圉体物理学黄尾第六章金屠电予论20050406 第六章金属电子论 经典力学对金属中电子的处理 特鲁特一洛伦玆金属电子论:金属体中的电子和分子气体一样,在一定温度下达到热平衡,电子气 体可以用确定的平均速度和平均自由程来描述。这样不考虑电子与电子之间、电子与离子之间的相 互作用,由此建立起来的是自由电子模型 应用经典力学和电子气体服从经典麦克斯韦一玻尔兹曼统计分布规律,对金属中的电子进行计算。 得到了关于金属的直流电导、金属电子的弛豫时间、平均自由程和金属电子的热容的结果。 ▲经典电子论的成就:解释金属的特征:电导、热导、温差电、电流磁输运等。 ▲经典电子论的困难:关于固体热容量,按照经典统计法的能量均分定理,N个价电子组成的电子 气体,有3N个自由度,对热容量的贡献为:MkB 对大多数金属,实验上测得的热容量值只有理论值的1%。 量子力学对金属中电子的处理 索未菲在自由电子模型的基础上,考虑到电子在离子产生的平均势场下,电子在金属中的运动,应 用量子理论和电子气体服从量子统计法的费密一狄拉克分布,计算了电子气体的热容量,解决了经 典理论的困难。 61费密统计和电子热容量 能带理论是一种单电子近似,每一个电子的运动可以近似看作是独立的,具有一系列确定的本征态。 一般金属只涉及导带中的电子,因此所有电子占据的状态都在一个能带内。 1.费密分布函数 电子气体服从泡利不相容原理和费米一狄拉克统计 热平衡状态下,一个能量为E的本征态被电子占据的几率:f(E)=1 费米分布函数 就是能量为E的本征态上电子的数目 平均占有数 REVISED TIME: 05-5-12 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第六章 金属电子论_20050406 第六章 金属电子论 经典力学对金属中电子的处理 特鲁特—洛伦兹金属电子论：金属体中的电子和分子气体一样，在一定温度下达到热平衡，电子气 体可以用确定的平均速度和平均自由程来描述。这样不考虑电子与电子之间、电子与离子之间的相 互作用，由此建立起来的是自由电子模型。 应用经典力学和电子气体服从经典麦克斯韦一玻尔兹曼统计分布规律，对金属中的电子进行计算。 得到了关于金属的直流电导、金属电子的弛豫时间、平均自由程和金属电子的热容的结果。 V 经典电子论的成就：解释金属的特征：电导、热导、温差电、电流磁输运等。 V 经典电子论的困难：关于固体热容量，按照经典统计法的能量均分定理，N 个价电子组成的电子 气体，有 3N 个自由度，对热容量的贡献为： NkB 2 3 —— 对大多数金属，实验上测得的热容量值只有理论值的 1％。 量子力学对金属中电子的处理 索末菲在自由电子模型的基础上，考虑到电子在离子产生的平均势场下，电子在金属中的运动，应 用量子理论和电子气体服从量子统计法的费密一狄拉克分布，计算了电子气体的热容量，解决了经 典理论的困难。 §6.1 费密统计和电子热容量 能带理论是一种单电子近似，每一个电子的运动可以近似看作是独立的，具有一系列确定的本征态。 一般金属只涉及导带中的电子，因此所有电子占据的状态都在一个能带内。 1. 费密分布函数 电子气体服从泡利不相容原理和费米— 狄拉克统计 热平衡状态下，一个能量为 E 的本征态被电子占据的几率： 1 ( ) 1 F B E E k T f E e − = + —— 费米分布函数 —— 就是能量为 E 的本征态上电子的数目 —— 平均占有数 REVISED TIME: 05-5-12 - 1 - CREATED BY XCH
圉体物理学黄尾第六章金屠电予论20050406 E是费米能量或化学势:体积不变的情况下,系统增加一个电子所需的自由能。 电子的总数:N=∑f(E)--对所有的本征态求和 在湿度7≠0的情兄时:在B=Ep,(E)=2 说明在费米能级E被电子填充和不被电子填充的几率相等。 1)温度大于绝对温度零度:电子填充能量E=EF的几率相等; 当E-EF>几个kT时:e>>1,f(E)≈0 当EF-E> several2T时 <<1,f(E)≈1 2)温度等于绝对温度零度:E<EF,∫(E)=1——电子填满小于费米能量的状态 E>EF,f(E)=0,费米能量以上的状态全部空着 3)在较低温度时,费米分布函数在E=EF处发生很大变化。 能量变化范围:f(E<<E)=1→f(E>EF)=0,温度上升,能量变化范围变宽,但在任何 情况下,该能量范围约为:±knT,如图XCH006001所示的为不同温度下电子费密分布函数示意 fE) a: T=OK b: kT=I E kT=2.5 OK TK 在k空间,E=EF的等能面称为费米面。 1.E的确定 REVISED TIME: 05-5-12 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第六章 金属电子论_20050406 —— EF是费米能量或化学势：体积不变的情况下，系统增加一个电子所需的自由能。 电子的总数： = ∑ —— 对所有的本征态求和 i Ei N f ( ) 在温度T ≠ 0的情况时：在 E = EF ， 2 1 f (EF ) = —— 说明在费米能级 EF 被电子填充和不被电子填充的几率相等。 