关于群论中一个定理的注记

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1989.02.033 北京科技大学学报 第11老第2期 Vol.11 No.2 1989年3月 Journal of University of Science and Technology Beijing Mat,1989 关于群论中一个定理的注记 周 政平 (散力系) 辅要：张远达在北著名著作《有限群构造》中证明了定理4（见引出），并明确 指出条件〔G:N:(H)】为有限数是关健。本文证明了这个条件可以去掉，年得到更一般 的定理。 关键词：群，共能子群，容许下群，子群的积 A Note on a Theorem in Group Theory Zhou Zhengping ABSTRACT:Prof.Chang Yuanda proved Theorem 4 in his well-known book "Structure of Finite Groups"(in Chinese)(P.49),and pointed out that the condition that [G:No(H)]is finite was the key of the theorem.In this note,it is shown that the codition can be left out,and a more general theorem has been proved. KEY WORDS:group,conjugate,product of subgroups,admissible subgroups 张远达在其著作《有限群构造》一书中证明了下面定理4口： 若(G:N。(H)刀〕为有限数，则凡与H共轭的诸子群之积必为G之正规子群，而等下它们 所生成的子群；又与H共轭的诸子群之积与了群之排列的先后次序无关。 定理的证明借助于书中的两个引理而完成，并指出“定理4中非要关健在〔G:N。(H)门 为有限数”。张先生的结论可能出自于其引理2的证明方法，然而本文用另一种方法在对 〔G:N(H)不加任何限制的情况下证明了比其引理2更一般的结论，出然，这时对于凡与 H共轭的所有子群之积的概念需要进一步明确。 另一方面，与H共轭的诸了群，可看作H被(G)中心作用的像集合，而N。(H)则可看 作(G)中使H变到身的那些元素组成的(G)的了群。作助？一群（带算了群）的概念， 198-05-01收稿 184

纷 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 一 ， 关于群论 中一个定理的注记 周 政 平 数力系 子尸 摘 要 指 出 条件 〔 的定理 。 关锐 词 张 远 达 在 其著名著 作 《 有限 群 构造 》 中证 明 了定理 见 引言 ， 并明确 “ ，〕 为有限 数 是 关键 。 本文 证明 了这 个条件 可以 去掉 ， 片得 到 更一 般 群 ， 共 辘 子 群 ， 容 许 子群 ， 子群 的 积 “ 月夕 认 ， 一 ，’ ” ， 〔 〕 ， 、 ， ， ， 〔 、 ， 、 ， 护尸 张 远达 在其著作 《 有 限 群 构造 》 一 汐 ， 证明 了 面 定 理 川 若 〔 。 〕 为有限 数 ， 贝 凡 与 共 扼的 诸 子群之 积 必 为 之 正 规 子群 ， 而 等 千它 们 所 ， 几成 的子 群 又 与 共 辆的 诸 子群之 积 ‘ 子群之 排 列 的先 后 次序 无 关 。 定 理 的 正明借 助 于 沙朴的两 个引理 而 完成 ， 井 指 出 “ 定 理 ， ， 卜要 关键在 〔 。 〕 为 有限数 ” 。 张 先生 的结 论 可能 出 自于其 引理 的 证 明 方 法 ， 然 而 本文用 另 一 种方 法 在对 〔 。 〕 不加 任何限 制 的情况 下证明 了比 其引 理 更一 般 的结 论 ， ’与然 ， 这时 于凡 与 共 辘的 所有 子群之 积的概念 需 要进 一 步明 确 。 另一 方面 ， ‘歹 共 辘 的 诸 子群 ， 可 看作 被 川 ， 元作 用 的像 集合 ， 而 。 则可 看 作 中使 变到 自身的那些 元素组 成的 ‘ 的 广群 。 借助 ’ 口一 群 带 算 子群 的概念 ， 洲口 一 己一 一 。 色 收 稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1989．02．033

