D0I:10.13374/方.issm1001-t63x.2010.10.023 第32卷第10期 北京科技大学学报 Vol 32 No 10 2010年10月 Journal of Un iersity of Science and Technology Beijing 0ct2010 热连轧液压活套系统非线性多变量建模及控制 李壮举山)石馨3)刘贺平) 杨卫东) 1)北京科技大学信息工程学院，北京1000832)北京建筑工程学院电信学院，北京100044 3)沈阳航空职业技术学院航空电子工程系，沈阳110034 摘要为进一步提高带钢热连轧厚控精度及控制品质，在液压活套的工作点附近，考虑带钢自重、液压伺服系统和活套本 身的非线性，建立了液压活套系统的非线性多变量动态数学模型，并验证了该模型的有效性·针对该模型，考虑未建模动态和 各种扰动，提出了一种基于反推控制和扩张状态观测器(ESO)补偿的解耦控制方法.用Lyapunov稳定理论证明了闭环系统是 鲁棒稳定的·仿真表明新的模型和解耦控制方法都是有效的· 关键词热轧：液压控制设备：非线性系统：建模；解耦；反推 分类号TP273 M odelling and control of hydrau lic looper non linear m ultivariable system s LI Zhuang),SHIX in,LWU He ping,YANG Wei-dong) 1)School of Infomation Engineering University of Science and Technology Beijing Beijing 100083 China 2)School of Eleetric and Infomation Engneering Beijng University ofCivil Engineering and Architecum Beijing 100044 China 3)Deparment of Avionics Engineering Shenyang Aviation Vocational TechnicalCollege Shenyang 110034.China ABSTRACT In onler to iprove the control accuracy and quality of automatic gauges in hot trip rolling a nonlinear multiple-input multiple-output (M MO)model of hydraulic bopers was built clse to the working point in consideration of strip weight and the nonlin- earity of hydraulic cylinders and loopers and its validity was verified A decoupling method based on back-stepping and extended state observers (ESO)was proposed for this new model taking all unmodelled dynamn ics and various distutbances into account The robust stability of the clsed-loop system was proved w ith the Lyapunov stability theory Smulation results show that the proposed model and decoupling controlmethod are available KEY W ORDS hot rolling hydraulic control equipment nonlinear systems modelling decoupling back"stepping 采用活套控制轧制张力是现代热连轧系统的一 给模型设计了相应的控制器，获得了一定的控制效 个基本特征，与电动活套相比，液压活套因为成本 果，但这都是在忽略了多种非线性因素和带钢重力 低、动态响应快和稳态精度高而被越来越多地采 矩的基础上研究的，要进一步提高连轧产品的质 用山，目前国内热连轧中的液压活套控制系统大都 量，就必须提高液压活套系统的控制精度；这就要求 采用国外的产品，国内液压活套的资料和数据还比 系统设计不但要考虑耦合问题，还要考虑通常被忽 较少，这造成液压活套控制系统的调试要比电动活 略近似的系统非线性问题山4).所以，对液压活套 套难度大).活套系统的高度和张力是两个相互耦 进行研究，建立其非线性模型，对进一步提高其控制 合的量，是一个典型的二入二出耦合系统，而液压这 性能，提高连轧效率和产品质量，仍具有重要意义， 一执行环节的采用，使得系统的非线性程度更加严 本文采用机理建模方法，在考虑了液压缸和活 重.文献[2-3]份析了液压活套的动态耦合过程， 套本身的非线性，以及带钢重力矩等诸多因素的基 给出了基于增量方程的线性化简化模型，并结合所 础上，建立了液压活套在稳定工作段的非线性模型， 收稿日期：2009-11-17 基金项目：北京市教委重点学科共建资助项目(N。XK100080537) 作者简介：李壮举(1975)男，博士研究生；刘贺平(195-)，男，教授.博士生导师，Email hpi@scus山cdtm
