第3章随机过程随机过程(t)的二维分布函数：F2(x1,x2;t),t2,) = P(≤(t)≤x1,E(t2)≤x2 )随机过程(t)的二维概率密度函数0F2(x,X2;ti,t2)f2(x,x2;ti,t2) =ax, ·Ox2若上式中的偏导存在的话。随机过程(t)的n维分布函数：Fn(xi,X2,..",Xn;ti,t2,...tn)= P(≤(t)≤ x1,≤(t2)≤x2, ***,E(th) ≤ xn )·随机过程(t)的n维概率密度函数：o"F(x, X2,.", Xn; ti, t2,", th)f.(X, X2,.., Xn; tp, t2,., th)=x,Ox2 ..Ox,7
7 第3章 随机过程 ◆ 随机过程 (t) 的二维分布函数： ◆ 随机过程 (t)的二维概率密度函数： 若上式中的偏导存在的话。 ◆ 随机过程 (t) 的n维分布函数： ◆ 随机过程 (t) 的n维概率密度函数： F2 (x1 , x2 ;t 1 ,t 2 ,) = P(t 1 ) x1 ,(t 2 ) x2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 ( , ; , ) ( , ; , ) x x F x x t t f x x t t = n n n n n P t x t x t x F x x x t t t = ( ) , ( ) , , ( ) ( , , , ; , , ) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 n n 1 2 n 1 2 n n n 1 2 n 1 2 n x ( x t ) ( x t ) = x x F x x t t f x x t t ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ； ， ，
第3章随机过程3.1.2随机过程的数字特征·均值（数学期望）：在任意给定时刻t,的取值(t)是一个随机变量，其均值E[5(t)]= [xif(x;t)dxi式中f(xi,t）-(t)的概率密度函数由于t,是任取的，所以可以把t 直接写为t，x,改为x，这样上式就变为E[E(t)]= ( xf(x;t)dx8
8 第3章 随机过程 ◼ 3.1.2 随机过程的数字特征 ◆ 均值（数学期望）： 在任意给定时刻t1的取值 (t1 )是一个随机变量，其均值 式中 f (x1 , t1 ) － (t1 )的概率密度函数 由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接写为t， x1改为x， 这样上式就变为 − E (t) = xf1 (x;t)dx − 1 = 1 1 1 1 1 E (t ) x f (x ;t )dx
第3章随机过程E[ε(t)]= xfi(x;t)dx(t)的均值是时间的确定函数，常记作α（t），它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心：E(t)a (t)5,(t)52(t):En(t)0
9 第3章 随机过程 (t)的均值是时间的确定函数，常记作a ( t )，它表 示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 : − E (t) = xf1 (x;t)dx ()t t 0 1 2 ( ) ( ) ( ) n t t t a (t )
第3章随机过程·方差D[E(t)] = E( [E(t) -a(t)]}?)方差常记为2(t)。这里也把任意时刻t,直接写成了t。因为D[()] = E[2(t)- 2a(0)()+ α?()]= E[(t)] -2a(t)E[(]+a(t)E[2(t)]-α?(t)= fmx° f(x;t)dx -[a(t)均值平方均方值所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻t对于均值a（t)的偏离程度10
10 第3章 随机过程 ◆ 方差 方差常记为 2 ( t )。这里也把任意时刻t1直接写成了t 。 因为 所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随 机过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度。 2 D[(t)] = E [(t) − a(t)] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 E ξ t a t E ξ t a t E ξ t a t D ξ t E ξ t a t ξ t a t = − = − + = − + 2 1 2 = x f (x t)dx −[a(t)] − ; 均方值 均值平方
第3章随机过程相关函数R(ti,t,) = E[E(t)(t2))/xjx2f2(xj,x2;tj,t2)dx,dx式中，(t)和(t)分别是在t,和t,时刻观测得到的随机变量。可以看出，R(ti,t)是两个变量t,和t,的确定函数·协方差函数B(ti,t2) = E([E(t) -a(t)][E(t)-a(t,)])= [ [ [x -a(t)][x2 -a(t2)]f2(xi,x2;t),t2)dx,dx2式中α（ti）α（t2）-在t,和t时刻得到的(t)的均值f(xi,x2;tj,t）-(t)的二维概率密度函数。11
11 第3章 随机过程 ◆ 相关函数 式中， (t1 )和 (t2 )分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变 量。可以看出，R(t1 , t2 )是两个变量t1和t2的确定函数。 ◆ 协方差函数 式中 a ( t1 ) a ( t2 ) － 在t1和t2时刻得到的 (t)的均值 f2 (x1 , x2 ; t1 , t2 ) － (t)的二维概率密度函数。 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , ; , ) ( , ) [ ( ) ( )] x x f x x t t dx dx R t t E t t − − = = 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 [ ( )][ ( )] ( , ; , ) ( , ) [ ( ) ( )][ ( ) ( )] x a t x a t f x x t t dx dx B t t E t a t t a t = − − = − − − −