从这方面也可以对定理作一些有意义的推广。 1定理的证明 首光，明确一下上面提到的积的定义及推广一个概念 定义1：{H:},2∈I是群G的一指标集子群集合，其中(I,≤)构成一良序集，那末， {h1,…hkk∈N,九：∈I,且元1≤2…≤k}=IH,称为H,元∈I,按≤的积 定义2：群G的两个子群H1,H,说是2一共轭的，如果存在σ∈2使H?=H2,其中2 是G的任一算子域。 注：除定义2外，还可以推广一些概念如： (1)2-一群的子集M的Q一中心化子Zn(M)={σ|σ∈2，且对任意m∈M,m°=m}, 特别，令2=I(G),则Z(M)=Na(M) (2)2-群的子集M一正规化子N(M)={o|o∈2，且M°=M},特别，令2=I(G), 则Na(M)=N(M).等等，也可得到关于这些概念的一些简单明显的事实及相互之间关系的 简单结论。 由Q一群的定义，不妨假定2是Ed(G)的一个子集，下面给出本文要证明的定理。 定理：设H是群G的一个子群，{H:},入∈I,是H关于2共轭的所有子群（此时I必定 是一个集合，从而必可以良序化：2,2是Ed(G)的一个对乘法封闭的子集，且.下h∈UH:, 日1 Ih∈2，那么，对任意序集，(I,≤)， 4,H>,且为G的Q-容许子群. 1 先证明两个引理· 引理1：a:a:=a1ah或a1a,其中a:∈Hxi,a∈Hi,ak∈Hk,c,∈HA1,i,, k,1,∈(I,≤) 证明：VHi,o:∈2，使Hoi=H1,从而 ajiHxia:=aH°ia,=HIi,由定理条件，. 0I.1∈2，故IHk使 ajHitas=H5=Hix 故Va,∈Hai,aak∈Hak满足aa:a;=ak 即aiai=aak 同理可证a:a;=a1ai 引理2：形如01…0k的元素，ax1∈H1,可表示为aa'1…a'k之形式，其中1{≤≤ …≤1，a{∈H,2,i{∈(I,≤)，i=1,2,…,k 证明：作集合P=心Mk,其中Mk={(11,…,Ax)川2，∈(I,≤)}，则显然按字典顺 k。1 序关系1，(P,≤1)构成一个良序集。 令G1…xk={a1…ak入：∈(I,≤)，ai∈Hi}对应于P中的元(1，，ik),则 显然，对任意无∈(I,≤)，对G中元引理2成立，任取1…ak∈G1…k,且不妨设1+1 ≤：，对某个1≤k一1，则由引理1，我们有 185

从 这方面也可 以对定理 作一些有意 义 的推 广 。 定理 的证明 首先 ， 明确一下上面提到 的积 的定 义及 推广一个概 念 定 义 ， ， 之任 是 群 ‘ 的一 指标 集子群集合 ， 其中 ， 毯 构成一 良序集 ， 那末 ， 气、 ” ， “ 一 ” 之 ” 任， “ ‘ 任了 ， 且 几 粗只 … ‘ 只 界洲 称 为 ， ， 只任了 ， 按 蕊 的 积 定 义 群 的两个子群 ， ， 说 是 口一 共辆的 ， 如 果存在， 任 口使 百 ， 其 中犯 是 ‘ 的任一算子 域 。 注 除 定 义 外 ， 还可 以 推 广一些 概 念如 口一群 的子 集 的口一 中心 化子 。 五 任口 ， 巨对 任意 呀 ， “ 。 ， 特 别 ， 令口 二 ， 则 口一群 的子 集 入了一 正 规化子 抓 川 ， 呀 口 ， 且 “ 二 ， 特 别 ， 令口 ， 则 。 。 等等 ， 也可 得到 关于 这 些概 念 的一 些 简单 明 显 的事实及 相 互之 间关 系的 简单结 论 。 由口一群 的定义 ， 不妨假 定口是 的一个子 集 ， 下 面给 出本文 要 证 明 的 定理 。 定理 设 是 群 ‘ 的一 个子群 ， ， ， 元任 ， 是 关 于口共辘 的所有 子群 此 时 必定 是 一 个集合 ， 从而必可 以 良序 化 〔 〕 ， 口是 ‘ 的一 个 对乘法 封 闭 的子 集 ， 且 任 ， 只 召 ” 任 口 ， 那 么 ， 对 任意 序集 ， ， 镇 ， ， ， ， 且 为口的口一 容许 子群 汽 仁 ， 一 么 任 先 证明 两 个引理 引理 、 或 ， ， 其 中 任 ， ， 任 ， ， 任 ， ， ， 任 ， ， ， 汽， ， 几 ， ， 又 ， ， 任 ， 〔 证明 ， ， 互 任 口 ， 使 “ ‘ 二 ， 从 而 了‘万 二 万’ 二 ， ’ ‘ ， ， 由定 理条件 ， 任 口 ， 故 汪 ， 使 了 ， 吕 ， 故 ， 任 ， ， 任 满 足 了’ ， 即 同理可 证 ， ， 引理 形如 “ ， “ · 。 ， 的元 素 ， 。 任 ， 可表 示为 。 ，产 ，“ · 。 ， ‘ 之 形 式 ， 其 中叮 心镇 … 抓此 ， 。 任 ， 犷 ， ， ， 对 任 ， 戈 ， ‘ ， ， … ， 证 明 作 集 合 尸 口 ， 其 中 ， ， 一 几 久 ， 任 ， 毛 ， 则显 然按 字典顺 序 关系 共 ， 尸 ， 镇 构成一个 良序集 。 令 ， … ， … ， 只 任 ， 互 ， 显 然 ， 对任意 元任 ， ， 对 ， 中元 引理 毛只 ， ， 对某个 拭 犷共 一 ， 则 邮 理 ， “ ， ， 任 ， ， 对应于尸 中的 元 之， ， … ， 兄、 ， 则 成立 ， 任取 。 ， “ · ， 任 ‘ ， · 只 ， 且 不妨设 只 ，十 我们 有

