) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 数值积分 关于积分,有 Newton-Lebn记z公式 f(xdx= F(6-F(a) 但是,在很多情况下,还是要数值积分 1、函数有离散数据组成 2、F(X)求不出 3、F(x)非常复杂 定义数值积分如下:是离散点上的函数值的线性组合 1,(f)=∑af(x) O 称为积分系数,与f(X)无关,与积分区间和积分点有关
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 数值积分 f (x)dx F(b) F(a) b a = − 关于积分，有Newton-Leibniz公式 但是，在很多情况下，还是要数值积分： 1、函数有离散数据组成 2、F(x)求不出 3、F(x)非常复杂 定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合 ( ) ( ) 0 i n i I n f ai f x = = 称为积分系数，与f(x)无关，与积分区间和积分点有关
) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 两个问题 1、系数a如何选取,即选取原则 2、若节点可以自由选取,取什么点好? 定义 代数精度 ()=∑a(x)为数值积分,()=(x)女为积分,则称数值 积分有k阶代数精度是指:ln(x2)=I(x),i=0,…k;Dn(x1)≠(x 对任意次数不高于k次的多项式f(x), 数值积分没有误差
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 代数精度 ( ) ( ) 0 i n i n i I f a f x = = 为数值积分， = b a I( f ) f (x)dx 为积分，则称数值 积分有k阶代数精度是指： ( ) ( ), 0, , ; ( ) ( ) +1 +1 = = k k n i i n I x I x i k I x I x 两个问题： 1、系数ai如何选取，即选取原则 2、若节点可以自由选取，取什么点好？ 定义 对任意次数不高于k次的多项式f(x)， 数值积分没有误差
中图苔技术大荸数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 插值型 用插值函数的积分,作为数值积分 1()=L2(x)=∑1(x)(x)x=∑(r1(x)ty(x) =0 代数精度 由 Lagrange插值的误差表达式,R2(x)= ft(s) O2(x),有 (n+1)! (n+1) (0)-1n()=R(xx= () On,(yd n 可以看出,至少价代数精度∵f(m+)(x)=0,f(x)=x,k≤n
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 用插值函数的积分，作为数值积分 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 i n i b a i i b a n i i b a n n I f L x dx l x f x dx l x dx f x = = = = = i a 代数精度 由Lagrange插值的误差表达式， ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( 1) x n f R x n n n + = + ，有 x dx n f I f I f R x dx b a n n b a n n + − = = + ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 可以看出，至少n阶代数精度 f x f x x k n n k = = + ( ) 0, ( ) , ( 1) 插值型
) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 是否有更好的方法使得代数精度为至少为n+1阶? 使用尽可能高的代数精度 已知ln(x)=(x)i=0,…,m求系数{1=0 所以,要存在唯一,m=n,确定一个n+阶的方程组 Vandermonde行列式 b-a 0 C WX b n+ 0 n+1
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS + − − − = + + 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 0 0 1 0 1 n b a b a b a a a a x x x x x x n n n n n n n n Vandermonde行列式 使用尽可能高的代数精度 I x I x i m i i n ( ) = ( ), = 0, , n i i a =0 已知 求系数 所以，要存在唯一，m＝n，确定一个n＋1阶的方程组 是否有更好的方法使得代数精度为至少为n+1阶？
) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 所以,mm时存在唯一,且至少n阶代数精度。与节点的选取有关。 若数值积分至少n阶代数精度,则系数唯 1(x1=0,n 误差 b (n+1) ()-,()=Rx女 O,(x dx l(n+1)
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 所以，m=n时存在唯一，且至少n阶代数精度。与节点的选取有关。 若数值积分至少n阶代数精度，则系数唯一 ( ) , 0, , b i i a a l x dx i n = = 误差 x dx n f I f I f R x dx b a n n b a n n + − = = + ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)