第2章波动观点与”子现点的关系 也具有某种含义.这并不是什么笨拙,而是合情合珉的步骤.今天我们说相对论应该对所 有的能量都是正确的,但是或许有一天,有人会跑来说我们是多么笨呀:直到“惹出祸来”,我 们实在是不知道笨在哪里的,所以整个思想就是惹点祸出来.唯一能发现我仍错误的方法 是找出我们的预测是什么,这对于建立起一种概念是绝对必要的 我们已对量子力学的不确定性作过一些评论.那就是我们现在还不能预测在给定的、 尽可能仔细安排的物理条件下会发生什么物理事件.假如有一个原子处于受激态,即将发 射光子,那么我们无法说出它将在什么时侯发射光子.它在任何时刻都有发射光子的一定 振幅,我们可以预瀷的只是发射的几率;我们不熊精确地预测未来.这件事引起了种种胡扯 和关于诸如意志自由的含义的问题,还引起了世界是不确定的种种想法 当然,我们必须强调,在莱种意义上经典物琛也是不确定的.人们通常认为这种不确定 性—我们不能预言未来一是一种重要的量子力学的特色,而且据说这可用来解释心理 的行为,自由意志的感觉等等但是如果世界真是经典世界一如果力学定律是经典的 心理上也不见得会多少有些不同的感受,确实,就经典观念而言,如果我们知道了世界上 (或者在一个气体容器中)的每个原子的位置与速度,那么就应当能精确地颈言会发生什么 因此经典的世界是决定论的.然而假定我们的特确度有限而且的确不知道一个原子的确 切位置,譬如说只精确到十亿分之一,那么这个原子运动时会撞在别的原子上,由于我们所 知道的位置的精确度不超过十亿分之一,因此我们发现在碰撞后,位置的误差还会更大,当 然,在下一次磁撞时,误差又将被放大这样,如果赵先只有一点点误差的话,后来就会迅速 放大而出现很大的不确定性举个例子来说:比如一道水流从堤坝上泻下时,会飞溅开来如 果我们站得很近,常常会有一华水滴溅到我们的鼻子上.这一切看来完全是无规则的,然j 这样一种行为能由纯粹的经典定律来预序.所有水滴的精确位置取决于水流流过坝以前的 精确运动.果怎样呢?在水流落下时,极微小的不规则性都被放大了;结果就岀现了完全 的不规则性很明显除非我们绝对精确地知道水流的运动否则就不能真正预知水滴的位 置 说得更明确一些给定任一精确度,无论它精确到怎样的程度,我们都能我到一个足够 长的时间,以致无法对这么长的时同作出有效的预言.其实要点在于这段时间并不太长,如 果精确度为十亿分之一,这个时间并不是数百万年.事实上,这个时间随着误差呈对数式地 增长,结果发现只在非常、非常短的时间里我们失去了所有的信息,如果精确度提高到十亿 乘十亿再乘十亿分之一一那么不管我们说多少个几十亿,只要最后不再说下去—一我们 就能找到一个比刚才提到的精确度的数字还要短的时间一过此时间后就再也不能预言会 发生什么了!因此诸如以下的说法,什么由于人类思维的明显的自由与非决定性我们应当 认识到再也不能希望用经典的“决定论的”物理来理解它;什么欢迎量子力学将我们从“绝对 机械论的”宇宙下拯救出来啊等等都是不公正的,因为从实际的观点来说,在经典力学中 早已存在着不可确定性了
