f(x(s,m),y(s, n))J(s, ndsdn 其中 Dx/as Ox/an J() ay/as ay/anl 称为 Jacobi行列式,以纪念首先研究此问题的德国数学家 Jacobi。 由于f(xy)二维 Fourier变换为: F(u, v)=L f(, y)e /2r(ut+tiy)dx 作变量变换 x=x′cos6-ysin6 x′sin+ y'cos6 2021年2月20日 数字图象处理演示稿纪玉波制作
2021年2月20日 数字图象处理演示稿 纪玉波制作 (C) 11 其中 称为Jacobi行列式，以纪念首先研究此问题的德国数学家 Jacobi。 由于f(x,y)二维Fourier变换为： 作变量变换： x=x’cosθ－y’sinθ y=x’sinθ＋ y’cosθ
ax/ax' Ox/av cos 0 av /ax' av/av sin 0 cos 8 将f(x,y)用f(x′,y)代替,同时替换 x=x'cos0-y' sine,y=x'sine-t y cos0 得 F(u, v) ∫f y)e 2r((x'essB-y'sin 0)u+(r'sin 0 +y cos 0)v) dxd ∫nx,ye0m0m(y 上式恰好符合频率上的坐标旋转公式: u'= ucosotvsin0 usin0-+vcos 2021年2月20日 数字图象处理演示稿纪玉波制作
2021年2月20日 数字图象处理演示稿 纪玉波制作 (C) 12 将f(x,y)用f(x’ ,y’)代替,同时替换 x=x’cosθ－y’sinθ,y=x’sinθ＋ y’cosθ 得： 上式恰好符合频率上的坐标旋转公式： u’= ucosθ＋vsinθ v’=－usinθ＋vcosθ
因此,变换公式可写为: F(0)=(x,y)e20 说明F(u,ν)同F(,v)是相同的。同时说明,当空域 中的坐标(x,y)转动0角时,在x轴上的投影经过 Fourier 变换得到的频域数值也正好旋转θ角 得到平面上F(v,ν)各点的值后,进行反变换计算 得到图像函数 f(x,y)=∫F(u,1)e j2T(ux+1y) dudu 这些结果变可以方便地扩展到三维场合。令 f(x1x2x3)表示一物体,三维 Fourier变换 2021年2月20日 数字图象处理演示稿纪玉波制作 13
2021年2月20日 数字图象处理演示稿 纪玉波制作 (C) 13 因此，变换公式可写为： 说明F(u,v)同F(u’ ,v’)是相同的。同时说明，当空域 中的坐标(x,y)转动θ角时，在x轴上的投影经过Fourier 变换得到的频域数值也正好旋转θ角。 得到平面上F(u,v)各点的值后，进行反变换计算 得到图像函数 这些结果变可以方便地扩展到三维场合。令 f(x1 ,x2 ,x3 )表示一物体，三维Fourier变换
F(u1,u2,u3)=∫f(x1,x2,x3)e 2r(l11+2x2+u3x3) 变换的中心截面是 F(u,,u2,0)=L LL f(, x2, x3 )dx3 Je /27(41-1+232dx,dx 根据定义,在x1x,轴上的投影是 f3(x1,x2)=」f( 注意到,令∫(x1x2)的二维 Fourier变换是完全等同于上 面三维 Fourier变换的中心截面的方程式的。如果取得的投 影相对于v1,l2平面为θ角,那么,在变换空间内其变换截面 相对于u1,u2平面成相同的角度。因此,可以取不同角方 向的投影变换,插入到三维变换空间。为了构造 Fourier变 换空间从理论上来说,需要取无数的投影变换,但实际上 投影变换数总是有限数。然后,由 Fourier反变换重构图像 f 2021年2月20日 数字图象处理演示稿纪玉波制作
2021年2月20日 数字图象处理演示稿 纪玉波制作 (C) 14 变换的中心截面是 根据定义，在x1 ,x2轴上的投影是 注意到，令f 3 (x1 ,x2 )的二维Fourier变换是完全等同于上 面三维Fourier变换的中心截面的方程式的。如果取得的投 影相对于u1 ,u2平面为θ角，那么，在变换空间内其变换截面 相对于u1 ,u2平面成相同的θ角度。因此，可以取不同θ角方 向的投影变换，插入到三维变换空间。为了构造Fourier变 换空间从理论上来说，需要取无数的投影变换，但实际上 投影变换数总是有限数。然后，由Fourier反变换重构图像 f(x1 ,x2 ,x3 )