000 000 54 解方程组L=b,得 y=(1,0,15,1) 解方程组Ux=y,得 7.用LU紧凑格式分解法求解线性方程组Ax=b,其中 如 >9 解对增广矩阵进行緊凑格式分解,有 9101 B=(A,b)= 71087 7/51087:1 5765 6/5-215-4/5-3-1/ 6/5-2/5-4/5-3 287:1 7/5-1/2-5-1712:-1/2 熟2步[1065 6/5-215-4/5-3 7/5-1/2-5-17/2}-12 910 00-5-17/2 所以 103/5 解方程组Ux=y,得 (20,-12,-5,3)2 34特殊线性方程组的解法 (1)当矩阵A满足条件(C)时,解方程组Ax=b的L吩解法就可用改进的平方根法(或称改进的乔岽斯基分解法)来求解,从而减少计算量 (A)A对称正定 (B)A的所有顺序主子式都大于零 (C)选项(A)、(B)结合 (2)当方程组Ax=b的系数矩阵为三对角矩阵时,由对A的LU分解公式,可得到求解三对角方程组的(B) (A)乔累斯基分解 C)LDLT分解法 9.填空题:用改进的平方根法(或改进的乔累斯基分解法)求解线性方程组 4-2x2-4=10 2x1+17x2+10万=3 对其增广矩阵进行如下的紧凑格式分解 4-2-410 4-2-410 4109}-71步 1/2168:8 1/29 得到等价的三角形方程组为 x1-2x2-4x3=10 16x2+8x3=8 回代解得 (2 10.用追赶法求解方程组 2 解求得q1=2,q=32,q3=4/3,q4=54,qs=65 ,p3=2/3,P4=3/4,ps=45 解方程组L=,得 y=(1,-1/2 解方程组Ux=y,得 35向量与矩阵的范数 1.填空题 )设x=(.-12y,那么叫-4,√6,风
解方程组Ly = b，得 y = (1, 0, 15, 1)T 解方程组Ux = y，得 7．用LU紧凑格式分解法求解线性方程组Ax = b，其中 ， 解 对增广矩阵进行紧凑格式分解，有 所以 ， ， 解方程组Ux = y，得 3.4 特殊线性方程组的解法 8．选择题 (1) 当矩阵A满足条件（ C ）时，解方程组Ax = b的LU分解法就可用改进的平方根法（或称改进的乔累斯基分解法）来求解，从而减少计算量. (A) A对称正定 (B) A的所有顺序主子式都大于零 (C) 选项(A)、(B)结合 (D) A非奇异 (2) 当方程组Ax = b的系数矩阵为三对角矩阵时，由对A的LU分解公式，可得到求解三对角方程组的（ B ） (A) 乔累斯基分解法 (B) 追赶法 (C) LDLT分解法 (D) 以上选项都不对 9．填空题：用改进的平方根法（或改进的乔累斯基分解法）求解线性方程组 对其增广矩阵进行如下的紧凑格式分解： 得到等价的三角形方程组为 ， 回代解得 10．用追赶法求解方程组 解 求得 q1 = 2，q2 = 3/2，q3 = 4/3，q4 = 5/4，q5 = 6/5； p2 = 1/2，p3 = 2/3，p4 = 3/4，p5 = 4/5 解方程组Ly = f，得 y = (1, -1/2, 1/3, -1/4, 6/5)T 解方程组Ux = y，得 x = (1, -1, 1, -1, 1)T． 3.5 向量与矩阵的范数 1．填空题 (1) 设x = (1, -1, 2)T，那么 ，
那么41 √ (3)矩阵L1 则A的条件数cm(A (4)已知A为n阶对称矩阵,且(4)=3,那 性态是衡量方程组的解对扰动(误差)的敏感程度的,若较小的扰动带来解的较大变化,那么称方程组是病态的,否则称为良态 般如果 系数矩阵A的条件数 cond(a)远远大于L时,方程组是病态的 (6)对任一n维向量x=(x1,x2…,x),不同的范数,其值不同,但总满足下面关系式 2.判断题 对任何非奇异矩方阵A,都有cond(4)≥1 对任何非奇异矩方阵A的任一范数,都有(4) (3)若线性方程组的系数矩阵A的各元素间量级差异很大且无一定规律,或者某些行(列)近似线性相关,则方程组可能为病态 (4)方程组的性态是其固有性质,任何方法都不可能改变其病态程度.(×) A=-13-1 3.设矩阵 0-12,求4p(P=1,2,)和p4) 解因为4为对称矩阵,因此|41-4-5 A-55 AA-511-5r-44-54-115=(2-0A-4(2-10=0 1=1,2=4,3=16,44)=16,因此 由于A为对称矩阵,所以 4-|4 4.证明:对于矩阵A范数,如果4<1,则 明(+A(+A)2=(I+A)2+A(+A (I+A)=1-A(I+A) 两边同时取范数得 k+4)十中-4(+4+4(+4+1+|+A 移项得 k+4)k-14 回为A4,.从有k= 5.填空题 (1)已知线性方程组Ax=b ∫+2x-5 ①给右端项b一扰 0 取无穷大范数,利用公式 估计解x的相对误差,求得 01 从而 L 1909 ②给系数矩阵A一扰动001 取无穷大范数,利用公式 估计解x的相对误差,求得 从而 FL (2)希尔伯特( Hilbert)矩阵(又称坡度阵) /4A10n+1) /71n+1)1m+2)A127-1) 是有名的病态阵,当n=3时,Cn(B)=_743,且随着阶数的增大,条件数迅速增大
(2) 设矩阵 ，那么 ， (3) 矩阵 ，则A的条件数 (4) 已知A为n阶对称矩阵，且ρ(A) = 3，那么 (5) 线性方程组的性态是衡量方程组的解对扰动（误差）的敏感程度的，若较小的扰动带来解的较大变化，那么称方程组是病态的，否则称为良态的．一般如果 系数矩阵A的条件数cond(A) 远远大于1 时，方程组是病态的. (6) 对任一n维向量x =(x1 , x2 ,…,xn) T，不同的范数，其值不同，但总满足下面关系式 2．判断题 (1) 对任何非奇异矩方阵A，都有cond (A) ≥ 1. ( √ ) (2) 对任何非奇异矩方阵A的任一范数，都有ρ(A) ≥ ||A||. ( × ) (3) 若 线 性 方 程 组 的 系 数 矩 阵 A 的 各 元 素 间 量 级 差 异 很 大 且 无 一 定 规 律 ， 或 者 某 些 行 （ 列 ） 近 似 线 性 相 关 ， 则 方 程 组 可 能 为 病 态 的． ( √ ) (4) 方程组的性态是其固有性质，任何方法都不可能改变其病态程度． ( × ) 3．设矩阵 ，求||A||p ( p = 1, 2, ∞)和ρ(A)． 解 因为A为对称矩阵，因此 ， λ1 = 1，λ2 = 4，λ3 = 16，ρ(A TA) = 16，因此 由于A为对称矩阵，所以 4．证明：对于矩阵A范数，如果 ，则 证明 移项得 两边同时取范数得 移项得 因为 ，从而有 5．填空题 (1) 已知线性方程组Ax = b为 ① 给右端项b一扰动 ，取无穷大范数，利用公式 估计解x的相对误差，求得 ， ， 从而 ② 给系数矩阵A一扰动 ，取无穷大范数，利用公式 估计解x的相对误差，求得 从而 (2) 希尔伯特（Hilbert）矩阵（又称坡度阵） 是有名的病态阵，当n = 3时， ，且随着阶数的增大，条件数迅速增大．