第3章随机过程相关函数和协方差函数之间的关系B(t),t2) = R(ti,t2)-a(t)a(t2)若a(t)) = aα(t2)=0 , 则B(ti, t2) = R(ti, t2)·互相关函数Ren (ti,t2) = E[E(t )n(t2)]式中(t)和n(t)分别表示两个随机过程。因此，R(ti,t)又称为自相关函数12
12 第3章 随机过程 相关函数和协方差函数之间的关系 若a(t1 ) = a(t2 )=0，则B(t1 , t2 ) = R(t1 , t2 ) ◆ 互相关函数 式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。 因此，R(t1 , t2 )又称为自相关函数。 ( , ) ( , ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 B t t = R t t − a t a t ( , ) [ ( ) ( )] 1 2 1 2 R t t E t t =
第3章随机过程3.2平稳随机过程13.2.1平稳随机过程的定义·定义：若一个随机过程(t)的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数！，有fn(xi,x2,"",xn; ti,t2,"",tn)= f,(x,X2,"",Xn; ti +A,t2 +A,",tn +)则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程13
13 第3章 随机过程 ⚫ 3.2 平稳随机过程 ◼ 3.2.1 平稳随机过程的定义 ◆ 定义： 若一个随机过程(t)的任意有限维分布函数与 时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和 所有实数，有 则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程， 简称严平稳随机过程。 ( , , , , , , ) ( , , , , , , ) 1 2 1 2 1 2 1 2 = n n + + n + n n n f x x x t t t f x x x t t t ； ；
第3章随机过程性质：该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间无关：f(xi,t)= f(x)而二维分布函数只与时间间隔t=t,-t,有关 :f2(xj,x2;ti,t2)= f2(xi,x2;t)·数字特征：E[E(t)]= [ xii(x)dx, = aR(ti,t2) = E[E(t))E(t, + t)][x)x2f2(xi,x2;t)dx,dx2 = R(t)可见，（1）其均值与无关，为常数α；（2）自相关函数只与时间间隔有关。14
14 第3章 随机过程 ◆ 性质： 该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的 推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关： 而二维分布函数只与时间间隔 = t2 – t1有关： ◆ 数字特征： 可见，（1）其均值与t无关，为常数a； （2）自相关函数只与时间间隔有关。 ( , ) ( ) 1 1 1 1 1 f x t = f x ( , ; , ) ( , ; ) 2 1 2 1 2 2 1 2 f x x t t = f x x − E (t) = x1 f 1 (x1 )dx1 = a ( , ; ) ( ) ( , ) [ ( ) ( )] 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 x x f x x dx dx R R t t E t t = = = + − −
第3章随机过程数字特征：E[E(t)]= [xifi(x)dx, = aR(tr,t2) = E[E(t)E(t) +t))xjx2f2(xi,x2;t)dx,dx2 = R(t)可见，（1）其均值与t无关，为常数α；（2）自相关函数只与时间间隔有关把同时满足（1）和（2）的过程定义为广义平稳随机过程。显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有着很大的实际意义。15
15 第3章 随机过程 ◆ 数字特征： 可见，（1）其均值与t 无关，为常数a ； （2）自相关函数只与时间间隔 有关。 把同时满足（1）和（2）的过程定义为广义平稳随 机过程。显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反 之不一定成立。 在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为 平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有着很大的 实际意义。 − E (t) = x1 f 1 (x1 )dx1 = a ( , ; ) ( ) ( , ) [ ( ) ( )] 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 x x f x x dx dx R R t t E t t = = = + − −
第3章随机过程各态历经性3.2.2，问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均但在实际中常常很难测得大量的样本，这样，我们自然会提出这样一个问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢？，回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性（又称“遍历性”）。具有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。，下面，我们来讨论各态历经性的条件。16
16 第3章 随机过程 ◼ 3.2.2 各态历经性 ◆ 问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值、 相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均， 但在实际中常常很难测得大量的样本，这样，我们自 然会提出这样一个问题：能否从一次试验而得到的一 个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢? ◆ 回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一 个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性” （又称“遍历性”）。具有各态历经性的过程，其数 字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一 实现的时间平均值来代替。 ◆ 下面，我们来讨论各态历经性的条件