第 32卷 第 10期 2010年 10月 北 京 科 技 大 学 学 报 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＢｅｉｊｉｎｇ Ｖｏｌ．32Ｎｏ．10 Ｏｃｔ．2010 热连轧液压活套系统非线性多变量建模及控制 李壮举 12） 石 馨 3） 刘贺平 1） 杨卫东 1） 1） 北京科技大学信息工程学院北京 100083 2） 北京建筑工程学院电信学院北京 100044 3） 沈阳航空职业技术学院航空电子工程系沈阳 110034 摘 要 为进一步提高带钢热连轧厚控精度及控制品质在液压活套的工作点附近考虑带钢自重、液压伺服系统和活套本 身的非线性建立了液压活套系统的非线性多变量动态数学模型并验证了该模型的有效性．针对该模型考虑未建模动态和 各种扰动提出了一种基于反推控制和扩张状态观测器 （ＥＳＯ）补偿的解耦控制方法．用 Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定理论证明了闭环系统是 鲁棒稳定的．仿真表明新的模型和解耦控制方法都是有效的． 关键词 热轧；液压控制设备；非线性系统；建模；解耦；反推 分类号 ＴＰ273 Ｍｏｄｅｌｌｉｎｇａｎｄｃｏｎｔｒｏｌｏｆｈｙｄｒａｕｌｉｃｌｏｏｐｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｍｕｌｔｉ-ｖａｒｉａｂｌｅｓｙｓｔｅｍｓ ＬＩＺｈｕａｎｇ-ｊｕ 12）ＳＨＩＸｉｎ 3）ＬＩＵＨｅ-ｐｉｎｇ 1）ＹＡＮＧＷｅｉ-ｄｏｎｇ 1） 1） ＳｃｈｏｏｌｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＢｅｉｊｉｎｇＢｅｉｊｉｎｇ100083Ｃｈｉｎａ 2） ＳｃｈｏｏｌｏｆＥｌｅｃｔｒｉｃａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＢｅｉｊｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＣｉｖｉｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅＢｅｉｊｉｎｇ100044Ｃｈｉｎａ 3） ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＡｖｉｏｎｉｃｓＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＳｈｅｎｙａｎｇＡｖｉａｔｉｏｎＶｏｃａｔｉｏｎａｌＴｅｃｈｎｉｃａｌＣｏｌｌｅｇｅＳｈｅｎｙａｎｇ110034Ｃｈｉｎａ ＡＢＳＴＲＡＣＴ Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌａｃｃｕｒａｃｙａｎｄｑｕａｌｉｔｙｏｆａｕｔｏｍａｔｉｃｇａｕｇｅｓｉｎｈｏｔｔｒｉｐｒｏｌｌｉｎｇａｎｏｎｌｉｎｅａｒｍｕｌｔｉｐｌｅ-ｉｎｐｕｔ ｍｕｌｔｉｐｌｅ-ｏｕｔｐｕｔ（ＭＩＭＯ） ｍｏｄｅｌｏｆｈｙｄｒａｕｌｉｃｌｏｏｐｅｒｓｗａｓｂｕｉｌｔｃｌｏｓｅｔｏｔｈｅｗｏｒｋｉｎｇｐｏｉｎｔｉｎｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎｏｆｓｔｒｉｐｗｅｉｇｈｔａｎｄｔｈｅｎｏｎｌｉｎ- ｅａｒｉｔｙｏｆｈｙｄｒａｕｌｉｃｃｙｌｉｎｄｅｒｓａｎｄｌｏｏｐｅｒｓａｎｄｉｔｓｖａｌｉｄｉｔｙｗａｓｖｅｒｉｆｉｅｄ．Ａｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇｍｅｔｈｏｄｂａｓｅｄｏｎｂａｃｋ-ｓｔｅｐｐｉｎｇａｎｄｅｘｔｅｎｄｅｄｓｔａｔｅ ｏｂｓｅｒｖｅｒｓ（ＥＳＯ） ｗａｓｐｒｏｐｏｓｅｄｆｏｒｔｈｉｓｎｅｗｍｏｄｅｌｔａｋｉｎｇａｌｌｕｎｍｏｄｅｌｌｅｄｄｙｎａｍｉｃｓａｎｄｖａｒｉｏｕｓｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅｓｉｎｔｏａｃｃｏｕｎｔ．Ｔｈｅｒｏｂｕｓｔ ｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｃｌｏｓｅｄ-ｌｏｏｐｓｙｓｔｅｍｗａｓｐｒｏｖｅｄｗｉｔｈｔｈｅＬｙａｐｕｎｏｖｓｔａｂｉｌｉｔｙｔｈｅｏｒｙ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄｍｏｄｅｌａｎｄ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇｃｏｎｔｒｏｌｍｅｔｈｏｄａｒｅａｖａｉｌａｂｌｅ． ＫＥＹＷＯＲＤＳ ｈｏｔｒｏｌｌｉｎｇ；ｈｙｄｒａｕｌｉｃｃｏｎｔｒｏｌｅｑｕｉｐｍｅｎｔ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓ；ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ；ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ；ｂａｃｋ-ｓｔｅｐｐｉｎｇ 收稿日期：2009--11--17 基金项目：北京市教委重点学科共建资助项目 （Ｎｏ．ＸＫ100080537） 作者简介：李壮举 （1975— ）男博士研究生；刘贺平 （1951— ）男教授博士生导师Ｅ-ｍａｉｌ：ｌｈｐｊｘ＠ｉｓｅ．ｕｓｔｂ．ｅｄｕ．ｃｎ 采用活套控制轧制张力是现代热连轧系统的一 个基本特征．