1） 温度大于绝对温度零度：电子填充能量 E = EF 的几率相等； 当 E − EF > 几个kBT 时： >> 1 − k T E E B F e ， f (E) ≈ 0 当 EF − > E several kBT 时： <<1 − k T E E B F e ， f (E) ≈1 2） 温度等于绝对温度零度： E < EF ， f (E) = 1 —— 电子填满小于费米能量的状态 E > EF ， f (E) = 0 ，费米能量以上的状态全部空着； 3） 在较低温度时，费米分布函数在 E = EF 处发生很大变化。 能量变化范围： ( << ) = 1 → ( >> ) = 0 F E EF f E E f ，温度上升，能量变化范围变宽，但在任何 情况下，该能量范围约为： ，如图 XCH006_001 所示的为不同温度下电子费密分布函数示意 图。 ± kBT 在 k K 空间， E = EF 的等能面称为费米面。 1. EF 的确定 REVISED TIME: 05-5-12 - 2 - CREATED BY XCH
圉体物理学黄尾第六章金屠电予论20050406 ▲电子按能量的统计分布 在E-E+E之间状态数(量子态数):dZ=N(E)dE--N(E)状态密度 在E-E+E之间的电子数:dN=f(E)N(E)dE 金属中总的电子数:N=f(E)N(EME f(E)N(E)具体概述了电子按能量的统计分布规律 取决于费密统计分布函数∫(E) 决定于晶体的能态密度函数N(E),如图XCH006003所示。 绝对温度T=0时费米能级E E NE Lf(EN(E) f(E)=1,E<E 在绝对零度T=0时 f(E)=0, E>ED EF I(E)N(EloK 因此:N=|N(EdE N(E) ▲自由电子的费密能量 金属中自由电子的能态密度:N(E)=4m(72)2E2,令C=4m( n 则:N=C|√EdE=C(EF)2 h 温度T=0时费米能级:E 2n8 2m 电子气体系每个电子的平均能量(平均动能):Ekn EdN C(EdE= N E 结果:在绝对零度下,电子仍具有相当大的平均能量。这是因为电子必须满足泡利不相容原理,每 REVISED TIME: 05-5-12 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第六章 金属电子论_20050406 V 电子按能量的统计分布 在 E − E + dE 之间状态数（量子态数）： dZ = N(E)dE —— N(E) 状态密度 在 E − E + dE 之间的电子数： dN = f (E)N(E)dE 金属中总的电子数： ∫ ∞ = 0 N f (E)N(E)dE —— f (E)N(E) 具体概述了电子按能量的统计分布规律 —— 一取决于费密统计分布函数 f (E) —— 二决定于晶体的能态密度函数 N(E) ，如图 XCH006_003 所示。 绝对温度T = 0时费米能级 0 EF 0 0 ( ) 1, ( ) 0, F F f E E E f E E E ⎧ = < ⎨ ⎩ = > 在绝对零度T = 0时： 因此： ∫ = 0 0 ( ) EF N N E dE V 自由电子的费密能量 金属中自由电子的能态密度： 2 1 2 3 2 ) 2 ( ) 4 ( E h m N E = πV ，令 2 3 2 ) 2 4 ( h m C = πV ， V N n = 则： 2 3 0 0 ( ) 3 2 0 F E N C EdE C E F = = ∫ 温度T = 0时费米能级： 3 2 2 2 3 2 2 0 (3 ) 2 ) 8 3 ( 2 π π n m n h m h EF = = 电子气体系每个电子的平均能量（平均动能）： 0 0 2 3 5 3 0 F E Kin E dE E N C N EdN E F = = = ∫ ∫ 结果：在绝对零度下，电子仍具有相当大的平均能量。这是因为电子必须满足泡利不相容原理，每 REVISED TIME: 05-5-12 - 3 - CREATED BY XCH
圉体物理学黄尾第六章金屠电予论20050406 个能量状态上只能容许两个自旋相反的电子。这样所有的电子不可能都填充在最低能量状态。 绝对温度T≠0时金属中电子费密能量 金属中总的电子数:N=f(E)N(EdE 引入函数:Q(E)=「M(EE-一能量E以下量子态的总数 对N=f(E)N(E)E进行分部积分,得到 N=/(EO(Eo+Jo(EYd)dE 因为E→0,Q(E)→0,E→∞,f(E)→0,f(E)Q(E=0 E E XCH006004 E 由费密分布函数:f(B)=Eyh1 f(E) bE kal (e hl 0.5 —此项为E-EF的偶函数,且只在E~EF附近有显著的值,具有δ函数的特点。如图 XCH006004所示 所以N=Q(E 将Q(E)在EF附近按泰勒级数展开 Q(E)=Q(EF)+Q(E)(E-EF)+Q"(EE-E)2+…-一只考虑到二次项 REVISED TIME: 05-5-12 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第六章 金属电子论_20050406 个能量状态上只能容许两个自旋相反的电子。