数与向量的乘积符合下列运算规律: (1)结合律:(d)=以(a)=(4) (2)分配律:(+)=aa+ (+b)=l+元b 两个向量的平行关系 定理设向量a≠0,那末向量b平行于a的充 分必要条件是:存在唯的实数,使b=An
数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： ( a) ( a) = a = () （2）分配律： a a a ( + ) = + a b a b ( + ) = + . 0 b a a b a = 分必要条件是：存在唯一的实数 ， 使 定 理 设向量 ，那末向量 平行于 的 充 两个向量的平行关系
证充分性显然; 必要性设团a取λ 当b与d同向时取正值 当b与d反向时x取负值,即有b=Mn b 此时与G同向且A=l=l=b λ的唯一性.设b=An,又设b=p, 两式相减,得(孔-)=0,即-山l=0, a≠0,故-=0,即=A
证 充分性显然； 必要性 a b ‖ 设 , a b 取 = 当b 与a同向时 取正值， 当b 与a 反向时 取负值， b a. 即有 = 此时b 与 a同向. a a 且 = a a b = b . = 的唯一性. 设 b a， = 又设b a， = 两式相减，得 ( ) 0， − a = 即 − a = 0， a 0， 故 − = 0， 即 =
设a表示与非零向量d同方向的单位向量, 按照向量与数的乘积的规定, d=aa 上式表明:一个非零向量除以它的模的结果是 个与原向量同方向的单位向量
设a 表示与非零向量 a同方向的单位向量， 0 按照向量与数的乘积的规定， 0 a | a | a = . | | 0 a a a = 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量
1→b-3t 例1化简a-b+5-b+ 5 1b-3t 解a-b+5-b+ 55 (1-3)+-1-,+.5|b 25 2i--b
例1 化简 − − + − + 5 3 2 1 5 b a a b b 解 − − + − + 5 3 2 1 5 b a a b b a b = − + − − + 5 5 1 2 5 (1 3) 1 . 2 5 2a b = − −
例2试用向量方法证明:对角线互相平分的 四边形必是平行四边形 证∵AM=MC BMEMD B Ad=AMt Md= Mc t BM=bc AD与BC平行且相等,结论得证
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的 四边形必是平行四边形. 证 AM = MC BM = MD AD = AM + MD = MC + BM =BC AD 与 BC 平行且相等, 结论得证. A B D C M a b