与电动活套相比液压活套因为成本 低、动态响应快和稳态精度高而被越来越多地采 用 ［1］．目前国内热连轧中的液压活套控制系统大都 采用国外的产品国内液压活套的资料和数据还比 较少这造成液压活套控制系统的调试要比电动活 套难度大 ［2］．活套系统的高度和张力是两个相互耦 合的量是一个典型的二入二出耦合系统而液压这 一执行环节的采用使得系统的非线性程度更加严 重．文献 ［2--3］分析了液压活套的动态耦合过程 给出了基于增量方程的线性化简化模型并结合所 给模型设计了相应的控制器获得了一定的控制效 果但这都是在忽略了多种非线性因素和带钢重力 矩的基础上研究的．要进一步提高连轧产品的质 量就必须提高液压活套系统的控制精度；这就要求 系统设计不但要考虑耦合问题还要考虑通常被忽 略近似的系统非线性问题 ［14--5］．所以对液压活套 进行研究建立其非线性模型对进一步提高其控制 性能提高连轧效率和产品质量仍具有重要意义． 本文采用机理建模方法在考虑了液压缸和活 套本身的非线性以及带钢重力矩等诸多因素的基 础上建立了液压活套在稳定工作段的非线性模型 DOI :10．13374／j．issn1001—053x．2010．10．023
,1354. 北京科技大学学报 第32卷 仿真证明了模型的有效性；然后针对所建模型，提出 力的控制，进而实现力矩控制.其中，阀芯位移和液 了一种基于反推技术和扩张状态观测器(E0)补偿 压缸的压力差之间非线性最严重，建模时将重点考 的解耦控制方法，设计了相应的控制器：给出了闭环 虑这个非线性关系， 系统的收敛性证明；最后，用所提方法和PD方法对 系统进行控制仿真，对比表明采用新提出的方法可 获得更好的控制效果 1系统构成及参数 液压活套系统由液压伺服系统和活套两部分组 成，其基本结构和参数如图1所示，本文仍按照文 献[2的建模机理和条件，即活套的角度0变化不 大，张力τ进行的是恒值控制.选择伺服阀电流调 图2液压活套的物理模型 节液压活套的高度，选择机架的轧辊线速度调 Fg 2 Physicalmodel of hydraulic loopers 整带钢的张力，来建立液压活套系统的模型 将伺服阀的输入电流阀芯位移近似为一阶惯 性环节式（下式所示），其未建模因素将被统一考 虑在整个系统的扰动中加以估计补偿， xT水n十xK=i (1) 式中，①是伺服阀的延迟时间，是伺服阀的输入电 流，x是阀芯位移，K是动态增益 再选伺服阀芯位移为输入，选无杆腔和有杆腔 压力为输出，则液压缸的非线性模型为 图1机架间活套机构和参数示意图 Fig 1 Schenatic diagnm of looper set and parameters bewween VhI+Aly the racks A2 +cm-e)-g)+-x)} d 图1中各符号含义：L为两机架之间距离；a为 Vh2+A2y 前一机架到活套支持器之间的距离；}为前一轧辊 (2) 到活套支持器间的带钢长度：↓为后一轧辊到活套 ，0 支持器间的带钢长度；d为活套支持器到轧线的高 2 式中，常量g=C“N片函数s(y ≤0C 度：（为前一轧辊出口带钢与轧线的夹角：为后 为泄漏系数，B为液压油的弹性模量，C为伺服阀 一轧辊入口带钢与轧线的夹角；r活套动力臂长度； 阀口流量系数，ω，为伺服阀阀口梯度，P为液压油密 为活套辊半径；I为活套工作臂长度；中为活套动 度，A山、分别为液压缸无杆腔和有杆腔的有效面 力臂和工作臂定夹角；为活套角度；δ为活套动力 积，P、分别是液压缸无杆腔和有杆腔的压力，R 臂切线方向与液压轴的角度：ξ为液压缸和竖直方 油源压力，y为活塞位移，V1、V2分别为y=O时无 向的夹角；为前一轧辊速度；，为后一轧辊速度， 杆腔和有杆腔的等效容积（包括连接管路等） 2液压活套系统模型 2.2活套系统建模 在稳定工作点附近ξ变化很小，作为常数处 2.1伺服阀压缸建模 理[)，结合图1可得到液压缸的输出力矩 液压活套的物理模型如图2所示，图中Q表示 M=Fr'cos=-0-5 y=2r'sin(02) 液压介质流量，其中伺服阀液压缸环节是液压活 式中，F为液压缸的输出力，而且 套的执行机构，其非线性特性是影响整个系统动态 F=Ap一AeE (3) 性能的重要因素[.该执行机构的输入是一10~10 在热连轧正常轧制阶段，活套的角度变化不 mA的电流.，该电流控制伺服阀的阀芯位移，而阀芯 大，而且进行的是恒张力控制，所以活套的总力矩 位移通过控制流量实现对液压缸无杆腔和有杆腔压 M,张力矩M、带钢重力矩M和角加速度力矩Mp
北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 仿真证明了模型的有效性；然后针对所建模型提出 了一种基于反推技术和扩张状态观测器 （ＥＳＯ）补偿 的解耦控制方法设计了相应的控制器；给出了闭环 系统的收敛性证明；最后用所提方法和 ＰＩＤ方法对 系统进行控制仿真对比表明采用新提出的方法可 获得更好的控制效果． 1 系统构成及参数 液压活套系统由液压伺服系统和活套两部分组 成其基本结构和参数如图 1所示．本文仍按照文 献 ［2］的建模机理和条件即活套的角度 θ变化不 大张力 τ进行的是恒值控制．选择伺服阀电流调 节液压活套的高度选择 Ｆ3机架的轧辊线速度 υ3调 整带钢的张力来建立液压活套系统的模型． 图 1 机架间活套机构和参数示意图 Ｆｉｇ．