年的一封信中,他请求 Taurinus对他所透露的“异端见解 保密.Gaus甚至到Haz山中测量由 Inselberg, Brocken和 Hoher Hagen三点组成的三角形1,看它的三内角之和是否 为180°!(的确是180°).然后在1832年,Gaus收到他的朋 友 Wolfgang Bolyai的一封信,信中描述了他的儿子(…个奧 地利军官) Janos bolyai(1802-1860)所发展的非欧几何 随后他又获悉喀山的教授 Nikolai Ivanovich Lobachevski (1793-1856在1826年得到了类似结果 Gεus,;B6lyai和 Lobachevski各自独立地发现了按现代 术语所称的二维负常曲率空间.这种空间至今仍然很有意 义;在关于宇宙学的一章中我们将看到我们实际生活的空间 是三维常抽率空间.但是对于它的发现者们来说,新几何学 的重要之处是:它描述的无限二维空间中,所有的 Euclid 假设—除第五公设之外—全都满足!在这一点上它是唯 的,这也许可以说明非欧几何在德国、奥地利和俄国或多 或少是独立地被发现的原因.(球面也满足没有第五公设的 Ecld几何形状,但它既然是有限的,就没有平行线的地位) 在第十三章中讨论对称空间时我们会清楚:负常曲率二维空 间不能实现为通常三维 Euclid空间中的曲面,这无疑是历时 两千年才发现它的原因。当然它也破坏了由 Proclus,wai和 Legendre所提出的对于 Euclid第五公设的各种“常识性”说 法,也就是说,在这种空间里,通过给定点可以作无限多条直 线平行于任一给定直线;没有大小不同的相似图形;以及任意 三角形三内角之和小于I80° 然而,还留下一个悬而未决的可能性: Euclid第五公设 可否由其它公设导出,因为Gaus,;B6lyai和 Lobachevski的几 何没有逻辑矛盾完全不是显然的,“证明”一个数学公设体系 自洽的通常方法就是从一致性(暂时)不成问题的其它体 4·
系中构造出一个满足这些公设的模型。对于 Euclid几何与非 欧几何说来这“模型”都是由实数理论提供的. Descartes的 解析几何表明,若一点对应于一对实数(x:x),而(x,x2) 与(X1,K2)两点之间的距离等于[(xX12+(x-X2)2], 则所有的 Euclid公设都可以作为关于实数的定理而得到证 明.在1870年, Felix Klein(1849-1925)为Gaus, Bolyai 和 Lobachevski几何构造了一种类似的解析几何—“点” 表示为一对实数(x1,x2),且 过+x2<1 (11.1) x,X两点之间的距离d(x3X)由下式定义 cosh a(r X) X1→·x2X2 (1.12) x)a(1-X-X2)1 式中a是建立这个几何标度的基本长度,注意,这个空间是 无限的,因为当Ⅺ十Ⅺ趋近于1时,d(x,X)→。由这个 关于“点”和“距离”的定义,就可以证明这个模型满足除第五 公设外的所有 Euclid公设,并且事实上服从于由Gaus,B6lyai 和 Lobachevski发现的几何.于是 Euclid第五公设的逻辑独 立性在两千年后才终于确立了 这仅仅是非欧几何发展的开始.我们看到,为了发现 aus, Bolyai和 Lobachevski几何,就必须抛弃曲面只能用它 在通常三维空间中的嵌入来描述的观念.那么,我们怎样才 能对弯曲空间加以描述和分类呢?为此,我们必须追溯到1827 年,那时 Gauss出版了他的《关于曲面的一般研究》.Gaus首 次区分了曲面的内在性质(即生活在曲面中的小扁虫所体验 到的几何)与它的外在性质(即它在较高维空间中的嵌人两 者的不同,并且他认识到,曲面的内在性质才正是“最值得几 何学家去努力探讨的 5
