《固体物理学》课程教学资源（讲义）第七章 半导体电子论（7.3）半导体中电子的费密统计分布

雪体物理学黄尾第七章半辱体电予论20050406 §73半导体中电子的费密统计分布 1.半导体载流子的近似玻耳兹曼统计 半导体中的电子和金属中的电子一样服从费密一一狄拉克统计。在金属中,电子填充空带的部分形 成导带,相应的费密能级位于导带中。 对于掺杂不太多的半导体,在热平衡下,导带中有从施主能级激发到导带中的电子,价带中还有少 量的空穴。 半导体中电子的费密能级位于带隙之中 且有E-EF>>k2T,EF-E>kgT 导电电子在导带各能级分布的几率:f(E)=E=E 由于E-EF>E-Ep>>kgT,如图XCH00700601所示 所以f(E)≈e 导带中的电子接近经典玻耳兹曼分布。 从f(E)≈eb得出:∫(E)<1--导带中每个能级上电子的平均占据数很小。 XCH0070060 E Conducting band E E E E Filled band XCH007006 f(e) 满带中空穴占据的几率一一不被电子所占据的几率:1-f(E)=1-BE,+1 由于EF-E>EF-E,>>kT,如图XCH00700601所示 REVISED TIME: 0S-5-2 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第七章 半导体电子论_20050406 §7.3 半导体中电子的费密统计分布 1. 半导体载流子的近似玻耳兹曼统计 半导体中的电子和金属中的电子一样服从费密——狄拉克统计。在金属中，电子填充空带的部分形 成导带，相应的费密能级位于导带中。 对于掺杂不太多的半导体，在热平衡下，导带中有从施主能级激发到导带中的电子，价带中还有少 量的空穴。 —— 半导体中电子的费密能级位于带隙之中 —— 且有 , E EF B F B − + − >> k T E − E >> k T 导电电子在导带各能级分布的几率： 1 1 ( ) + = − k T E E B F e f E 由于 E − EF > E− − EF >> kBT , 如图 XCH007_006_01 所示。 所以 k T E E B F f E e − − ( ) ≈ ——导带中的电子接近经典玻耳兹曼分布。 从 k T E E B F f E e − − ( ) ≈ 得出： f (E) << 1—— 导带中每个能级上电子的平均占据数很小。 满带中空穴占据的几率——不被电子所占据的几率： 1 1 1 ( ) 1 1 1 F F B B E E E E k T k T f E e e − − − = − = + + 由于 EF − E > EF − E+ >> kBT , 如图 XCH007_006_01 所示。 REVISED TIME: 05-5-23 - 1 - CREATED BY XCH

雪体物理学黄尾第七章半辱体电予论20050406 所以1-f(E)≈e 空穴占据状态的E越低(电子的能量),对于空穴来说能量越高,空 穴平均占据数越小(电子占据数越大) 在半导体材料中,导带能级和满带能级远离费密能量,因此导带接近于空的,满带接近于充满。分 布函数如图XCH007006所示。 2.费密能级和载流子浓度 电子在导带底附近的能量:E(k)=E+ 电子在满带顶附近的能量:E()=、h2k2 自由电子能态密度:M(E)=F 4△,NE)=m4 43h2k 将k=2m(E-E-) 和k= 2m+(E,-E) 分别代入得到导带底和满带顶的能态密度 h 方 4丌 N_(E) (2m)12)E-E,N(E)=-(2m)2)E,-E h 导带电子浓度:n=「f(E(EME,n=T(2m)2 e-e de M(m-e kat e kate-e dE E-E FoD (2m k T)e kar js 2(2mm2knT)32-E. 引入有效能级密度:N=2(2m2k7)32 REVISED TIME: 0S-5-2 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第七章 半导体电子论_20050406 所以 k T E E B F f E e − − 1− ( ) ≈ —— 空穴占据状态的 E 越低（电子的能量），对于空穴来说能量越高，空 穴平均占据数越小（电子占据数越大）。 在半导体材料中，导带能级和满带能级远离费密能量，因此导带接近于空的，满带接近于充满。分 布函数如图 XCH007_006 所示。 2. 费密能级和载流子浓度 电子在导带底附近的能量： * 2 2 2 ( ) − = − + m k E k E K = 电子在满带顶附近的能量： 2 2 * ( ) 2 k E k E m + + = − K = 自由电子能态密度： ∫ ∇ = dS E V N E k 3 4 ( ) π ， 2 3 2 4 4 ( ) k k V m N E π π = ⋅ = 将 = 2 ( ) * − − − = m E E k 和 = 2 ( ) * m E E k − = + + 分别代入得到导带底和满带顶的能态密度： * 3/ 2 * 3/ 2 3 3 4 4 ( ) (2 ) , ( ) (2 ) V V N E m E E N E m E E h h π π − − = − − + = + + − 导带电子浓度： ( ) ( ) E ， E n f E N E d − ∞ = ∫ − ∫ ∞ − − − − − = − E k T E E m e E E dE h n B F * 3/ 2 3 (2 ) 4π ∫ ∞ − − − − − − − − − = − E k T E E k T E E m e e E E dE h n B B F * 3/ 2 3 (2 ) 4π 令： k T E E B − − ξ = ∫ ∞ − − − − − = 0 * 3/ 2 1/ 2 3 (2 ) 4 ξ ξ π ξ m k T e e d h n k T E E B B F ， k T E E B B F e h m k T n − − − − = 3 * 3/ 2 2(2π ) 引入有效能级密度： 3 * 3/ 2 2(2 ) h m k T N − B − = π REVISED TIME: 05-5-23 - 2 - CREATED BY XCH

