《高等数学A》教学大纲 课程类别：学科基础课 课程性质：以修 英文名称：Advanced Mathematics 总学时：186 讲授学时：186 学分： 12 先修课程：无 适用专业：理工类 开课单位：信息工程学院 一、课程简介 高等数学课程是高等数学工科本科各专业的一门必修的重要的基础课。 一方 面，它为学生学习后续课程和解决实际问题提供必不可少的数学基础知识及常用的 数学方法：另一方面，它通过各个教学环节，逐步培养学生具有初步抽象概括能力 还要注意培养学生综合运用所学知识分析问题，解决问题的能力等等。 根据高等数学本科教育的培养目标，在基础课的教学中，要求以应用为目的。 以必须够用为度。因此，本课程还要物理专业的实际出发，建立自己的系统性，以 达到培养学生的数学素质和解决问题能力目标。 二、教学内容及基本要求 第一章：函数与极限 (10学时) 教学内容： 1.0引例1.1函数1.2极限1.3极限的性质与运算 1.4单调有界原理和无理数e1.5无穷小的比较 1.6函数的连续与间断1.7闭区间上连续函数的性质 教学要求： 1.了解函数的概念：2.了解函数奇偶性、单调性、周期性和有界性： 3.理解复合函数的概念，了解反函数的概念： 4.掌握基本初等函数的性质及其图形： 5.会建立简单实际问题中的函数关系式：6.理解极限的概念： 7,堂握极限四则运算法则： 8.了解两个极限存在准则，会用两个重要极限求极限 9.了解无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念： 10.理解函数在一点连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型 11,了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质。 授课方式：讲授 第二章：一元函数微分学及其应用 (30学时) 教学内容： 2.0引例2.1导数的概念2.2求导法则2.3高阶导数与相关变化率 2.4函数的微分与函数的局部线性逼近2.5利用导数求极限一洛必达法则 2.6微分中值定理2.7泰勒公式2.8利用导数研究函数的性态 6
6 《高等数学 A》教学大纲 课程类别：学科基础课 课程性质：必修 英文名称：Advanced Mathematics 总学时： 186 讲授学时：186 学分： 12 先修课程：无 适用专业：理工类 开课单位：信息工程学院 一、课程简介 高等数学课程是高等数学工科本科各专业的一门必修的重要的基础课。一方 面，它为学生学习后续课程和解决实际问题提供必不可少的数学基础知识及常用的 数学方法；另一方面，它通过各个教学环节，逐步培养学生具有初步抽象概括能力， 还要注意培养学生综合运用所学知识分析问题，解决问题的能力等等。 根据高等数学本科教育的培养目标，在基础课的教学中，要求以应用为目的， 以必须够用为度。因此，本课程还要物理专业的实际出发，建立自己的系统性，以 达到培养学生的数学素质和解决问题能力目标。 二、教学内容及基本要求 第一章：函数与极限 （10 学时） 教学内容： 1.0 引例 1.1 函数 1.2 极限 1.3 极限的性质与运算 1.4 单调有界原理和无理数 e 1.5 无穷小的比较 1.6 函数的连续与间断 1.7 闭区间上连续函数的性质 教学要求： 1．了解函数的概念； 2．了解函数奇偶性、单调性、周期性和有界性； 3．理解复合函数的概念，了解反函数的概念； 4．掌握基本初等函数的性质及其图形； 5．会建立简单实际问题中的函数关系式； 6．理解极限的概念； 7．掌握极限四则运算法则； 8．了解两个极限存在准则，会用两个重要极限求极限； 9．了解无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念； 10．理解函数在一点连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型； 11．了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质。 授课方式：讲授 第二章：一元函数微分学及其应用 （30 学时） 教学内容： 2.0 引例 2.1 导数的概念 2.2 求导法则 2.3 高阶导数与相关变化率 2.4 函数的微分与函数的局部线性逼近 2.5 利用导数求极限—洛必达法则 2.6 微分中值定理 2.7 泰勒公式 2.8 利用导数研究函数的性态
2.9平面曲线的曲率 教学要求： 1,理解导数和微分的概念、理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之 间的关系：2。会用导数描述一些物理量： 3.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数、双 曲函数的公式，了解微分的四则运算和一阶微分形式不变形： 4.了解高阶导数的概念：5.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法： 6.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数： 7.理解罗尔定理和拉格朗日中值定理 8.了解柯西中值定理和泰彻中值定理： 9. 理解函数的极值概念，并掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法： 10.会用导数判断图形的奥图形：会求拐点：会描绘函数的图形（包括水平和 铅直渐近线)，会求解较简单的最大值和最小值的应用问题： 11.会用罗必达法则求不定式极限： 12.了解曲率和曲率半径的概念，并会计算曲率和曲率半径。 授课方式：讲授 第三章：一元函数积分学及其应用 (30学时) 数学内容 3.0引例3.1定积分的概念、性质、可积准则3.2微积分基本定理 3.3不定积分3.4定积分的计算3.5定积分应用举例3.6反常积分 教学要求： 1.理解不定积分的概念及性质 2,掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法： 3,会求简单的有理函数的不定积分： 4.理解定积分的概念及性质： 5.掌握定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法： 6.会求简单的有理函数的不定积分 7.理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿一一莱布 尼兹公式：8.了解广义积分的概念： 9.了解定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）： 10.掌握用定积分表达一些几何量与物理量（如面积、体积、弧长、功、引力 等)方法。 授课方式：讲授 第四章：常徽分方程 (18学时) 教学内容： 4.0引例4.1微分方程的基本概念4.2某些简单微分方程的初等积分法 4.3建立微分方程方法简介4.4高阶线性微分方程 教学要求： 1,了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念： 2.掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法：
