隐表示存在性二元隐函数隐映射逆映射证明关键是要证明隐函数的存在性，证明过程中，将反复利用所涉及函数的连续性.不妨设F(co,yo）>0.则由F(ac,y）的连续性，可知存在一个以（αo,yo）为中心的矩形I'×J使得F)(a,y) >0, (a,y) E I'× J所以F(c,y在I'×J上关于y严格单调增.记J=[c,dl,则F(co,c)<F(co,yo) = 0 <F(co,d), 即 F(co,c)<0<F(co,d)因为Fa,y对a连续，所以存在一个以co为中心的区间ICI,使得F(c,c)<0< F(c,d), αE I再因为F（α,y)对y的连续性、单调性和介值定理，对每一个aEI,存在唯一的y=f(a),使F(α,f(α)=0,且c<f(α)<d,aEI.f(α）在ao连续：对任意>0在上面的过程中总可以选J使得J|<.而且可以取区间I适当小使得当EI时，fα)EJ.因而If(c)一f(co)<J<e.这说明f(a)在co连续返回全屏关闭退出6/22
ÛL« 35 Û¼ê ÛN _N y² ' ´y²Û¼ê35. y²L§¥, òE|^¤9 ¼êëY5. Ø F 0 y (x0, y0) > 0. Kd F 0 y (x, y) ëY5, 3 ± (x0, y0) ¥%Ý/ I 0 × J, ¦ F 0 y (x, y) > 0, (x, y) ∈ I 0 × J ¤± F(x, y) 3 I 0 × J þ'u y îüNO. P J = [c, d], K F(x0, c) < F(x0, y0) = 0 < F(x0, d), = F(x0, c) < 0 < F(x0, d) Ï F(x, y) é x ëY, ¤±3± x0 ¥%«m I ⊂ I 0 , ¦ F(x, c) < 0 < F(x, d), x ∈ I 2Ï F(x, y) é y ëY5!üN5Ú0½n, éz x ∈ I, 3 y = f(x), ¦ F(x, f(x)) = 0, c < f(x) < d, x ∈ I. f(x) 3 x0 ëY: é?¿ ε > 0 3þ¡L§¥o±À J ¦ |J| < ε. ±«m I ·, ¦ x ∈ I , f(x) ∈ J. Ï |f(x) − f(x0)| < |J| < ε. ù`² f(x) 3 x0 ëY. 6/22 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
隐表示存在性二元隐函数隐映射逆映射f(α)在I连续:对iEI,设yi=f(ai),则(ai,yi)EI×J.因为F(ai,yi)=0,%(ai,yi)>0,所以F在点(ai,yi)满足与(ao,yo)同样的条件.因此由前面的证明可知，存在包含（aci,yi）的开矩形Ii×JiCI×J.当cEIi时，方程F(αy）=0在Ji有唯一解gα)，且g在i连续由解的唯一性知：当aEI时，fc）=g(a).这说明f在ai也连续f(α）在I可导：设aEI.取h充分小,使得a+hEI.令y=f(α)，k=f(c+h）-f(a).由F的可微性，有0 = F(c + h,y+k) - F(c,y) =(a,y)h+(c,y)k + r,(9.1)kTh其中满足=0.令α=，β=Vh2+k2Vh2+k2h4则 limα=0,lim β=0,αh +βk = r.将此代入(9.1),可得h-0h40%(a, y) +akf(a+h)-f(α)%(a, ) +βhhar(a,y).令h→0, 即得 f(a)=-%(a,)an返回全屏关闭退出7/22
ÛL« 35 Û¼ê ÛN _N f(x) 3 I ëY: é x1 ∈ I, y1 = f(x1), K (x1, y1) ∈ I × J. Ï F(x1, y1) = 0, ∂F ∂y (x1, y1) > 0, ¤± F 3: (x1, y1) ÷v (x0, y0) Ó^ . Ïddc¡y², 3¹ (x1, y1) mÝ/ I1 × J1 ⊂ I × J. x ∈ I1 , § F(x, y) = 0 3 J1 k) g(x), g 3 x1 ëY. d) 5: x ∈ I1 , f(x) = g(x). ù`² f 3 x1 ëY. f(x) 3 I : x ∈ I. h ¿©, ¦ x + h ∈ I. - y = f(x), k = f(x + h) − f(x). d F 5, k 0 = F(x + h, y + k) − F(x, y) = ∂F ∂x (x, y)h + ∂F ∂y (x, y)k + r, (9.1) Ù¥ r ÷v lim h→0 √ r h2+k2 = 0. - α = √ h h2+k2 · √ r h2+k2 , β = √ k h2+k2 · √ r h2+k2 , K lim h→0 α = 0, lim h→0 β = 0, αh + βk = r. òd\ (9.1), f(x + h) − f(x) h = k h = − ∂F ∂x (x, y) + α ∂F ∂y (x, y) + β . - h → 0, = f 0 (x) = −∂F ∂x (x, y) . ∂F ∂y (x, y). 7/22 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
隐表示存在性隐映射逆映射二元隐函数例1考虑方程（对应的曲线称为Descartes（笛卡尔)叶形线.F(c, y) = α3 + y3- 3acy = 0显然，要想直接求解方程，给出显式的函数表达式是相当困难的对函数F(a,y)=a3+y3-3ay的两个变量分别求导得Fi(c, y) = 3c2 - 3ay, F;(c, y) = 3y2 - 3ac注意到原点 (0,0) 虽然满足方程 F(0,0) =0, 但是 F(0,0) = 0, F,(0,0) = 0所以定理在(0,0)失效y从图形上看，曲线在（0,0）点自相交，在这一点的附近,任何给定的 (或 y),都无法做到单值的对应一个y（或).当然不存在显式的函数表达式（想想看，如果一个一般曲-X0线F(c,y)=0有自相交，则在自相交的点处F(α,y)的两个偏导数会如何？)返回全屏关闭退出8/22
ÛL« 35 Û¼ê ÛN _N ~ 1 ħ (éA¡ Descartes ((k) /.) F(x, y) = x 3 + y 3 − 3axy = 0. w, ¦)§, Ñwª¼êLª´(J. é¼ê F(x, y) = x 3 + y 3 − 3axy üCþ©O¦ F 0 x (x, y) = 3x 2 − 3ay, F0 y (x, y) = 3y 2 − 3ax 5¿: (0, 0) ,÷v§ F(0, 0) = 0, ´ F 0 x (0, 0) = 0, F0 y (0, 0) = 0. ¤±½n3 (0, 0) . lã/þw, 3 (0, 0) :g, 3 ù:NC, ?Û½ x (½ y), ÑÃ{ üéA y (½ x). ,Ø3 wª¼êLª (w, XJ F(x, y) = 0 kg, K3g:?, F(x, y) ü ê¬XÛ?) x y O 8/22 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