所以 Pxs/(x)+/(x)-(x)+2(x)-P(x) ≤maxf(x)+△(Q)+6 即除去可能在有限个点处外,总有 P(x)<N=max f(x)+M 从而上式于区间[a,b上处处成立即P(x)在区间[a,b上处处有限,所以(1.5) 式 处处成立 由于P(x)个系数与Q(x)个相应系数之间的极限关系,不难看出极限关 系式 Q(x)=P(x)(a≤x≤b) 在[a,b]上一致成立这样一来,若于 maxIf(x a≤x≤b < f(x)-e, (x)+max P(x)-@,(x) 两边令i趋于无穷,立即得到 mx(x)-Px)≤Pn(O) 是故A(P)≤Pmn(O.又显然有 f)≤△(P) 所以最终证得 (p)=po) 存在性定理2证毕. 根据定理2,存在形如(1.1)的有理分式R(x),使得
所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ P x f x f x Q x Q x P x + − i + i − i i a x b f x + Q + max ( ) ( ) 即除去可能在有限个点处外，总有 P(x) N max f (x) M. a x b = + 从而上式于区间 [a,b] 上处处成立.即 P(x) 在区间 [a,b] 上处处有限，所以（1.5） 式 处处成立. 由于 P(x) 个系数与 Q (x) i 个相应系数之间的极限关系，不难看出极限关 系式 lim Q (x) P(x) (a x b) i i = → 在 [a,b] 上一致成立.这样一来，若于 max f (x) P(x) a x b − max f (x) Q (x) max P(x) Q (x) i a x b i a x b − + − 两边令 i 趋于无穷，立即得到 max ( ) ( ) ( ). , f x P x f m n a x b − 是故 ( ) ( ). , P f m n 又显然有 ( ) ( ) m,n f P , 所以最终证得 ( ) ( ) , P f = m n . 存在性定理 2 证毕. 根据定理 2，存在形如（1.1）的有理分式 R(x) ，使得
△(R)=Pmn(O 其中f(x)是区间[a,b]上连续函数称满足(1.6)的有理分式为f(x)于(1.1) 所示有理分式类中的最佳一致逼近有理分式下面的 Tchebyshev定理对最佳 致 逼近有理分式的特征作了确切的描述 定理3形如(1.1)的有理分式函数中在[a,b上与f(x)偏差最小的有 理 分式P(x)由下述特征所唯一确定① 若将P(x)写成 m-+b,xm--1+,,+b P(x) y B(x) dox 1x A(x) 其中A(x)B(x)互质,a0≠0.0≤4≤m0≤W≤n则在[a,b]上使f(x)-P(x) 以正负交错的符号达到△(P)的点列之点数N≥m+n-d+2,其中 若P(x)≡0,则N≥m+2 证明充分性设 N≥m+n 并于定理1中取风=△P),则知对任何形如(11)的有理分式Q(x),必 有 △(Q)≥△(P) 从而P(x)是最佳逼近有理分式 必要性采用反证法设满足要求的偏离点的个数为N≤m+n-d+1, 我们
( ) ( ) , R f = m n ， （1.6） 其中 f (x) 是区间 [a,b] 上连续函数.称满足（1.6）的有理分式为 f (x) 于（1.1） 所示有理分式类中的最佳一致逼近有理分式.下面的 Tchebyshev 定理对最佳 一致 逼近有理分式的特征作了确切的描述. 定理 3 形如（1.1）的有理分式函数中在 [a,b] 上与 f (x) 偏差最小的有 理 分式 P(x) 由下述特征所唯一确定① . 若将 P(x) 写成 ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 0 1 A x B x a x a x a b x b x b P x n n n m m m = + + + + + + = − − − − − − − − ， 其中 A(x), B(x) 互质， a0 0,0 m,0 n.则在 [a,b] 上使 f (x) − P(x) 以正负交错的符号达到 (P) 的点列之点数 N m+ n − d + 2 ，其中 d = min( , ) . 若 P(x) 0 ，则 N m+ 2. 证明 充分性.设 N m+ n − d + 2. 并于定理 1 中取 (P) k = ，则知对任何形如（1.1）的有理分式 Q(x) ，必 有 (Q) (P). 从而 P(x) 是最佳逼近有理分式. 必要性.采用反证法.设满足要求的偏离点的个数为 N m+ n − d +1， 我们
来证P(x)必不是最佳逼近有理分式将[a,b分为如下的N个子区间: a,5i].[512l…,[-1,b], (1.7) 使之在上述区间上,轮流满足 △(P)≤f(x)-P(x)≤A(P)-a, ①此处所说的唯一性,乃指经约分化简后为相同的有理分式者 △(P)+a≤f(x)-P(x)≤△(P) 并且(1.7)中每个区间内只含有一个偏离点 为证P(x)不是最佳者,只须求得(1.1)形有理分式Q(x),使得 △(Q)<△(P) 成立即可 引入多项式 y(x)=(x-51)(x-52)(x-5x) 显然它在51,525N-1处依次变号 由于A(x)与B(x)互质,于是存在次数分别为m与n的多项式叭(x)与 ) 使得 A(x)o(x)+B(xo(x) 于上式两边同乘多项式Φ(x),得到 d(x)=A(x)(x)(x)+B(x)q(x)<(x) (1.9
来证 P(x) 必不是最佳逼近有理分式.将 [a,b] 分为如下的 ' N 个子区间： [ , ],[ , ], ,[ ' 1 , ] a 1 1 2 N − b ， （1.7） 使之在上述区间上，轮流满足 − (P) f (x) − P(x) (P) − ， ① 此处所说的唯一性，乃指经约分化简后为相同的有理分式者. 和 − (P) + f (x) − P(x) (P). 并且（1.7）中每个区间内只含有一个偏离点. 为证 P(x) 不是最佳者，只须求得（1.1）形有理分式 Q(x) ，使得 (Q) (P) 成立即可. 引入多项式 ( ) ( )( ) ( ' 1 ) x = x − 1 x − 2 x − N − 显然它在 1 2 1 , , , ' N − 处依次变号. 由于 A(x) 与 B(x) 互质，于是存在次数分别为 m 与 n 的多项式 (x) 与 (x) ， 使得 A(x)(x) + B(x)(x) = 1. 于上式两边同乘多项式 (x) ，得到 (x) = A(x)(x)(x) + B(x)(x)(x) . （1.9）