几率振幅 §3-1振幅组合定律 当薛定谔最初发现量子力学的正确定律时,他写出了一个方程,描述在不同地点找到粒 子的振幅.这个方程非常像经典物理学家原来就知道的某些方程—曾利用这些方程来描 述空气中声波的运动,光的传播以及其他一些现象,所以在量子力学建立的初期,大部分 时间都花在解这个方程上.但在同一个时期,主要是玻恩和狄喇克发展了对隐藏在量子力 学方程式背后的全新的物理概念的理解.随着量子力学的进一步发展,人们又发现还有许 多东西没有直接包含在薛定谔方程里一如电子自旋以及各种相对论现象,传统上所有的 量子力学课程都是以同一方式开始的,即顺着这一主题历史发展顺序讲解.一个人首先 得学习大量的经典力学,这样他就会懂得如何去解薛定浮方程.然后,他花很多时间去求各 种情况下薛定谔方程的解,只有在详尽地研究了这个方程之后,才接触到电子自旋这个“高 级”课题 我们原来也曾考虑过,结束这些物理课程的正确方式是给你们讲解怎样去解复杂情况 下(例如在封闭区域内声波的描述圆柱型空腔中电磁辐射的模式等等)的经典物理学方程 这是本课程的最初计划:然而,我们还是决定抛弃这个计划而代之以量子力学的导论.我 们得到这样的结论:通常认为量子力学的高级部分事实上是十分筒单的这里而所用的数学 特别简单,只包含简单的代数运算而且没有徽分方程,至多只有一些很简单的微分方程.唯 的问题是,我们必须跃过一↑缺口,这个缺口是我们不再能够详细描述粒子在空间行 为.所以,我们想要做的是:给你们讲解通常所的量子力学的“高级部分.但是我们保 证,它们是极其简单的部分—从深刻意义上来说——问时也是最基本的部分.坦白地说 这是一个教学法的实验,据我们所知,以前还从来没有这样做过 当然在这个课题中我们的困难是对物体的量子力学行为十分陌生,没有人曾在日常 经验中获得过有关物体量子力学行为的粗糙的、直观的概念.有两种介绍这一课题的方法 我们可以用较为粗略的物理方式来描述可能发生的事件,或多或少地告诉你们发生了-些 什么面不给出每一事件的精确定律;或者用抽象的方式给出精确的定律.但是,由于抽象, 你们就完全不知道它们的物通意义.后一种方法不能令人满意,因为它完全是抽象的,而前 种方法使人感到不安因为无法知道究竟哪些东西是真实的哪些是虚假的.怎样克服这 个因难我们尚无把握.事实上你们会注意到在第一和第二章里已经提出了这个问题第 章是比较精确的,而第二章是对不同现象的特征的租糙描述.在这里,我们将尝试在这两 个极端之间找到一种适当的描述方法 本章我们将首先处理一些普遍的量子力学概念.某些表述是十分精确的,另一些表述 只是部分确.当我们进行讲解的时侯很难向你们指明哪一些表述是十分精确的哪一些 是部分精确的但是当你们学完这一本书的其余部分以后再回过头来看一看就会知道哪些 部分已经掌握了,哪些部分只是简略的解释.本章以后的各章将不像本章那样不精确,事
第3几菜探幅 实上,在以后各章里,我们精心力求讲得更精确的理由之一是:要向你们指出量子力学中最 美妙的东西之 从很少的前提可推导出很多的结论 我们还是从讨论几率振幅的叠加开始.我们将用第一章的实验作为例子,并把它重新 画在图8-1上、有一个粒子(訾如说电子)源s:后面是一堵上面有两条狭缝的墙,在墙后面 有一个探测器放在某一个位置a.我们要求在a处发现粒子的几率.量子力学的第一普遍 原理是:粒子从源s发出到达a的几率能够用一个叫做几率振幅的复数的绝对值的平方来 定量地描写——在现在这个例子中,就是“从8来的粒子到达z的振帼”,量子力学中经常 用到这个振幅,我们用一个速记符号一一狄喇克所发明而在量子力学中通用的—一来播写 这个概念.我们用这样的方式来表示几率振幅 <到达a的粒子离开s的粒子> 换言之两个括号<>是与“振幅”相当的记号,竖线有边的表式总是表示初始状况左边的表 示终止状况,为了方便,有时候可以进一步缩写,各用一个字母分别表示初始状况和终止状 况例如,有时我们可以把振帽(31)写 <x|8. 