坐标x,x2,并从以x,X)的假定公式求得: a2(1-x2 (1.1.9) 任意路径的长度可由沿该路径对d的积分而确定 度规函数9决定了度规空间的所有内在性质,但度规函 数也取决于我们如何选择坐标网格.例如,我们可用极坐标 ,B来描述一个平面,并求得度规函数为 9 19=09e (1110) 这看起来不象是一个 Euclid空间,但它当然是的,因为我们可 以变换成 Descartes坐标x=rcos,y=rsn0而正式证明 这一点.更一般地说,把坐标从(xx2)变为(xx2)就使度 规函数9;变为9;其中,例如 652 91 05+6x ar a502)+(05201+95:0x ar, ax, ax, as dx axax,a 9(o2y)+29,00+92(92)21 dxt ax ax 然而我们怎么才能由考察空间的度规系数而得知它的内在性 质呢?我们所需要的是g;及其导数的某个函数,它只依赖于 空间的内在性质而不象9那样还依赖于描述空间所选取的 特定坐标系。 Gaus发现了这个函数,并且发现它在本质上是唯一的; 这就是所谓Gaus曲率: 1)83≈5
K(x13x2)= 1[2_0 a9 82 29t8x ax? 09; 9 ag 49 x dx 十 sn2991 (n) b91./69x 0. (209、8929-69 ox dx 痉 69 : dx, (1.1.12 式中9是行列式 g(x1,x2)=9192-9 (对这个公式的庞大外形读者不必望而生畏.在第六章中引入 若干数学形式之后,我们就能够用远为简洁而优美的符号来 推导和讨论曲率.将表达式(1112)应用于度规函数(1.18) 和(1.19),我们发现球面是一个正常曲率空间 K 1 球 而Gaus, bolyai和 Lobachevski空间具有负常曲率 K (G-B-L) (111 〈附带说一句,负曲率并不是什么陌生的东西;普通的马鞍就 是负曲率的.正是K的恒定性使Gaus, Bolyai和 Lobachevski 几何不能实现为普通曲面。同样很明显,只有当K是常数时 Euclid的其余几个公设才能满足,因为这几个公设描述的是 内在均匀的空间;而如果K是还点变化的3那么空间的内在性 质也随之而变.)最后,如把我们关于K的公式应用到以极坐 标描述平面的度规(1110),就得到 K=0(平面) (L115)
当然必定如此。因此,不论我们对坐标系的选择多么任性, 空间的内在性质仍然可以通过直接计算K的简单程序揭示出 来 数学家得到这些结果后,不多久便开始转向描述三维或 多维弯曲空间的内在性质的问题。把Gaus的工作推广到二 维以上很不容易,因为这些空间的内在性质不是单独一个曲 率函数K所能描述的.在D维情况下有D(D+1)/2个独立 的度规函数9,。我们可以随意选择D个坐标,从而把D个任 意函数关系约束在9上,剩下C个函数真正表达着空间的内 在性质, c=D(D+1)n=D(D-1 对于D=2,C=1,这是Gass所发现的.对于D>2, C>1的情况,几何的描述变得非常复杂。这个问题在1854 年由 Georg Friedrich Bernhard Riemann(826-1866)完全解 决。他在 Gottingen大学的就职讲演“论作为几何学基础的假 设”提出了我们现在所说的 Riemann几何随后由 Christoffel, Rici4 Levi-civita, Beltrami和其他人所做的工作把 Riemann 的观念发展成完美的数学结构,这在本书关于张量分析和曲 率的各章中将予以描述,不过,直到 Einstein才看出物理学 可以利用非欧几何 2引力理论的历史 在《自然哲学的数学原理》一书结尾, Lac Newton(1642 127)把引力描述为作用在太阳与行星上的一种力,它“按其 所包含的物质数量向各方传播到无限远并总与距离的平方 成反比地减小Newo定律有两个部分它们是以不同的
方式发现的,并且在从 Newton到 Einstein的力学发展中起 了不同的作用 发现落体的速率与其质量无关的入当然是 Galileo Galilei 1564-1642).他的工具是一块使落体缓慢下落的斜面, 个测量降落时间的滴漏.为了避免浚动摩擦还用过摆.这些 观测后来由 Christan Huygens(16291695)加以改进.于 是 Newton就可应用他的第二定律得出结论,引力正比于它 所作用的物体的质量;然后由第三定律得出此力也正比于引 力源的质量 Newton十分明白,这些结论可能只是近似的正确;而且 他的笫二定律中出现的“惯性质量”可能并不精确地等同于引 力定律中出现的“引力质量”.若是这种情形,我们就得将 Newton第二定律写为 Fss m (12.1) 而把引力定律写为 F ngg (12.2) 式中g是依赖于位置和其它质量的场.在一给定点的加速度 就是 (123) 对于比值(ma/m)不同的物休,它就会有不同的值.特别是, 等长的摆所具有的周期正比于(m;/mn)"2. Newton用一些实 验验证了这一可能性,他用摆长相同而成分不同的摆作实验 发现它们的周期并无不同、后来 Friedrich Wilhelm Bessel (1784--1846)在1830年更精确地证实了这一结果,然后,在 I889年, Roland yon eotvos以另一种方法成功地证明了对 于各种物质,比值ma/m;的差别不大于10-(见图12).Bcvd 在40cm长的横杆两端各挂一重物A和B,杆的中点悬在
;ag mg再g g 图12Edrs实验示意图 细金属丝上,当平衡时横杆咯为倾斜以满足如下条件: almag )(1.24) 式中9是地球引力场,9是由地球自转引起的离心加速度的 垂直分量,l和l是两个重物的有效杆臂长。【当然,Ev 选择两重物的重量几乎相等,而且两臂长也几乎相等,但他的 方法的要点在于,即使A略大于B,杆的倾斜仍将保证(124) 式正确.]在布达佩斯的纬度上,由地球自转引起的离心加速 度也有一个可观的水平分量9它给横杆一个绕竖直轴的转 矩为 T e lamig?-iamiB9 利用平衡条件确定l我们有 am;49? 1 g一g 或者因为g远远小于9,得 T=l49 mA加 ng 13