Gaus也认识到任一曲面的基本的内在性质是度规函数 d(x,X),它决定x和X在曲面上沿着它们之间的最短路径的 距离.例如圆锥或柱具有与平面相同的局部内在性质,因 为平面可以卷成圆锥或团柱而不致伸缩或撕裂(也就是不致 使度规关系产生畸变)。另一方面,所有的制图者都知道,球 面不可能展为平面而不产生畸变,因而它的局部内在性质与 平面不同 有一个简单例子,是 Einstein, Wheeler和其他人都用 过的,它说明通过研究曲面的度规如何就能发现它的内在性 质(见图11),考虑一平面上的N个点,我们可用一点作为 Erebor SEA RHUN Hobbiton LUNE 淹多磁 BAY OF BELFALAS City of the Coraf 图1.1问题:大地是平坦的吗? (此图取自英国文学家JR.R1 alien所著史诗三部曲 The lord of the Ring,该书于1960年代出版这里引用的图是文学虚构,目的是借以 说明大地是不平坦的,其中地名都是虚构的,就不译出了,一泽者
坐标原点而经过第二点画出x轴,于是各点之间的距离可用 (2N一3)个坐标也就是用第二点的x坐标和其余(N-2) 个点的x坐标和y坐标来描述,但在N点之间有N(N-1)/ 2个不同的距离因此对于足够大的N这些距离必须满足M 个代数关系这里 M=N(N=1)-(2N-3)=(N-2(N-32(.1.3) 2 例如,最简单又有意义的情况是N=42不难证明在点雅和n 之间的距离dmn满足单独一个关系式 0=a12434+a134x4+d43+d114+d4d3+d4 a2df+d424h+1+d44 d24d44a24324-424-41414 a1d4(2-H4-的31d4一4i3d dx4-a24d43d412424-4444(1.1.4) 在圆柱或圆锥上的任一单连通小块上(它具有同平面 样的内在性质),这一关系是满足的,但对于任何4个城市之 的航线距离表就不满足了,因为地球表面具有不同的内在 性质,有另一种关系适合于球面,航线里程表是满足这种关 系的,并且可用它来测量地球的半径.当然,这不是一种最 方便的方法,也不是当初 Eratosthenes所用的方法,但这里的 要点在于:地球表面的曲率可以由它的局部内在性质来确 定 如果我们无拘束地发挥想象力,可以设想出多种奇特的 度规函数以(*X, Gauss的巨大贡献是挑选出一类特殊的 度规空间,它广泛到既包括Gaus,B6lyai和 Lobachevski空间, 也包括通常的曲面,但又狭窄到还能称为几何学, Gauss假 定:在空间任一足够小的区域内都能找到一局部 Euclid坐标 系(51,)使得在坐标为(55)与(5+1,52+2)的
两点之间距离满足 Pythagoras定律 ds=dEi +d52 例如,我们可以采用通过曲面中给定点的切平面上的 Descartes坐标,在通常的光滑曲面中任一点上建立起这样 个局部的 Euclid坐标系,然而,我们不应由此就推断 Gauss 的假定与外在性质有任何关系;它只涉及无限小邻域内的内 在度规关系 如果曲面是非 Euclid的,那么用满足 Pythagoras定律的 Euclid坐标系(55)就不能橙盖它的任何有限部分,假定 我们采用另一种能够覆盖空间的坐标系(x1,x),并且寻求在 这种坐标系中 Gauss假设取何种形式.容易计算出,(x,x) 与(x+dx1,x2+dx2)两点之间的距离d由下式给出: 2)dx2+2912(x1,x2)dxdx 92(x1,x2)dx (I1.6) 式中 a与1 1 ax. 51Y +(③ 052 22 十 (11.7) d32的这种形式是度量空间的标志,[我们将在第三章中 看到,这一推导可以倒过来;给出任一空间,它的d由(11.6) 决定,我们总可以在它的任一点局部地选择满足(115)式的 Euclid坐标5。5,]对于半径为a的球的情况,我们可用球坐 标日,q,而度规就是 gt asin (11.8) 正是9p中的因子sn26使球面的内在性质不同于平面.在 Gaus, bolyai和 Lobachevski几何中,我们可用 Klein模型的