雪体物理学黄尾第七章半辱体电予论20050406 电子浓度:m=N铲产 一单位体积中导电电子数就是如同导带底E处的N个能级所应含有的电子数。 单位体积空穴浓度:p=(1-f(E)N,(EdE 其中M=2(2mk h 将n=Nc和p=Ne相乘得到:m=NMe 在温度不变的情况下:半导体中导带电子越多,空穴越少,反之亦然 **N型半导体中,施主越多,激发到导带中的电子越多,导带中的电子本征跃迁回价带与空穴复 合的数目越多。因此,价带中的空穴越少。 3.杂质激发 如果N型半导体主要含有一种施主,施主的能级位置 主浓度:ND,在足够低的温度下 载流子主要是从施主能级激发到导带的电子。 导带中电子的数目就是空的施主能级数目:n=ND[1-f(E),n=N +e(Ep-ED)kgl 由n=NeEB)k消去E得到:n= N 其中E-ED为导带底施主能级的能量差一一施主的电离能:E1=E-ED 因此有 1+[1+4()e/y2 导带中电子的数目:n= REVISED TIME: 0S-5-2 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第七章 半导体电子论_20050406 电子浓度： F B E E k T n N e − − − = − ——单位体积中导电电子数就是如同导带底 E− 处的 N− 个能级所应含有的电子数。 单位体积空穴浓度： (1 ( )) ( ) E p f E N E dE + + −∞ = − ∫ k T E E B F p N e − + − = + ，其中 3 * 3/ 2 2(2 ) h m k T N + B + = π 将 k T E E B F n N e − − − − = 和 k T E E B F p N e − + − = + 相乘得到： B E E k T np N N e − − + − = − + —— 在温度不变的情况下：半导体中导带电子越多，空穴越少，反之亦然。 *** N 型半导体中，施主越多，激发到导带中的电子越多，导带中的电子本征跃迁回价带与空穴复 合的数目越多。因此，价带中的空穴越少。 3. 杂质激发 如果 N 型半导体主要含有一种施主，施主的能级位置： ，施主浓度： ，在足够低的温度下， 载流子主要是从施主能级激发到导带的电子。 ED N D 导带中电子的数目就是空的施主能级数目： n N [1 f (E)] = D − ， ] 1 1 [ D (EF ED )/ kBT e n N − + = 由 消去 得到： E EF kBT n N e−( − )/ − − = EF E E k T D D B e N n N n ( )/ 1 − − − + = 其中 E− − ED 为导带底施主能级的能量差——施主的电离能： Ei = E− − ED 因此有： D E k T e n n N N i B + = − 1 / 2 导带中电子的数目： / 1/ 2 / 1 [1 4( ) ] 2 i B i B D E k T E k T N e N n e N − − − + + = REVISED TIME: 05-5-23 - 3 - CREATED BY XCH

雪体物理学黄尾第七章半辱体电予论20050406 当温度很低时:k<E,n≈(NND)2e E/kot 只有很少的施主被电离。 当温度足够高时:由于N=2(2mkT),因此Me<1 h 1+[l+4(D)er 1+[1l+2(D)er+… 将 中平方根项展开得到:n E/kgT 说明施主几乎全部被电离,导带中的电子数接近于施主数 对于P型半导体,受主的能级位置:EA,受主浓度:NA,在足够低的温度下,载流子主要是从施 主能级激发到导带的电子。 1+[1l+4(4)e2nry 满带中空穴的浓度:P= 其中受主的电离能:E1=EA-E 在足够低的温度下:knT<E1,p≈(NN)2e--只有很少的受主被电离。 4.本征激发 在足够高的温度时,由满带到导带的电子激发(本征激发)将是主要的。本征激发的特点是每产生 一个电子同时将产生一个空穴。有:n≈P 由m=NN,e,n=P=NN Eg=E-E为带隙宽度。 因为:E。>>E 本征激发随温度变化更为陡峭 在这个范围里,测量半导体电导率随温度的变化关系,可以分析确定带隙宽度。 REVISED TIME: 0S-5-2 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第七章 半导体电子论_20050406 当温度很低时： kBT << Ei ， —— 只有很少的施主被电离。 E k T D i B n N N e 1/ 2 / 2 ( ) − ≈ − 当温度足够高时：由于 3 * 3/ 2 2(2 ) h m k T N − B − = π ，因此有 / 1 ND E k i BT e N− << 将 E k T D E k T i B i B e N e N N n / / 1/ 2 2 1 [1 4( ) ] − − − + + = 中平方根项展开得到： D E k T D E k T N e N e N N n i B i B ≈ − + + + = − − / / 2 1 [1 2( ) "] 说明施主几乎全部被电离，导带中的电子数接近于施主数。 对于 P 型半导体，受主的能级位置： ，受主浓度： ，在足够低的温度下，载流子主要是从施 主能级激发到导带的电子。 EA NA 满带中空穴的浓度： E k T A E k T i B i B e N e N N p / / 1/ 2 2 1 [1 4( ) ] + + − + + = ——其中受主的电离能： Ei = EA − E+ 在足够低的温度下： kBT << Ei ， —— 只有很少的受主被电离。 1/ 2 / 2 ( ) E k i BT A p N N e− ≈ + 4. 本征激发 在足够高的温度时，由满带到导带的电子激发（本征激发）将是主要的。本征激发的特点是每产生 一个电子同时将产生一个空穴。有： n ≈ p 由 k T E E B np N N e − − + − = − + ， 2 g B E k T n p N N e − ≈ = − + —— Eg = E− − E+ 为带隙宽度。 因为： Eg >> Ei —— 本征激发随温度变化更为陡峭 —— 在这个范围里，测量半导体电导率随温度的变化关系，可以分析确定带隙宽度。 REVISED TIME: 05-5-23 - 4 - CREATED BY XCH