1 Ｓｃｈｅｍａｔｉｃｄｉａｇｒａｍ ｏｆｌｏｏｐｅｒｓｅｔａｎｄｐａｒａｍｅｔｅｒｓｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅｒａｃｋｓ 图 1中各符号含义：Ｌ为两机架之间距离；ａ为 前一机架到活套支持器之间的距离；ｌ1 为前一轧辊 到活套支持器间的带钢长度；ｌ2 为后一轧辊到活套 支持器间的带钢长度；ｄ为活套支持器到轧线的高 度；θ1为前一轧辊出口带钢与轧线的夹角；θ2 为后 一轧辊入口带钢与轧线的夹角；ｒ′活套动力臂长度； ｒ为活套辊半径；ｌ为活套工作臂长度；●为活套动 力臂和工作臂定夹角；θ为活套角度；δ为活套动力 臂切线方向与液压轴的角度；ξ为液压缸和竖直方 向的夹角；υ3为前一轧辊速度；υ4为后一轧辊速度． 2 液压活套系统模型 2∙1 伺服阀--压缸建模 液压活套的物理模型如图 2所示图中 Ｑ表示 液压介质流量．其中伺服阀--液压缸环节是液压活 套的执行机构其非线性特性是影响整个系统动态 性能的重要因素 ［6］．该执行机构的输入是 —10～10 ｍＡ的电流．该电流控制伺服阀的阀芯位移而阀芯 位移通过控制流量实现对液压缸无杆腔和有杆腔压 力的控制进而实现力矩控制．其中阀芯位移和液 压缸的压力差之间非线性最严重建模时将重点考 虑这个非线性关系． 图 2 液压活套的物理模型 Ｆｉｇ．2 Ｐｈｙｓｉｃａｌｍｏｄｅｌｏｆｈｙｄｒａｕｌｉｃｌｏｏｐｅｒｓ 将伺服阀的输入电流--阀芯位移近似为一阶惯 性环节 ［7］式 （下式所示 ）其未建模因素将被统一考 虑在整个系统的扰动中加以估计补偿 ｘ · ｖＴ2／Ｋｓｐ＋ｘｖ／Ｋｓｐ＝ｉ （1） 式中Ｔ2是伺服阀的延迟时间ｉ是伺服阀的输入电 流ｘｖ是阀芯位移Ｋｓｐ是动态增益． 再选伺服阀芯位移为输入选无杆腔和有杆腔 压力为输出则液压缸的非线性模型 ［8］为 ｄｐ1 ｄｔ ＝ β ｇｘｖ ｓ（ｘｖ） ｐｓ—ｐ1＋ｓ（—ｘｖ） ｐ1 —Ａ1 ｄｙ ｄｔ —Ｃｍ（ｐ1—ｐ2） Ｖｈ1＋Ａ1ｙ ｄｐ2 ｄｔ ＝ β Ａ2 ｄｙ ｄｔ ＋Ｃｍ（ｐ1—ｐ2）—ｇｘｖ ｓ（ｘｖ） ｐ2＋ｓ（—ｘｖ） ｐｓ—ｐ2 Ｖｈ2＋Ａ2ｙ （2） 式中常量 ｇ＝Ｃｄω 2 ρ 函数 ｓ（ｘ）＝ 1 ｘ≥0 0 ｘ≤0 Ｃｍ 为泄漏系数β为液压油的弹性模量Ｃｄ 为伺服阀 阀口流量系数ω1为伺服阀阀口梯度ρ为液压油密 度Ａ1、Ａ2分别为液压缸无杆腔和有杆腔的有效面 积ｐ1、ｐ2分别是液压缸无杆腔和有杆腔的压力ｐｓ 油源压力ｙ为活塞位移Ｖｈ1、Ｖｈ2分别为 ｙ＝0时无 杆腔和有杆腔的等效容积 （包括连接管路等 ）． 2∙2 活套系统建模 在稳定工作点附近 ξ变化很小作为常数处 理 ［2］结合图 1可得到液压缸的输出力矩 Ｍ＝Ｆｒ′ｃｏｓδδ＝●—θ—ξｙ＝2ｒ′ｓｉｎ（θ／2）． 式中Ｆ为液压缸的输出力而且 Ｆ＝Ａ1ｐ1—Ａ2ｐ2 （3） 在热连轧正常轧制阶段活套的角度 θ变化不 大而且进行的是恒张力控制所以活套的总力矩 Ｍ、张力矩 Ｍτ、带钢重力矩 ＭＷ 和角加速度力矩 ＭＤ ·1354·
第10期 李壮举等：热连轧液压活套系统非线性多变量建模及控制 .1355. 存在如下平衡关系： 式中， M=M:十Mw十MD (e）=180 PLcos十Keu[(si1十 Mw =PLcos0 Jπ M.-Ka[(in+r)(cos0-cos )+( p)(cos4-cos月)十lcosx1(sin4十sin4)]}, lcos0(sin+sin)] (）g(-- 式中，t为带钢张力；P为带钢重力；KH=BhB为 X13=g3a5一f3,XM4=一g405十f4, 前一机架出口带钢宽度，h为前一机架出口厚度； Bgxs [s(x5)s(x5)xs] 0=arctan sins一dt,=arca sinw1一d十r 3 a十lcosx1 L一a一lcosx1 Vht +2rAi sin 2 1 活套在动作过程中，活套臂摆动，活套角加速度 与活套角之间存在的关系为 rAos豐十C(g一) d9=地-180(M一M.-M,) dtdt Jπ w+2rAsm芝 式中，J为活套的转动惯量， 故可得到活套高度方程 a,)十（二） f0180 dfjr(M-一M,-M) Ve +2rA sin (5) 假定只调节前一机架轧辊速度，后一机架轧辊 月豐C(一) 速度暂不改变，并将主电机近似成一阶惯性环节，其 时间常数为T,则由张力、套量公式可以得出张力 e+2rAsn是 调节系统的方程为 Icosx1(r一d一a tanxu） h(1)= dr_E dl(0+d( d0+ Irsinxu-d)+(a+lcosxu dt L dt kcos[r一d-(L一a)an] [1-)+a+} (6) N(Isinx1十r-d)2十(L一a-lcosx1) di(0) lcos0(rd-atan) 3模型验证 式中， d0 Isin0+rd)+(a+rcos0) 以某热轧厂3主机架和活套参数为例，活套高 d业(0) lcoso[rd(L-a)tan0] 度和张力的稳定工作点为：0=26：t=4.8MPa弹 d0 Isin+r-d)+(L-a-lcos 0) 把式 性模量E=2.1X10MPa=16,中=49°Lad1 (1)~(4)代入式(5)，联合式(6)就可以得到液压 和r分别为5.51.9820.27、0.75、0.138和0.35 活套系统的状态方程，选取活套高度子系统状态 m6=0.082J=0.48kWm2;Km=0.0136m2,= X=[1,2,g,5]=[日8p,e,X],张力 3.246m·g,y=4.786ms,P=8281N.伺服阀 子系统状态X。