用B(x),A(x)分别去除(带余)p(x)(x),(x)p(x) P(x)op(x)=B(x)q, (x)+r(x) p(x)p(x)=A(x)q2(x)+r2(x) 其中(x)∈Pm=,12(x)∈P-,分别为m-,n-v次多项式 将(1.10)代入(1.9)有 d(x)=A(x)B(x)q (x)+A(x)B(x)q2(x) +A(x)1(x)+B(x)2(x) =B(x){4(x)q1(x)+q2(x)+r2(x)}+A(x)1(x) =B(x)·u(x)+A(x)·v(x), 其中u(x),v(x)为次数不高于n,m的多项式 作有理分式 B(x)2(x)-@v(x) A(x)Q2(x)+ou(x) 于是 P(x)-o(x) B(x) B(x)22(x)-ov(x) A(x) A(x)Q2(x)+ou(x) o[B(xu(x)+A(x)v(x) A(xLA(x)Q2(x)+ou(x) p(x) A(xLA(x)Q2(x)+ou(x) 因为 f(x)-Q(x)=[f(x)-P(x)]+[P(x)-Q(x If(x)-P(x)] 0D(x) (1.11 A(x)[4(x)g2(x)+Ol(x)
用 B(x)， A(x) 分别去除（带余） (x)(x),(x)(x) ： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 x x A x q x r x x x B x q x r x = + = + （1.10） 其中 Pm− r (x) 1 ， Pn− r (x) 2 分别为 m − ,n − 次多项式. 将（1.10）代入（1.9）有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 x = A x B x q x + A x B x q x ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 + A x r x + B x r x ( ){ ( )[ ( ) ( )] ( )} ( ) ( ) 1 2 2 1 = B x A x q x + q x + r x + A x r x = B(x)u(x) + A(x) v(x)， 其中 u(x), v(x) 为次数不高于 n,m 的多项式. 作有理分式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A x x u x B x x v x Q x + − = . 于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A x x u x B x x v x A x B x P x Q x + − − = − ( )[ ( ) ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( ) ( )] A x A x x u x x A x A x x u x B x u x A x v x + = + + = 因为 f (x) − Q(x) = [ f (x) − P(x)] +[P(x) − Q(x)] = [ f (x) − P(x)] + ( )[ ( ) ( ) ( )] ( ) A x A x x u x x + ， （1.11）
于是只须特别取9x)=1,并取回充分小,则在调节正、负号的前提下可以 保证 (1.1)最后一等号右端第二项恰与第一项在个偏离点上的值异号从而,只须 对充分 小的O取(1.1)形有理分式 Q(x)= A(x)+ou(x) 则可保证不等式(18)成立必要性得证 最后证明唯一性,用反证法设还有(1.1)形有理分式Q(x),使得 △(Q)=△(P)=Pn,(O) 假设与Q(x)相应的量N,,v,d与N,4,V,d意义相同由必要性,知 N≥m+n-d+2,N≥m+n-d+2 为确定起见,不妨假设N≥N 设 B1<B2 B 为相应于Q(x)的偏离点,考虑差函数 7(x)=P(x)-Q(x) [f(x)-Q(x)]-[f(x)-P(x 若β,点同样也是P(x)的同类(同正或同负)偏离点,则应有 7(B)=0 否则,7(B)≠0,但此时必然有 sign n(B,)=sign [f(B)-O(B) (1.1
于是只须特别取 (x) 1 ，并取 充分小，则在调节 正、负号的前提下可以 保证 （1.11）最后一等号右端第二项恰与第一项在个偏离点上的值异号.从而，只须 对充分 小的 取（1.1）形有理分式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A x u x B x v x Q x + − = ， 则可保证不等式（1.8）成立.必要性得证. 最后证明唯一性，用反证法.设还有（1.1）形有理分式 Q(x) ，使得 ( ) ( ) ( ) , Q P f = = m n . 假设与 Q(x) 相应的量 ' ' ' ' N , , ,d 与 N,, ,d 意义相同.由必要性，知 2, 2 ' ' N m + n − d + N m + n − d + . 为确定起见，不妨假设 N N ' . 设 1 2 ' N 为相应于 Q(x) 的偏离点，考虑差函数 (x) = P(x) − Q(x) = [ f (x) − Q(x)] −[ f (x) − P(x)]. 若 j 点同样也是 P(x) 的同类（同正或同负）偏离点，则应有 ( j ) = 0 否则， ( j ) 0 ，但此时必然有 ( ) [ ( ) ( )]. j j Q j sign = sign f − （1.12）