a,a41-10:011…ak=0101-101+10"11at显然，（21,1-1,1+1： 元”+1，…)（1，…，2-1,11,21+1，k) 故由归纳假设有： 010,-1a+10:”+10=a0}…ak 其中1{1？…“1 从而a1a42…ak=aa:2…ak 且1{≤2…k 由超限归纳法我们证得了引理2成立 定理的证明： 由引理2，我们有<，H:>e、,H, 而<H>弘.H:是显然的，所以 HeH 至于<，H,>为G的P-容许子群，由Q对乘法封闭，这也是最然的。 2定理的特殊情形 (1)当I(G)一QEnd(G)时，其中2≤End(G)表示2为End(G)的子单胚，定理条件 显然满足，此时e私，H,=<:>为G的P一容许正规子群 (2)当2=(G),1.I是有限集I={1,2,,n},则得到张先生的定理41。 (3)令Q=Au(G),则<GH,>=.,H,为G的特征子群 （4)令0=End(G),则<记H,>e队，H,为G的完全特征子群 (5)如果I是自然数集，良序关系就是数的顺序关系，则有： <fI:,…,Im,…>={h1,h2…hk|k,i,i2…,ik∈N,Li:i2≤…≤ik} 参考文献 1张远达，有限群构造，科学出版社，1982年 2 Levy A.Basic Set Theory,New York,1979 致谢：该文得到导师柳孟辉教授的鼓励和指导 186

… 丈 义 直 之 … 解 了 之 ， … ， 二 ， ，… ， 一 ， ， 、 、 ， · ， ， … ，盆显然 ， 义 ， … ， 久，一 ， 之 ， 之 “ ， ， 只一 ， 只 ， ， 只 故 由 归纳假设有 “ ， ” ’ “ ， 。 一 、 口 ， 、 、 “ “ 、 、 ” ’ “ ， 仁二 “ ， 犷。 ， 若” ’ “ 其 中只 了只石一 · · 一只二 从 而 ， ， … ， 二 ， 犷 。 ， 荃” ’ 口 且 盯 ‘ 只石厂 · · 一祥 由超限 归纳法我们 证得了引理 成 立 定理 的 证明 由引 理 ， 我 们 有 匕 ， 气 ， ， 盛 〔 了 人 任 ， 而 、 岁凡 “ 飞书 ， 笋是 显然 ， 所以 〔 ， ， 孟任 只〔 ， 至 于 结从 为 的。 一 容许 子 群 ， 由口对乘 法封闭 ， 这 也是 显然 的 。 定理的 特殊情形 当 ‘ 口 一 ‘ 时 ， 其 中口了 表示 口为 ‘ 的子 单胚 ， 定理 条件 显然 满 足 ， 此 时 。 双 ‘ ，拭 二 ’提热 为‘ 的。 一 容许 正规 子群 当习 ， 日 令 户 二 主 ， 是 有限 集 二 王 ， 则 口 ， 二 汤贬 孟〔 · 二 则 日 ， 二 人 〔 ， 人 任 ， 一 ， 则得 至 张 先 生 的定 理 〔 ” 。 尸矛 令 口 ， ， 为 的特征子群 ， 为 的完全 特 征 子群 如 果 是 自然 数集 ， 良序 关系 一 就是 数 的顺序 关 系 ， ， … ， 。 ， … ‘ ， ， ‘ … ‘ 】 ， ‘ ， ， 贝 有 好 ， 返一 冬 一 几 参 考 张 远 达 有限群 构造 ， 科 学 出版社 ， 、 ， 。 ， 文 狱 年 、 ， 致谢 该 文 得 到导 师柳 孟辉教授 的 鼓励 和指导