=[,]=[t为]'，并假设W1 和液压缸的参数为：V,=1.2×103m,V2=1.1× （t)和W2(分别表示两个子系统受到的总扰动，包 103m,C=4.5X10m81.Pa1,β=1.2×10° 括等效未建模动态、系统参数时变和来自现场的各 Pa=4.5X103m,p=900kgm-3,C4=0.6A= 种扰动等，整理可得状态方程如下式： 3.8×103m2,k=3.5X103m2. XI1=02 为了验证所建模型的合理性和准确度，采用PI X2=f2十g2F 控制器，分别对活套高度和活套张力系统在上述工 F=(Ag3十Ag4)s一(Ahg十f4) 作点处对设定值施加3和1MPa的阶跃增量，将响 应曲线与实际液压活套响应曲线、文献[2]所建线 xⅫs=一a5/h2十Kpi/h2十W1(t) 性模型的曲线进行对比，得到图3和图4曲线组， a=EL[h(1)2十M(1-月)-2(1+E)] 图中粗实线代表本文所建非线性模型的响应曲 x2=一2/尔+T十W2() 线，虚线代表实际液压活套的响应曲线，细实线代表文 (7) 献[2所建增量型线性模型的响应曲线.从图上可以
第 10期 李壮举等： 热连轧液压活套系统非线性多变量建模及控制 存在如下平衡关系： Ｍ＝Ｍτ＋ＭＷ ＋ＭＤ ＭＷ ＝ＰＬｃｏｓθ Ｍτ＝ＫＢＨτ［ （ｌｓｉｎθ＋ｒ）（ｃｏｓθ2—ｃｏｓθ1）＋ ｌｃｏｓθ（ｓｉｎθ1＋ｓｉｎθ2） ］ （4） 式中τ为带钢张力；Ｐ为带钢重力；ＫＢＨ ＝ＢｈＢ为 前一机架出口带钢宽度ｈ为前一机架出口厚度； θ1＝ａｒｃｔａｎ ｌｓｉｎｘ11—ｄ＋ｒ ａ＋ｌｃｏｓｘ11 ；θ2＝ａｒｃｔａｎ ｌｓｉｎｘ11—ｄ＋ｒ Ｌ—ａ—ｌｃｏｓｘ11 ． 活套在动作过程中活套臂摆动活套角加速度 与活套角之间存在的关系为 ｄθ ｄｔ ＝ω ｄω ｄｔ ＝ 180 Ｊπ （Ｍ—Ｍτ—ＭＷ ）． 式中Ｊ为活套的转动惯量． 故可得到活套高度方程 ｄ 2θ ｄｔ 2 ＝ 180 Ｊπ （Ｍ—Ｍτ—ＭＷ ） （5） 假定只调节前一机架轧辊速度后一机架轧辊 速度暂不改变并将主电机近似成一阶惯性环节其 时间常数为 Ｔ1则由张力、套量公式可以得出张力 调节系统的方程为 ｄτ ｄｔ ＝ Ｅ Ｌ ｄｌ1（θ） ｄθ ＋ ｄｌ2（θ） ｄθ ｄθ ｄｔ ＋ υ4（1—β4）— ｄｖ3 ｄｔ Ｔ1＋υ3 （1＋ｆ3） （6） 式 中 ｄｌ1（θ） ｄθ ＝ ｌｃｏｓθ（ｒ—ｄ—ａｔａｎθ） （ｌｓｉｎθ＋ｒ—ｄ） 2＋（ａ＋ｒｃｏｓθ） 2 ｄｌ2（θ） ｄθ ＝ ｌｃｏｓθ［ｒ—ｄ＋（Ｌ—ａ）ｔａｎθ］ （ｌｓｉｎθ＋ｒ—ｄ） 2＋（Ｌ—ａ—ｌｃｏｓθ） 2．把式 （1）～（4）代入式 （5）联合式 （6）就可以得到液压 活套系统的状态方程．选取活套高度子系统状态 Ｘ1＝［ｘ11ｘ12ｘ13ｘ14ｘ15 ］ Ｔ＝［θθ · ｐ1ｐ2ｘｖ ］ Ｔ张力 子系统状态 Ｘ2 ＝［ｘ21ｘ22 ］ Ｔ ＝［τυ3 ］ Ｔ并假设 Ｗ1 （ｔ）和 Ｗ2（ｔ）分别表示两个子系统受到的总扰动包 括等效未建模动态、系统参数时变和来自现场的各 种扰动等整理可得状态方程如下式： ｘ · 11＝ｘ12 ｘ · 12＝ｆ12＋ｇ12Ｆ Ｆ · ＝（Ａ1ｇ13＋Ａ2ｇ14）ｘ15—（Ａ1ｆ13＋Ａ2ｆ14） ｘ · 15＝—ｘ15／Ｔ2＋Ｋｓｐｉ／Ｔ2＋Ｗ1（ｔ） ｘ · 21＝ＥＬ —1 ［ｈ（ｘ11）ｘ12＋υ4（1—β4）—ｘ22（1＋ｆ3） ］ ｘ · 22＝—ｘ22／Ｔ1＋υ3／Ｔ1＋Ｗ2（ｔ） （7） 式中 ｆ12（ｘ11ｘ21）＝— 180 Ｊπ ｛ＰＬｃｏｓｘ11＋ＫＢＨｘ21 ［ （ｌｓｉｎｘ11＋ ｒ）（ｃｏｓθ2—ｃｏｓθ1）＋ｌｃｏｓｘ11（ｓｉｎθ1＋ｓｉｎθ2） ］｝ ｇ12（ｘ11）＝ 180 Ｊπ ｒ′ｃｏｓ（●—ｘ11—ξ） ｘ · 13＝ｇ13ｘ15—ｆ13 ｘ · 14＝—ｇ14ｘ15＋ｆ14 ｇ13＝ βｇｘ15 ［ｓ（ｘ15） ｐｓ—ｘ13＋ｓ（—ｘ15） ｘ13 ］ Ｖｈ1＋2ｒ′Ａ1ｓｉｎ ｘ11 2 ｆ13＝ β ｒ′Ａ1ｘ12ｃｏｓ ｘ11 2 ＋Ｃｍ （ｘ13—ｘ14） Ｖｈ1＋2ｒ′Ａ1ｓｉｎ ｘ11 2 ｇ14＝ βｇｘ15 ［ｓ（ｘ15） ｘ14＋ｓ（—ｘｖ） ｐｓ—ｘ14 ］ Ｖｈ2＋2ｒ′Ａ2ｓｉｎ ｘ11 2 ｆ14＝ β ｒ′Ａ2ｘ12ｃｏｓ ｘ11 2 ＋Ｃｍ （ｘ13—ｘ14） Ｖｈ2＋2ｒ′Ａ2ｓｉｎ ｘ11 2 ｈ（ｘ11）＝ ｌｃｏｓｘ11（ｒ—ｄ—ａｔａｎｘ11） （ｌｒｓｉｎｘ11—ｄ） 2＋（ａ＋ｌｃｏｓｘ11） 2＋ ｌｃｏｓｘ11 ［ｒ—ｄ—（Ｌ—ａ）ｔａｎｘ11 ］ （ｌｓｉｎｘ11＋ｒ—ｄ） 2＋（Ｌ—ａ—ｌｃｏｓｘ11） 2． 3 模型验证 以某热轧厂 3 ＃主机架和活套参数为例．活套高 度和张力的稳定工作点为：θ＝26°；τ＝4∙8ＭＰａ；弹 性模量 Ｅ＝2∙1×10 5ＭＰａ；ξ＝16°●＝49°；Ｌ、ａ、ｄ、ｌ、 ｒ和 ｒ′分别为 5∙5、1∙982、0∙27、0∙75、0∙138和 0∙35 ｍ；ｆ3＝0∙082Ｊ＝0∙48ｋＮ·ｍ 2；ＫＢＨ ＝0∙0136ｍ 2υ3＝ 3∙246ｍ·ｓ —1υ4＝4∙786ｍ·ｓ —1Ｐ＝8281Ｎ．伺服阀 和液压缸的参数为：Ｖｈ1＝1∙2×10 —3 ｍ 3Ｖｈ2 ＝1∙1× 10 —3ｍ 3Ｃｍ ＝4∙5×10 —13ｍ·ｓ —1·Ｐａ —1β＝1∙2×10 9 Ｐａω1＝4∙5×10 —3ｍρ＝900ｋｇ·ｍ —3Ｃｄ＝0∙6Ａ1＝ 3∙8×10 —3ｍ 2Ａ2＝3∙5×10 —3ｍ 2． 为了验证所建模型的合理性和准确度采用 ＰＩ 控制器分别对活套高度和活套张力系统在上述工 作点处对设定值施加 3°和 1ＭＰａ的阶跃增量将响 应曲线与实际液压活套响应曲线、文献 ［2］所建线 性模型的曲线进行对比得到图 3和图 4曲线组． 图中粗实线代表本文所建非线性模型的响应曲 线虚线代表实际液压活套的响应曲线细实线代表文 献 ［2］所建增量型线性模型的响应曲线．从图上可以 ·1355·