我们要强调-下,这个幅当然只是己等 个单独的数字—一个复数 电于枪 在第一章的讨论中,我们已经看到, 粒子到达探测器有两条可能的路径时, 总的几率不是两个几率之和,而必须写 图3-1电子的十涉实验 成两个振幅之和的绝对值的平方两条路径都畅通的时候,电子到达探测器的几率是 P1=|中1+φ22 我们把这个结果用新的符号来表示.不过我们先要讲一讲量子力学第二普遍原理:当一个 粒子可以通过两条可能的路径到达某一给定的状态时,这个过程的总振幅是,分别考虑两条 路径的振幅之和,用新的符号表示 〈叫|s>两个小乳打洋=<aa1+(s>ata 顺便提一下,我们必须假定小孔1和2是足够地小,当我们谈及电子通过小孔的时候,我们 不必讨论通过的是小孔的哪个部分.当然我们可以把每一个小孔分割成许多部分,而电子 具有通过小孔的上部或通过小孔的底部或其他部分的一定振幅我们假定小孔是足够地小, 从而就不必为这些细节操心.这就是所涉及的粗糙部分;我们可以使之更为精确,但是在现 阶段还不镨要那么做 现在,我们要详细地写出关于电子通过小孔1到达位于a处的探测器这一过程的振幅 我们能说些什么,在这里,我们要应用第三普遍原理:如果粒子走的是某一特定的路线,对 于这条路线的振幅可以写成走过部分路程的振幅以及走过其余部分路程的振幅之乘积.对 于图31的装置,从8通过小孔1到达x的振幅等于从s到孔1的振幅乘以从孔1到如的 振幅 如8>a=〈a|11$ 这个结果也不是完全特确的.我们还应当在振幅中包含一个关于电子通过小孔1的因子, 但是,在目前的管况下这只是一个简单的小孔,我们可令这个因子等子1
曼物理学讲义(第三卷 你们要注意,式(35)是以相反的次序写的.它应当从右边读到左边.电子从器到1 然后从1到a.总结一下,如果事件是接连发生的—就是说,如果你们能够分析粒子所走 的一条路线,说它先走这一段,然后走那一段,再走另一段—则将各相继事件的振幅相乘 即算得该路线的总振幅.运用这个定律,我们可以将式(34重新写成 a|s><如|1<1|8+<a|2<2|8 现在我们要指出,只要运用这几条原理我们就能计算如图3-2所示那种更为复杂的问 题.在该图中有两堵墩,一堵墙上有两个小孔1和 2,另一堵墙上有三个小孔a、b和.在第二堵墙后 k一 Q-引面有探测器位于a处我们要求粒子到达这一探测 器的振幅.一个你们能求出振幅的方法是计算通过 这许多小孔的波的叠加或干涉但是你们也可这样 来求,认为有六条可能的路线,把走过各条路线的振 幅叠加起来.电子可以先通过小孔1,然后通过小 孔a,最后到达或者它可以先通过小孔1,然后通 图32.一个比软复杂的于涉实脸过小孔b,最后到达a,如此等等.按照上述第二 原理,对于可选择的路线其振幅相加.所以我们可以把电子从器到c的振幅写成六个单独 振幅之和另一方面应用第三原理,每一个单独的振幅都能写成三个振幅的乘积,例如,其 中有一个是从8到1的振幅乘以1到a的振幅再乘以a到的振幅.采用我们的速记符号, 从8到a整个振幅可写成 ∞8-<叫③<1<1|s+<x|b<b1<18+…+<me)(o|2(2|s 可用求和符号来节省书写 <s=∑<a|a)<a!s>. 为了用这些方法进行计算,自然必须知道从一个地点到另一地点的振幅.我们将给出 个典型振幅的粗略概念,它不考虑像光的偏振和电子自旋之类的东西,但是,除了这种特 点之外,它是十分准确的.有了这些概念你们就能够解决涉及狭缝的各种组合的问题,假 设有一个具有一定能量的粒子,在真空中以位置1走到位置T2,即这是一个不受力作用的 自由粒子.