第3章随机过程各态历经性条件设：x(t)是平稳过程(t)的任意一次实现（样本）则其时间均值和时间相关函数分别定义为：a = x(t) = lim x(t)dt元xTT8R(T)=X(0)x(+)=Im) x()x(+ )dt如果平稳过程使下式成立a=aR(t)= R(t)则称该平稳过程具有各态历经性17
17 第3章 随机过程 ◆ 各态历经性条件 设：x(t)是平稳过程(t)的任意一次实现（样本）， 则其时间均值和时间相关函数分别定义为： 如果平稳过程使下式成立 则称该平稳过程具有各态历经性。 → − → − = + = + = = / 2 / 2 / 2 / 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) lim ( ) 1 ( ) lim T T T T T T x t x t dt T R x t x t x t dt T a x t = = R( ) R( ) a a
第3章随机过程“各态历经”的含义是：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。，具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件18
18 第3章 随机过程 ◆ “各态历经”的含义是：随机过程中的任一次实现都经 历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计 平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考 察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值 代替过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算的 问题大为简化。 ◆ 具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定 成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均 能满足各态历经条件
第3章随机过程「例3-1]设一个随机相位的正弦波为E(t) = Acos(@,t +0)其中，A和の.均为常数；0是在(0,2元)内均匀分布的随机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性【解】(1)先求(t)的统计平均值：数学期望a(t) = E[E(t)] = [2" Acos(の t + 0)元A(cos o,t cos 0 -sin の,tsin 0)do2元27cos Odo -sin w.tlsin 0dol=0coso.t2元19
19 第3章 随机过程 ◆ [例3-1] 设一个随机相位的正弦波为 其中，A和c均为常数；是在(0, 2π)内均匀分布的随机 变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。 【解】(1)先求(t)的统计平均值： 数学期望 (t) = Acos( t + ) c = = + 2 0 2 1 a(t) E[ (t)] Acos( c t ) d = − 2 0 (cos cos sin sin ) 2 t t d A c c [cos cos sin sin ] 0 2 2 0 2 0 = − = t d t d A c c
第3章随机过程自相关函数R(ti,t,) = E[E(t)E(t.))= E[Acos(@,t, +0)· Acos(ot, +0))E(cos の (t2 -t)+ cos[o.(t, +t)+ 20])2AA222cos[0 (t +t)+20]-COSO:厂12A2 JOcoso.(t2 -t)+0令t=，得到A?coSO,T = R(t)Rt2可见，(t)的数学期望为常数，而自相关函数与t无关只与时间间隔t有关，所以(t)是广义平稳过程20
20 第3章 随机过程 自相关函数 令t2 – t1 = ，得到 可见， (t)的数学期望为常数，而自相关函数与t 无关， 只与时间间隔 有关，所以(t)是广义平稳过程。 cos ( ) 0 2 2 1 cos[ ( ) 2 ] 2 cos ( ) 2 {cos ( ) cos[ ( ) 2 ]} 2 [ cos( ) cos( )] ( , ) [ ( ) ( )] 2 1 2 2 0 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 = − + = − + + + = − + + + = + + = t t A t t d A t t A E t t t t A E A t A t R t t E t t c c c c c c c cos ( ) 2 ( , ) 2 1 2 R A R t t = c =
第3章随机过程(2)求(t)的时间平均值a = limAcos(o.t +O)dt = 0-ThT->00TR(t) = limAcos(,t +0) · Acos[@.(t + t)+]dtT>00A2limcos(20.t +0.t +20)dt)cosw.tdtT-2/0ARCOSO.T2比较统计平均与时间平均，有a = a,R(t) = R(t)因此，随机相位余弦波是各态历经的。21
21 第3章 随机过程 (2) 求(t)的时间平均值 比较统计平均与时间平均，有 因此，随机相位余弦波是各态历经的。 → − = + = 2 2 cos( ) 0 1 lim T T c T A t dt T a → − = + + + 2 2 cos( ) cos[ ( ) ] 1 ( ) lim T T c c T A t A t dt T R → − − = + + + 2 2 2 2 2 { cos cos(2 2 ) } 2 lim T T T c T c c T dt t dt T A c A cos 2 2 = a = a,R( ) = R( )