,1356 北京科技大学学报 第32卷 3.5 △8的曲线 一本文模型 一本文模型 △r的曲线 …实际曲线 +实际曲线 2.5 文献2 文献2模型 △0的曲线 模型 1.5 0.5 05 △r的曲线 00 10 15 20 2505 s 10 15 20 图3高度设定值变化时系统的输出曲线 图4张力设定值变化时系统的输出曲线 Fig3 Systo ou puts when the set value of loper height changes Fig 4 System ou tputs when the set vahe of tension changes 看出，粗实线大部分位于虚线和细实线之间或与虚线 曲线.图6是张力设定值发生变化时两个模型的拟 重合，尤其是在过渡过程，粗实线和虚线拟合得更好 和误差曲线，其中(a)是张力误差曲线，(b)图是高 把现场实测输入数值作用到模型上产生输出， 度的误差曲线.考虑图3中高度输出和图4中张力 现场实测输出与模型输出定义为拟合误差，可以得 输出的过渡过程（≤10s)时的拟合误差，可得到模 到如图5和图6所示模型拟合误差曲线.图5是高 型的最大误差和均方差如表1所示，这些曲线和数 度设定值变化时两个模型的拟合误差曲线，其中 据表明，在考虑了主要非线性因素和重力矩后，新建 (a)图是活套高度的误差曲线，(b)图是张力的误差 的液乐活套非线性模型，更接沂实际对象， 0.6 0.08 文献2)模型误差 0.4 0.06 文献2！模型误差 0.04 本文模型误差 0 本文模型误差 0.02 05 0.02 -0.2 米 -0.04 06 1015 25 -0.06 10 15 20 25 s 图5高度设定值变化时模型的误差曲线·(a)话套高度误差曲线；(b涨力误差曲线 Error curves of the model when the set value of loper height changes (a)eror curves of loper height (b)eror curves of tension 0.2 03 (a) 文献2模型误差 0.2 文献2模型误差 (b) 0.1 本文模型误差 0.1 本文模型误差 0 -0.1 -0.1 -02 03 -02 101520 25 0% 101520 25 图6张力设定值变化时系统模型的误差曲线·(a)张力误差曲线：(b)话套高度误差曲线 Fig 6 Eror curves of the model when he set vahe of tension changes (a)eror curves of tension (b)ermor curves of boper height 表1过渡过程模型的最大误差和均方差 Table I Maximum error and mean square eror of the models n transi 4液压活套系统的解耦控制方案 tion process 由状态方程式(7)可以看出，液压活套系统是 高度设定值变化时的 张力设定值变化时的 类别 高度误差（°） 张力误差MPa 一个两入两出的非线性系统，而且含有状态耦合， 本文模型文献[2]模型本文模型文献[2]模型 针对这个系统，本文提出一种新的解耦控制方法，该 最大误差 0.20 0.58 -0.06 0.17 方法先用反推技术设计每一个子系统的等效输入， 误差均方差 0.0046 0.0696 0.0011 0.0087 然后用扩张状态观测器(ESO)对各个子系统的耦
北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 图 3 高度设定值变化时系统的输出曲线 Ｆｉｇ．3 Ｓｙｓｔｅｍｏｕｔｐｕｔｓｗｈｅｎｔｈｅｓｅｔｖａｌｕｅｏｆｌｏｏｐｅｒｈｅｉｇｈｔｃｈａｎｇｅｓ 看出粗实线大部分位于虚线和细实线之间或与虚线 重合尤其是在过渡过程粗实线和虚线拟合得更好． 把现场实测输入数值作用到模型上产生输出 现场实测输出与模型输出定义为拟合误差可以得 到如图 5和图 6所示模型拟合误差曲线．图 5是高 度设定值变化时两个模型的拟合误差曲线其中 （ａ）图是活套高度的误差曲线（ｂ）图是张力的误差 图 4 张力设定值变化时系统的输出曲线 Ｆｉｇ．4 Ｓｙｓｔｅｍｏｕｔｐｕｔｓｗｈｅｎｔｈｅｓｅｔｖａｌｕｅｏｆｔｅｎｓｉｏｎｃｈａｎｇｅｓ 曲线．图 6是张力设定值发生变化时两个模型的拟 和误差曲线其中 （ａ）是张力误差曲线（ｂ）图是高 度的误差曲线．考虑图 3中高度输出和图 4中张力 输出的过渡过程 （ｔ≤10ｓ）时的拟合误差可得到模 型的最大误差和均方差如表 1所示．这些曲线和数 据表明在考虑了主要非线性因素和重力矩后新建 的液压活套非线性模型更接近实际对象． 图 5 高度设定值变化时模型的误差曲线 ∙（ａ）活套高度误差曲线；（ｂ）张力误差曲线 Ｆｉｇ．5 Ｅｒｒｏｒｃｕｒｖｅｓｏｆｔｈｅｍｏｄｅｌｗｈｅｎｔｈｅｓｅｔｖａｌｕｅｏｆｌｏｏｐｅｒｈｅｉｇｈｔｃｈａｎｇｅｓ：（ａ）ｅｒｒｏｒｃｕｒｖｅｓｏｆｌｏｏｐｅｒｈｅｉｇｈｔ；（ｂ）ｅｒｒｏｒｃｕｒｖｅｓｏｆｔｅｎｓｉｏｎ 图 6 张力设定值变化时系统模型的误差曲线 ∙（ａ）张力误差曲线；（ｂ）活套高度误差曲线 Ｆｉｇ．