b)近日点处的曲率半径B=b3/a,其中a为椭围的长半轴b为短半轴。若已知B和 B,可以找到a和此二量之间的关系,试据此求出 )由a计算出行星的周期,写出关系式,标注 所有的符号。 O-4以万有引力相互吸引的两质点,保持不 变的距离,共绕一固定点(它们的质心)运动。试证 明它们在该轨道上运动的周期只取决于它们的质 量和,而与它们的质量比完全无关。此结论对于 椭圆轨道也成立,试证之。 C5如何可以求得月球的质量? C6天狼星的三角视差(即地球轨道半径对天 狼星的张角)为0.378弧秒,由此及图182中所包含数据推出天狼星系的质量(以太阳质 量为单位)。(a)假设轨道平面与视线垂直;(b)考虑了轨道的实际倾斜。你在(b中求得的 值是上限还是下限(或都可能)? 第四章运动学 參阅《费曼物理学讲义》第一卷,第八章。 1.a)一个物体做匀加速直线运动。当t=0时,它位于c=如处并具有速度v=-a0e 求证在时刻t,它的位置和速度分别为: (t=ro+cob+2 at b)从上题公式中消去t证明在任意时刻 2=920+2a(a-ao) 2.把上面的问题推广到三维运动的情况,已知沿三个坐标轴的恒加速度分量为a、v 试证明 x(6)=40+"o+ g()=y0+o+2 (t) (t) =吗+吲+吗=0+2[an(a-)十④(y-)+an(a-) 其中 3.一段圆弧的长度可以度量它对圆心的张角。设8为弧长,B为半径(见图141)
则以弧度为单位的张角为 6=S/R a)证明:若@《1弧度则ne≈e,且cse≈1 b)用上面的结果及两角和的正弦和余弦公式,求sina和cosa的导数。导数的定义是 daelim y(a+do)-y(a) 图1·41 图1.42 .一个物体在半径为B的圆周上以匀速作反时针运动,圆心在直角坐标(,y)的 原点(如图142)。当本0时,粒子位于(B,0),证明 g=Eo8o)6其中,0-v/B为角频率 y=sanω 0,m-v sin ot V,=0 cos at cos ot in Gt a2 A-1高空探测气球带着仪表舱以8048mmin-2的速度上升,到达a14m时,气球 破裂(这种不幸事故确能发生)。于是,仪表舱自由下落。 a)求仪表舱在空中经历的时间。 b)求仪表舱碰到地面时的速度(忽略空气阻力) A-2一列火车能以20cm·8-加速,100cm°s减速。求这列火车在两相距2km的 车站间运行所需的最短时间 A-3如果在有阻力的实际空气中竖直上抛一小球,是上升过程还是下降过程需要的 时间较长? A-4地球赤道上一点相对地球中心的速度多大?角频率多大?由角运动引起的径向 加速度与重力加速度的比值是多大? B-1竖直发射的火箭在其发动机持续燃烧的508时间内,具有向上的匀加速度2 忽略空气阻力及g随高度的变化
a)画出火箭飞行全过程的"-图 b)计算火箭能达到的最大高度。 c)计算从发射到返回地面总共经过的时间。 B-2灬在课堂演示实验中,一小钢球在钢板上弹跣。球到达钢板时向下的速度在反弹 后,每次递减了一个e因子,即ψ=朗。如果在t一0时,小球从钢板上方50cm高处下 落,而且在808后,扩音器的音响消逝(表示弹跳完全终止)。求因子e的数值 B8在平地上物体以初速率v与水平面成角射出。忽略空气力,试求 a)物体达到的最大高度和射程 b)为获得最大射程,物体应以多大角度发射。 B-4射箭冠军射中靶心。靶安设在与之相距为L的墙上,靶心在弓上的高度为b。导 出的初速率(离弓时的速率)、箭的初始仰角、靶高b和靶距L四个量间的方程式。姑且 忽略空气阻力 B-6一小孩以70°仰角上抛一小球,小球经过位于小孩肩上9.7m处的窗户,当小球 通过窗口时呈水平运动。试求: a)球离手时的速率。 b)当球通过窗口时,其轨迹的曲率半径。