3.3.13.3.23.3.3有时，我们也称微分中值定理为Lagrange中值定理.当f（a）=f(b）时中值定理就转化成Rolle定理，因此它是比Rolle定理更一般的定理从几何上看，微分中值定理的结果B是不难理解的，考虑函数的差商f(b) - f(a)b-a它是割线AB的斜率.设想一下，如果3ba我们平行移动这条割线，则它至少有一次机会达到这样的位置，即在曲线上与图3.5割线AB距离最远的那一点M，成为曲线的切线（图3.5）：也就是说，存在介于a和b之间的一点，使得定理3成立从物理上看，一个沿直线运动的质点，必然在某一个时刻的瞬时速度，等于整个运动过程的平均速度返回全屏关闭退出6/34
3.3.1 3.3.2 3.3.3 k, ·¡©¥½n Lagrange ¥½n. f(a) = f(b) , ¥½nÒ=z¤ Rolle ½n, Ïd§´' Rolle ½n½n. lAÛþw, ©¥½n(J ✲ ✻ x y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A B a b ã 3.5 ´ØJn). ļê û f(b) − f(a) b − a §´ AB Ç. e, XJ ·²1£Äù^, K§k gŬù , =3þ AB ål@: M, ¤£ã3.5¤. Ò´`, 3 0u a Ú b m: ξ, ¦½n 3 ¤á. lÔnþw, ÷$Ä:, 7,3,]Ý, u$ÄL§²þÝ. 6/34 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.3.33.3.13.3.2推论1.如果函数f在一个区间上连续，且对区间内的每一个点C.都有f'(αc)= 0,则函数 f 在区间上一定是常值函数.对于两个可导函数 f 和 g如果它们的导数相等，则两个函数相差一个常数证明任取区间上两点1<2,在[c1,a2]上，由中值定理知，存在一点使得f(c2) - f(αi) =f'()(c2 -ai)但f(a）恒为零，所以f(）=0,于是f（aαi）=f（c2),即函数在区间上任意两点的值相等，所以是常值函数进一步可以证明，若函数f在一个区间上连续，且对区间内的每一个点a,都有f（n）（α）=0,则函数f在区间上一定是次数不超过n一1的多项式返回全屏关闭退出7/34
3.3.1 3.3.2 3.3.3 íØ 1 XJ¼ê f 3«mþëY, é«mSz: x, Ñk f 0 (x) = 0, K¼ê f 3«mþ½´~¼ê. éuü¼ê f Ú g, XJ§ê , Kü¼ê ~ê. y² ?«mþü: x1 < x2, 3 [x1, x2] þ, d¥½n, 3: ξ ¦ f(x2) − f(x1) = f 0 (ξ)(x2 − x1) f 0 (x) ð", ¤± f 0 (ξ) = 0, u´ f(x1) = f(x2), =¼ê3«mþ?¿ü : , ¤±´~¼ê. ?Ú±y²§e¼ê f 3«mþëY, é«mSz: x, Ñk f (n) (x) = 0, K¼ê f 3«mþ½´gêØL n − 1 õª. 7/34 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.3.13.3.23.3.3例 1 证明：若函数 f(aα)在R 上可导，且满足方程 f(α)=f(α),则存在常数c使得f(α)=ce.证明 令g(α) =e-af(αc). 则 g(α)在 R 上可导,且 g(α)=e-(f'(α)-f(α)) = 0. 于是 g(α) 是常数, 记 g(α) = c. 则有 f(α) = ce".以上结论可以推广如下设 (α) 在 R 上可导, 且 '(α) = g(c). 若函数 f(α) 在 R 上可导, 且满足方程 f'(α) = g(αc)f(α),则存在常数 c 使得 f(a)= ced(a).返回全屏关闭退出8/34
3.3.1 3.3.2 3.3.3 ~ 1 y²: e¼ê f(x) 3 R þ, ÷v§ f 0 (x) = f(x), K3 ~ê c ¦ f(x) = cex . y² - g(x) = e −xf(x). K g(x) 3 R þ, g 0 (x) = e −x (f 0 (x) − f(x)) = 0. u´ g(x) ´~ê, P g(x) = c. Kk f(x) = cex . ±þ(رí2Xe: ϕ(x) 3 R þ, ϕ0 (x) = g(x). e¼ê f(x) 3 R þ, ÷ v§ f 0 (x) = g(x)f(x), K3~ê c ¦ f(x) = ceϕ(x) . 8/34 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.3.33.3.13.3.2推论2设函数f在区间I可微，且|f(α)I≤M（即导数有界）.则If(c2) - f(αi)I ≤ M|α2 - αil即，具有有界导数的函数一定是Lipschitz 连续的例 2 设函数 f 在区间 I 上有定义.若存在 M >0,及 α>1使得[f(α2) - f(αi)l < Mα2 - i/, V 1, 2 E I,则 f(α)是常数证明对于任意I的内点 o，当△α充分小时,有If(co + △α) 一 f(co)/ ≤ M|Aα℃.因此,f(co + Aa) - f(aco)≤ MAa[α-1,Aa返回全屏关闭退出I-9/34
3.3.1 3.3.2 3.3.3 íØ 2 ¼ê f 3«m I , |f 0 (x)| 6 M£=êk.¤. K |f(x2) − f(x1)| 6 M|x2 − x1| =, äkk.ê¼ê½´ Lipschitz ëY. ~ 2 ¼ê f 3«m I þk½Â. e3 M > 0, 9 α > 1 ¦ |f(x2) − f(x1)| 6 M|x2 − x1| α , ∀ x1, x2 ∈ I, K f(x) ´~ê. y² éu?¿ I S: x0, ∆x ¿©, k |f(x0 + ∆x) − f(x0)| 6 M|∆x| α . Ïd, f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x 6 M|∆x| α−1 . 9/34 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.3.13.3.33.3.2由于 α>1.我们得到f(ao +Aa) -f(co)lim=0AcAr-0即，f(co）=0.这说明f在I上可导且导函数恒为零，因此f为常数例3证明：对任意常数c,方程α3-3a+c=0在[0,1]中不可能有两个相异的实根证明记f(a)=α3-3c+c.若对某个c,方程在[0,1]上有两个相异的实根 1,不妨设 0 ≤ 1<2≤1则 f(αi)= f(2)= 0, 因此 f(α)在[ci,a2] 上满足Rolle定理的三个条件,所以必有ai<<a2使得f'() = 3( - 1) = 0.即IS=1,但0≤αi<<α2≤1,故矛盾矛盾说明有两个相异实根的假设是不对的返回全屏退出关闭-10/34
3.3.1 3.3.2 3.3.3 du α > 1, · lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x = 0, =, f 0 (x0) = 0. ù`² f 3 I þ ¼êð", Ïd f ~ê. ~ 3 y²: é?¿~ê c, § x 3 − 3x + c = 0 3 [0, 1] ¥ØUkü É¢. y² P f(x) = x 3 − 3x + c. eé, c, §3 [0, 1] þküÉ ¢ x1, x2 Ø 0 6 x1 < x2 6 1 K f(x1) = f(x2) = 0, Ïd f(x) 3 [x1, x2] þ÷v Rolle ½nn^, ¤±7k x1 < ξ < x2 ¦ f 0 (ξ) = 3(ξ 2 − 1) = 0. = |ξ| = 1, 0 6 x1 < ξ < x2 6 1, gñ. gñ`²küÉ¢b ´Øé. 10/34 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