除了前面还要有一个常数因子外,从r1到T的振幅是 <rs|f少 pIrs/ (37 其中1=7-"1,P是动量,它和能量由相对论方程联系起来 p22-E2-(mo·2)2, 或者由非相对论方程式联系起来 2=动能 方程式(37实际上表示粒子具有像波一样的性质振幅就像一个具有波数等于除以动量 的波那样传播. 在最一般的情况下,振幅和相应的几率也应当包含时间对于大多数这些初步的计算我 们假设粒了源始终发射具有特定能量的粒子,所以我们不必考虑时间问题但是在一般的情 况下我们可能对另外一些问题感兴趣,假设有一个粒子在某一时刻在某一地点P被释放
第3章几率振幅 而你钉想要知道它在某个晚一些的时刻到达某个位置,瞢如说在的振幅.这可用符号表示 成牴輻1,mP,;0.显然,这个振幅将依赖于T和.如果你们把探测器放在不同的 位陉并在不同的时刻进行测量,你们就公得到不同的结.一般地说,这个?和t的函数满 足一分方程,这微分方程是一个波动方程.例如在非相对论的情况下,它就是酵定谔方 程.于是人们就得到一个与电磁波或者气体中声波的方程式相类似的波动方程.然而必须 强调指出,满足这个方程式的波函数与空间的真实的波动并不相同,我们不能像对声波那样 用一种实在的东西来描绘这种波动 虽然人们在处理一个粒子的间题的时候,很想用“粒于波这个词来进行思考,但这并不 是一个恰当的概念,因为,如果有两个粒子那么在T1发现一个粒子并且在T2发现另一个 粒子的振幅辫不是一个简单的三维空间的波面是取决于六个空间变量r4和T2,作为 例子如果我们处理两个(或者更多的)粒子我们还需要有下面的附加原理:假如两个粒子 不相互作用,一个粒子做一件事并且另一个粒子做另一件事的振幅是两个粒子分别做这两 件事的两个振幅之乘积.例如,倘若<a|s>是粒子1从s1到a的振幅,<bis2是粒子2从 到b的振幅,则两者将一起发生的振幅是 <asbs》>. 还要强调一个问题,假定在图3-2中,我们不知道粒子到达第一堵墙的小孔1和2之前 是从什么地方来的,但是只要知道到达1的振帽和到达2的振幅这两个数据,我们仍旧可以 对在墙的后面将会发生些什么(例如到达G的振幅)作出预言.换之,由于接连发生的事 件振幅相乘这一事实如(3.6)式所示,你要继续分析对所必须知道的只是两个数字—对 这里的特殊情形来说就是<1|s和<2|8.有了这两个复数就足够预言未来的一切了.这就 是真正使得量子力学容易的地方.结果在以后的几章里当我们用两个(或少数几个)数宇详 细地说明初始状态后,我们所要做的就是用它来预言未来.当然,这些数字取决于粒子源的 位鷖,并且可能还取决于仪器的其他细节.但是,这两个数字给定后我们就不再需要知道这 种细节, §2双缝于涉图样 现在我们要考虑一个在第一章中已经较详细讨论过的问题.这一次我们将要运用振幅 概念的全部光辉成就来向你们说明这些结果是怎样得出 的,我们采用与图3-1所示相同的实验,但现在两个小 孔后加上一个光源,如图33所示,在第一章里,我 们普经得到下面的有趣结果,如果我们在狭缝1后面观 光源 察,并且看见光子从该处散射,那么所得到的与这些光电子枪 子对应的电于的分布和狭缝2关闭着是相同的,在狭缝 1或在狭缝2处“看到的电子的总分布是单独打开狭缝 1或2时的分布之和,并且和光源熄灭时的分布完全不 同.这个结果至少在我们采用足够短的波长的光线时是图3-3确定电子走过哪一个小孔的实验 正确的.如果波长变长,以致我们无法确定散射过程发生在哪一个小孔附近,电子的分布 就变得比较像光源熄灭时的分布了 我们用新的符号和振幅组合原理来仔细考虑一下会出现些什么情形,为使书写筒单