6 Ｅｒｒｏｒｃｕｒｖｅｓｏｆｔｈｅｍｏｄｅｌｗｈｅｎｔｈｅｓｅｔｖａｌｕｅｏｆｔｅｎｓｉｏｎｃｈａｎｇｅｓ：（ａ）ｅｒｒｏｒｃｕｒｖｅｓｏｆｔｅｎｓｉｏｎ；（ｂ）ｅｒｒｏｒｃｕｒｖｅｓｏｆｌｏｏｐｅｒｈｅｉｇｈｔ 表 1 过渡过程模型的最大误差和均方差 Ｔａｂｌｅ1 Ｍａｘｉｍｕｍｅｒｒｏｒａｎｄｍｅａｎｓｑｕａｒｅｅｒｒｏｒｏｆｔｈｅｍｏｄｅｌｓｉｎｔｒａｎｓｉ- ｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓ 类别 高度设定值变化时的 高度误差／（°） 张力设定值变化时的 张力误差／ＭＰａ 本文模型 文献 ［2］模型 本文模型 文献 ［2］模型 最大误差 0∙20 0∙58 -0∙06 0∙17 误差均方差 0∙0046 0∙0696 0∙0011 0∙0087 4 液压活套系统的解耦控制方案 由状态方程式 （7）可以看出液压活套系统是 一个两入两出的非线性系统而且含有状态耦合． 针对这个系统本文提出一种新的解耦控制方法该 方法先用反推技术设计每一个子系统的等效输入 然后用扩张状态观测器 （ＥＳＯ）对各个子系统的耦 ·1356·
第10期 李壮举等：热连轧液压活套系统非线性多变量建模及控制 ,1357. 合、外扰和参数时变等不确定作用进行动态估计，并 a1=2一1九，-月(1一qs)十5aL一KiL, 把估计值引入到反推控制器中进行补偿，最终实现 =-fe(a-qs） 解耦和控制， (11) 首先对高度子系统设计反推控制器[). 式中，月、月2为ES0设计参数，该ES0的输出值2 第1步定义跟踪误差1=n:一1，则e1= 就是xd一W1（t)的估计值，记估计误差1=a1一 na一1=nd一2，令q2=2d一2，则有q1= a5,e2=a2一(x5a一W1(t))=a2十W1（t)一Xx5d na十q2一2设计虚拟控制量2a=k1q1十nu 取控制量 则可得闭环误差的动态方程c1=Q2一kh1a1·选取 i=[ad一Qs(Tkh4十1)十2(Ag3十ka4)g十 Lyapunov函数为M:=么则有1=一k,十 T2 42 ]/Kp (12) 912 则闭环误差方程Cs=一(Ahg3十kg4)q一k4s一 第2步令4=F:一F,按照和第1步同样的方 e2·选取Lyapunov函数M:=Vs十品2则M:= 法，如果设计虚拟控制量Fa=(am十h2Q2一xd一 一k1一kh22一hg4一khe4一e20s-e2g f)/g2,则可得到G2=一g一k2q2十g24·选取 再对张力子系统设计反推控制器 Lyapunov函数为e=1十品么则有e=一h1品一 第1步取e1=2一，令2=2d一2，若 k22十g2q24 设计虚拟控制量2a=[LEe1g1十ha2一M(1 第3步在这一步设计中，虚拟量表达式中将 月)]A十，则得到误差动态方程=一LE(1十 含有F这一项，而这一项的运算量很大，为了避免 )z一ke1er:选取Lyapunov函数为Vu=么则 有1=-LE(1十)2-11 这一复杂运算，可以设计一个ESO对F:的值进行 第2步对2求导可得到误差的开环特性为： 估计山，把的状态方程代入4定义式可得 e2=xe2d十(2d一e2)/h一4/hW2(t) g=Fa一F=F:-[(Ags十a4)0s一 (13) (Ai fis +Ae f ) (8) 同样，对式(13)设计如下式形式的E$0来估计 对式(8)设计如下式的ES0: W2(: 车1=2一B1·(到一4)一[(A413十A44) 1=a2一21/T-321·(1-1)十x2d十 (Ai fs+Aef)] 2ah一hi 2=一月2·(1一4) '2=-月2·(a1一e1） (9) (14) 式中，B、B2为ES0设计参数，ES0的输出2就是 式中，B1、B2为ES0的设计参数，该ES0的输出值 F:的估计值.定义估计误差2=和一F,选取虚 2就是一W2（t)的估计值.记估计误差c21=1一 拟量sd=(和十kh3e十2Q2十Af3十bf4)/ 1,2=2一（一W2())=2十W2(),取控制量 (A十g4人令9s=5a一5，则可得到4= =o2dT十2d一1LET(1十6)十 一gq2一k39十(Ags十A8:)as一r2选取Lya (Te2一1)2十T2 (15) punov函数为Ms=V2十4么则有g=-k1品- 可得到闭环误差方程为2=LE(1十)一 kh22一ka4十(Ag十Aa4)495-2g e22一e2·选取Lyapunov函数为V2=Vz1十2/2 第4步对Qs求导数可得到误差的开环动态 则有V2z=一k1:一k2一cz2 特性： 5稳定性分析 Qs=a5d十(id一as)/E一Kpi/L-W1() (10) 对于高度控制子系统，先证E0的稳定性，再 式(10)是一个一阶受控对象，如果能用ES0估计出 证整个闭环子系统稳定性，ES0(11)的误差方程为 未知项xd一W()并把估计值引入到系统的控制 =AE1十B(x5d一W1(t)) 作用中进行补偿，就能实现有效控制，设计如下式 d 的二阶ESO: 式中
