∈(a,2x,n∈(xb),使得f"().f(m)分别等于AC,BC弦的斜率, 但因严格递增,所以 f(2)<∫"(m),从而 f(x)-f(a) fob)-f(x) b-x 注意到∫(a)=J(),移项即得(x)<J(a)=J(),x∈(ab 2、利用其有限增量公式 要点:借助于不同的辅助函数,可由有限增量公式 fb-f(a=f'a(b-a,se(a, b) 进行思考解题: 例2:设(x)上连续,在(a,b)内有二阶导数,试证存在C∈(ab)使得 Jf()-2f(--)+f(a) 证:上式左端 b b J(b)-2()+f(a)=[f(b)-f()-[f()-f(a) a+b (a 2 f(a)] 作辅助函数 b 则上式 +b )-g(a)=g() a)=g'( ∈
朗日中值定理， 使得 分别等于 AC，BC 弦的斜率， 但因 严格递增，所以 ＜ ，从而 ＜ 注意到 ，移项即得 ＜ ， 2、利用其有限增量公式 要点：借助于不同的辅助函数，可由有限增量公式 进行思考解题： 例 2：设 上连续，在（a，b）内有二阶导数，试证存在 使得 证：上式左端 作辅助函数 则上式 =
[∫(+=-4)-f"() J"( b-ab-a ee(0, 1 (b c=l+日 (a,b) 其中 3、作为函数的变形 要点:若∫(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可微,则在[a,b]上 fx)=f(x0)-((x-x0)(5介于x与 x0之间) 此可视为函数f(x)的一种变形,它给出了函数与导数的一种关系,我们可以 用它来研究函数的性质 例3设(x)在[0+)上可导,f(=0,并设有实数A>0,使得() A|f(x)在[0+∞) 成立,试证f(x)=0,x∈D,+) 证明:(x)在[0,2A]上连续,故存在 A]使得 Inax 1f(x)1≤(x 于是M ()=o+f(6k-)1(x≤e)lx≤
= ，其中 3、作为函数的变形 要点：若 在[a，b]上连续，（a，b）内可微，则在[a，b]上 （ 介于 与 之间） 此可视为函数 的一种变形，它给出了函数与导数的一种关系，我们可以 用它来研究函数的性质。 例 3 设 在 上可导， ，并设有实数 A＞0，使得 ≤ 在 上 成立，试证 证明 ： 在[0， ]上连续，故存在 ] 使得 = =M 于是 M= ≤A ≤ ≤