你能求对应于任一时刻的轨迹的曲率半径 吗? B6一小石子嵌在半径为R的轮胎花纹中,如果轮子在水平路上以速率T无滑动地 滚动。试求出石子的、v坐标分量、速度分量和加速度分量与时间右的关系式。设石子在 0时碰到路面 B7尾随卡车行驶的轿车司机突然发现一块石头在卡车的两个后轮胎之间,作为 个谨慎的司机(又是一个物理学家),他立刻把两车距离拉开到22.5m,以防轿车被甩出 的石头击中,求卡车的速率(假设石头碰地后不再弹跳)。 C-1杂技演员设计一套新的表演动作,把弹射人”和高秋千特技加以结合。他以出 口速度离开弹射器,希望达到足以抓住秋千的高度(=2m,见图1·43),然后上升荡到 离地面高=20m的水平台上(注:秋千绳不应松弛,即在和A两处,竖直速度为零)。 a)求弹射器应该放置的角度6。 b)弹射器应该离平台多远(求a)? c)v必须选取什么值? C-2如图1.4·4,迫击炮安在离峭壁边缘水平距离为8229.60m处,峭壁的深度为 106.68m(从炮基下算)。打算炮击隐蔽在峭壁后的目标。若炮弹的出口速度为804.80n 图1.4·3 图144
s1,求炮弹击点离峭壁边缘的最近距离为多少? 0-3一个加州理工学院时新生缺乏和郊区交通警察打交道的经验,他接到个限速 标签后碰到一段水平公路的“速度计检验”区间。他决定检验其速度计的读数。当他通过这 段公路的始点“0时,他加速汽车并在检验的整个期间维持匀加速度。当他通过0.161km 的路标时,他看到时间从始点过了16s再过88后,他恰通过0322km的路标。 a)在0.322xm处,速度表的读数应为多少? b)加速度多少 C-4在某空军基地的长水乎试验轨道上,可以做火箭发动机和喷气发动机的两种试 验。火箭发动机从静止起均匀加速,到燃料耗尽后,作匀速运动,观察到恰当火箭通过试验 距离的中点,燃料耗尽。一喷气发动机从静止起,在跑道的试验距离全程内做匀加速运动 观察到两者以严格相等的时间通过同一试验距离。求喷气发动机的加速度与火箭发动机的 加速度之比。 第五章牛顿定律 参阅《费曼物理学讲义第一卷,第九章。 A)解题的解析方法 A-1如图15·1所示,在水平面上,用绳连接质量各为m=1kg,m2=2kg的二滑 块,通过滑轮系着一个ma=2kg的物体,忽路摩擦及绳子和滑轮的质量。 a)对每个物体画出隔离体图,标出作用力; b)求每个物体的加速度和各段绳子上的张力。 A-2一个质量为mkg的体用i子悬挂在以0.1g的加速度下降的电梯中,绳子的 张力是多少牛顿? 图1·5*1 图152 A-8在失重状态下,用长度L=2m的绷紧的绳子连接质量均为m=1kg的二物体 二物体在圆轨道上以匀速率=5m·8-1共绕中心O运动。问绳上的张力是多少牛顿(见图 1·5·2)? B-1在图158中,为使M和M,相对于M静止,必须以多大的水平恒力F施于 M?忽略摩擦。 B-2在图154中,为使m=5kg相对于ma=4kg静止,必须以多大的水平恒力B 施于M=21kg上?忽略摩擦。 14
H-3在图1.5·6所示系统中,M1在斜面上无摩擦地滑劲。6=80°,M1=400gM 200g、求M2的加速度和各连接绳上的张力。 1.5 圆1·5 B-4简单的起重机由两部分组成:A部分,质量为Ma,长度为D,高度为H,轮子半径 为矿,轮子间距为D/2;B部分是一个均匀杆,是长为L质量为M的起重臂。起重机的装 配如图1·56所示,其支枢点P位于A的顶部中点,A的重心位于两轮之间的中点。 a)当起重臂B和水平面成6角时,在起重机不翻倒的条件下,它所能举起的最大质量 M是多少? b)如果在绳的一端系有质量M=4/5M的物体,为把此物从地面举高(sin),所需 的最少时间是多少?(6角保持恒定,绳子质量可以忽略。) B5图15·7为早年测重力加速度的装置,称为阿特伍德机。忽略滑轮P及绳子C 图1·5·7 图15·8