第 10期 李壮举等： 热连轧液压活套系统非线性多变量建模及控制 合、外扰和参数时变等不确定作用进行动态估计并 把估计值引入到反推控制器中进行补偿最终实现 解耦和控制． 首先对高度子系统设计反推控制器 ［9］． 第 1步 定义跟踪误差 ｅ11 ＝ｙ1ｄ—ｘ11则 ｅ · 11 ＝ ｙ · 1ｄ—ｘ · 11 ＝ｙ · 1ｄ —ｘ12令 ｅ12 ＝ｘ12ｄ —ｘ12则有 ｅ · 11 ＝ ｙ · 1ｄ＋ｅ12—ｘ12ｄ设计虚拟控制量 ｘ12ｄ ＝ｋ11ｅ11 ＋ｙ · 1ｄ 则可得闭环误差的动态方程 ｅ · 11 ＝ｅ12 —ｋ11ｅ11．选取 Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数为 Ｖ11 ＝ｅ 2 11／2则有 Ｖ · 11 ＝—ｋ11ｅ 2 11 ＋ ｅ11ｅ12． 第2步 令 ｅＦ＝Ｆｄ—Ｆ按照和第1步同样的方 法如果设计虚拟控制量 Ｆｄ ＝（ｅ11 ＋ｋ12ｅ12 —ｘ · 12ｄ — ｆ12）／ｇ12则可得到 ｅ · 12 ＝—ｅ1 —ｋ12ｅ12 ＋ｇ12ｅＦ．选取 Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数为 Ｖ12＝Ｖ11＋ｅ 2 12／2则有 Ｖ · 12＝—ｋ11ｅ 2 11— ｋ12ｅ 2 12＋ｇ12ｅ12ｅＦ． 第 3步 在这一步设计中虚拟量表达式中将 含有 Ｆ · ｄ这一项而这一项的运算量很大为了避免 这一复杂运算可以设计一个 ＥＳＯ对 Ｆ · ｄ 的值进行 估计 ［10--11］．把 Ｆ · 的状态方程代入 ｅ · Ｆ定义式可得 ｅ · Ｆ＝Ｆ · ｄ—Ｆ · ＝Ｆ · ｄ—［ （Ａ1ｇ13＋Ａ2ｇ14）ｘ15— （Ａ1ｆ13＋Ａ2ｆ14） ］ （8） 对式 （8）设计如下式的 ＥＳＯ： ｚ · Ｆ1＝ｚＦ2—βＦ1·（ｚＦ1—ｅＦ）—［ （Ａ1ｇ13＋Ａ2ｇ14）ｘ15— （Ａ1ｆ13＋Ａ2ｆ14） ］ ｚ · Ｆ2＝—βＦ2·（ｚＦ1—ｅＦ） （9） 式中βＦ1、βＦ2为 ＥＳＯ设计参数ＥＳＯ的输出 ｚＦ2就是 Ｆ · ｄ的估计值．定义估计误差 εＦ2 ＝ｚＦ2 —Ｆ · ｄ选取虚 拟量 ｘ15ｄ ＝ （ｚＦ2 ＋ｋ13ｅＦ ＋ｇ12ｅ12 ＋Ａ1ｆ13 ＋Ａ2ｆ14 ）／ （Ａ1ｇ13＋Ａ2ｇ14 ）令 ｅ15 ＝ｘ15ｄ —ｘ15则可得到 ｅ · Ｆ ＝ —ｇ12ｅ12—ｋ13ｅＦ＋（Ａ1ｇ13＋Ａ2ｇ14）ｅ15 —εＦ2．选取 Ｌｙａ- ｐｕｎｏｖ函数为 Ｖ13 ＝Ｖ12 ＋ｅ 2 Ｆ／2则有 Ｖ · 13 ＝—ｋ11ｅ 2 11— ｋ12ｅ 2 12—ｋ13ｅ 2 Ｆ＋（Ａ1ｇ13＋Ａ2ｇ14）ｅＦｅ15—εＦ2ｅＦ． 第 4步 对 ｅ15求导数可得到误差的开环动态 特性： ｅ · 15＝ｘ · 15ｄ＋（ｘ15ｄ—ｅ15）／Ｔ2—Ｋｓｐｉ／Ｔ2—Ｗ1（ｔ） （10） 式 （10）是一个一阶受控对象如果能用 ＥＳＯ估计出 未知项 ｘ · 15ｄ—Ｗ1（ｔ）并把估计值引入到系统的控制 作用中进行补偿就能实现有效控制．设计如下式 的二阶 ＥＳＯ： ｚ · 11＝ｚ12—ｚ11／Ｔ2—β11·（ｚ11—ｅ15）＋ｘ15ｄ／Ｔ2—Ｋｓｐｉ／Ｔ2 ｚ · 12＝—β12·（ｚ11—ｅ15） （11） 式中β11、β12为 ＥＳＯ设计参数该 ＥＳＯ的输出值 ｚ12 就是 ｘ · 15ｄ—Ｗ1（ｔ）的估计值．记估计误差 ε11＝ｚ11— ｅ15ε12＝ｚ12 —（ｘ · 15ｄ—Ｗ1 （ｔ））＝ｚ12 ＋Ｗ1 （ｔ）—ｘ · 15ｄ 取控制量 ｉ＝［ｘ15ｄ—ｅ15（Ｔ2ｋ14＋1）＋Ｔ2（Ａ1ｇ13＋Ａ2ｇ14）ｅＦ＋ Ｔ2ｚ12 ］／Ｋｓｐ （12） 则闭环误差方程 ｅ · 15＝—（Ａ1ｇ13＋Ａ2ｇ14）ｅＦ —ｋ14ｅ15— ε12．选取 Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数 Ｖ14 ＝Ｖ13 ＋ｅ 2 15／2则 Ｖ · 14 ＝ —ｋ11ｅ 2 11—ｋ12ｅ 2 12—ｋ13ｅ 2 Ｆ—ｋ14ｅ 2 14—ε12ｅ15—εＦ2ｅＦ． 再对张力子系统设计反推控制器． 第 1步 取 ｅ21＝ｙ2ｄ—ｘ · 21令 ｅ22 ＝ｘ22ｄ—ｘ22若 设计虚拟控制量 ｘ22ｄ ＝［Ｌ —1Ｅｋ21ｅ21 ＋ｈｘ12 —υ4 （1— β4） ］／1＋ｆ3则得到误差动态方程 ｅ · 21＝—Ｌ —1Ｅ（1＋ ｆ3）ｅ22—ｋ21ｅ21．选取 Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数为 Ｖ21 ＝ｅ 2 21／2则 有 Ｖ · 21＝—Ｌ —1Ｅ（1＋ｆ3）ｅ 2 21ｅ22—ｋ21ｅ 2 21． 第 2步 对 ｅ22求导可得到误差的开环特性为： ｅ · 22＝ｘ · 22ｄ＋（ｘ22ｄ—ｅ22）／Ｔ1—υ3／Ｔ1—Ｗ2（ｔ） （13） 同样对式 （13）设计如下式形式的 ＥＳＯ来估计 Ｗ2（ｔ）： ｚ · 21＝ｚ12—ｚ21／Ｔ1—β21·（ｚ21—ｅ21）＋ｘ · 22ｄ＋ ｘ22ｄ／Ｔ1—υ3／Ｔ1 ｚ · 22＝—β22·（ｚ21—ｅ21） （14） 式中β21、β22为 ＥＳＯ的设计参数该 ＥＳＯ的输出值 ｚ22就是 —Ｗ2 （ｔ）的估计值．记估计误差 ε21 ＝ｚ21 — ｅ21ε22＝ｚ22—（—Ｗ2（ｔ））＝ｚ22＋Ｗ2（ｔ）取控制量 υ3＝ｘ · 22ｄＴ1＋ｘ22ｄ—ｅ21Ｌ —1ＥＴ1（1＋ｆ3）＋ （Ｔ1ｋ22—1）ｅ22＋Ｔ1ｚ22 （15） 可得到闭环误差方程为 ｅ · 22 ＝Ｌ —1Ｅ（1＋ｆ3 ）ｅ21 — ｋ22ｅ22—ε22．选取 Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数为 Ｖ22 ＝Ｖ21 ＋ｅ 2 22／2 则有 Ｖ · 22＝—ｋ21ｅ 2 21—ｋ22ｅ 2 22—ｅ22ε22． 5 稳定性分析 对于高度控制子系统先证 ＥＳＯ的稳定性再 证整个闭环子系统稳定性．ＥＳＯ（11）的误差方程为 ε · 11 ε · 12 ＝Ａ1Ｅ1＋Ｂ1（ｘ ·· 15ｄ—Ｗ · 1（ｔ））． 式中 ·1357·