这样所有的电子不可能都填充在最低能量状态。 绝对温度T ≠ 0时金属中电子费密能量 金属中总的电子数： ∫ ∞ = 0 N f (E)N(E)dE 引入函数： = ∫ ——能量 E Q E N E dE 0 ( ) ( ) E 以下量子态的总数 对 ∫ 进行分部积分，得到 ∞ = 0 N f (E)N(E)dE dE E f N f (E)Q(E) Q(E)( ) 0 0 ∂ ∂ = + − ∫ ∞ ∞ 因为 E ⇒ 0, Q(E) ⇒ 0 ， E ⇒ ∞, f (E) ⇒ 0， ( ) ( ) 0 0 = ∞ f E Q E dE E f N Q(E)( ) 0 ∂ ∂ = − ∫ ∞ 由费密分布函数： 1 1 ( ) + = − k T E E B F e f E 得到 ( 1)( 1) 1 1 + + = ⋅ ∂ ∂ − − − − k T E E k T E E B B F B F e e E k T f ——此项为 E − EF 的偶函数，且只在 E ~ EF 附近有显著的值，具有 δ 函数的特点。如图 XCH006_004 所示。 所以 dE E f N Q(E)( ) ∂ ∂ = − ∫ ∞ −∞ 将Q(E) 在 EF 附近按泰勒级数展开 = + − + ''( )( − ) 2 +" 2 1 ( ) ( ) '( )( ) Q E Q EF Q EF E EF Q EF E EF ——只考虑到二次项。 REVISED TIME: 05-5-12 - 4 - CREATED BY XCH
圉体物理学黄尾第六章金屠电予论20050406 N=O(E)I (d-dE +o()(E-Er)dE +0(E)(E-EF)CdE 第一项-[f(∞)-f(-∞)]=1 第二项(-)是(E-E)的偶函数,「(E-EF)-)dE=0 aE N=QEr)+(EF)「(E-E(9 引入积分变数:5 E-EF k T N=E)+(k2T)o(E)e+1)(-+1) 定级分55=x +1)(e+1) 所以N=Q(E)+Q(EF)(k27) E 今T→0k,N=Q(EP),N=Q(EP)=JN(EME 对于一般温度:T=300K,kT=300×1.38×102/16×10=26×102eV 将Q(EF)按泰勒级数展开,只保留到第二项 N=O(E])+o'(E)EF-EFxt6Q"(EFCBT)2 将Q"(EF)按泰勒级数展开,只保留到第一项 Q"(EF)≈Q"(EF) REVISED TIME: 05-5-12 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第六章 金属电子论_20050406 ∫ ∫ ∫ ∞ −∞ ∞ −∞ ∞ −∞ ∂ ∂ + − − ∂ ∂ + − − ∂ ∂ = − dE E f dE Q E E E E f dE Q E E E E f N Q EF F F F F ''( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) '( ) ( )( ) 2 第一项 −[ f (∞) − f (−∞)] =1 第二项( ) E f ∂ ∂ − 是(E − EF ) 的偶函数， ( )( ) = 0 ∂ ∂ − − ∫ ∞ −∞ dE E f E EF ∫ ∞ −∞ ∂ ∂ = + − − dE E f N Q EF Q EF E EF ''( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 ， ( 1)( 1) 1 1 + + = ⋅ ∂ ∂ − − − − k T E E k T E E B B F B F e e E k T f 引入积分变数： k T E E B − F ξ = ∫ ∞ −∞ − + + = + ( 1)( 1) ''( ) 2 ( ) ( ) 2 2 ξ ξ ξ ξ e e d Q E k T N Q E F B F 定级分 ( 1)( 1) 3 2 2 ξ ξ π ξ ξ = + + ∫ ∞ −∞ − e e d 所以 2 2 ( ) ''( )( ) 6 N Q EF F Q E B k T π = + 令 T → 0 K ， ( ) ，0 N = Q EF ∫ = = 0 0 0 ( ) ( ) EF N Q EF N E dE 对于一般温度：T = 300 K ， 300 1.38 10 /1.6 10 2.6 10 eV -23 -19 -2 kBT = × × × = × 将Q(EF ) 按泰勒级数展开，只保留到第二项 2 2 0 0 0 ''( )( ) 6 N Q(EF ) Q'(EF )(EF EF ) Q EF kBT π = + − + 将Q''(EF )按泰勒级数展开，只保留到第一项 ''( ) ''( ) 0 Q EF ≈ Q EF REVISED TIME: 05-5-12 - 5 - CREATED BY XCH