7 2.9 平面曲线的曲率 教学要求： 1．理解导数和微分的概念、理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之 间的关系； 2．会用导数描述一些物理量； 3．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数、双 曲函数的公式，了解微分的四则运算和一阶微分形式不变形； 4．了解高阶导数的概念； 5．掌握初等函数一阶、二阶导数的求法； 6．会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数； 7．理解罗尔定理和拉格朗日中值定理； 8．了解柯西中值定理和泰勒中值定理； 9． 理解函数的极值概念，并掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法； 10．会用导数判断图形的奥图形；会求拐点；会描绘函数的图形（包括水平和 铅直渐近线），会求解较简单的最大值和最小值的应用问题； 11．会用罗必达法则求不定式极限； 12．了解曲率和曲率半径的概念，并会计算曲率和曲率半径。 授课方式：讲授 第三章：一元函数积分学及其应用 （30 学时） 教学内容： 3.0 引例 3.1 定积分的概念、性质、可积准则 3.2 微积分基本定理 3.3 不定积分 3.4 定积分的计算 3.5 定积分应用举例 3.6 反常积分 教学要求： 1．理解不定积分的概念及性质； 2．掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法； 3．会求简单的有理函数的不定积分； 4．理解定积分的概念及性质； 5．掌握定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法； 6．会求简单的有理函数的不定积分； 7．理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿——莱布 尼兹公式； 8．了解广义积分的概念； 9．了解定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）； 10．掌握用定积分表达一些几何量与物理量（如面积、体积、弧长、功、引力 等）方法。 授课方式：讲授 第四章：常微分方程 （18 学时） 教学内容： 4.0 引例 4.1 微分方程的基本概念 4.2 某些简单微分方程的初等积分法 4.3 建立微分方程方法简介 4.4 高阶线性微分方程 教学要求： 1．了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念； 2．掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法；
3.会解齐次方程和伯努力方程并从中领会用变量代换求解方程的思想，会解 全微分方程： 4.会用降阶法解下列方程：y=fx,y=x,y)和y=f0y,y 5.理解二阶线性微分方程解的结构：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解 法： 6,了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法： 7.会求自由项形如：e“,e[p,(x)COS@X+p.(x))sinx]的二阶常系数非齐次线 性微分方程的特解： 8.会用微分方程解一些简单的几何和物理问题 授课方式：进授 第五章：向量代数与空间解析几何 (14学时) 教学内容： 5.0引例5.1向量及其运算5.2点的坐标与向量的坐标 5.3空间的平面与直线5.4曲面与直线 教学要求 1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示方法： 2.掌握向量的运算（线性运算、点乘法、叉乘法），了解两个向量垂直、平行 的条件： 3.掌握单位向量，方向余弦，向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量 运算的方法： 4.掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解 决有关问题： 5.理解曲面的方程概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴 为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程： 6.了解空间曲线的参数方程和一般方程： 7.了解曲面的交线在坐标平面上的投影 授课方式：讲授 第六章：多元函数微分学及其应用 （18学时) 教学内容： 6.0引例6.1多元函数的基本概念6.2偏导数与高阶导数 6.3全微分及其应用6.4多元复合函数的微分法6.5偏导数的几何应用 6.6多元函数的极值6.7方向导数与梯度 教学要求： 1.理解多元函数的概念 2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质： 3.理解偏导数和全导数的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件： 4.了解方向导数与梯度的概念及其计算方法： 5.掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数： 6.会求隐函数的信导数： 8
8 3．会解齐次方程和伯努力方程并从中领会用变量代换求解方程的思想，会解 全微分方程； 4．会用降阶法解下列方程； ( ) ( ), ( , ) n y f x y f x y = = 和 y f y y = ( , ) ； 5．理解二阶线性微分方程解的结构；掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解 法； 6．了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法； 7．会求自由项形如： , [ ( )cos ( )sin ] x x l n e e p x x p x x + 的二阶常系数非齐次线 性微分方程的特解； 8．会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。 授课方式：讲授 第五章：向量代数与空间解析几何 （14 学时） 教学内容： 5.0 引例 5.1 向量及其运算 5.2 点的坐标与向量的坐标 5.3 空间的平面与直线 5.4 曲面与直线 教学要求： 1．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示方法； 2．掌握向量的运算（线性运算、点乘法、叉乘法），了解两个向量垂直、平行 的条件； 3．掌握单位向量，方向余弦，向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量 运算的方法； 4．掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解 决有关问题； 5．理解曲面的方程概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴 为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程； 6．了解空间曲线的参数方程和一般方程； 7．了解曲面的交线在坐标平面上的投影。 授课方式：讲授 第六章：多元函数微分学及其应用 （18 学时） 教学内容： 6.0 引例 6.1 多元函数的基本概念 6.2 偏导数与高阶导数 6.3 全微分及其应用 6.4 多元复合函数的微分法 6.5 偏导数的几何应用 6.6 多元函数的极值 6.7 方向导数与梯度 教学要求： 1．理解多元函数的概念； 2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质； 3．理解偏导数和全导数的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件； 4．了解方向导数与梯度的概念及其计算方法； 5．掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数； 6．会求隐函数的偏导数；
7.了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程 8.理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件 极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。 授课方试：讲授 第七章：多元数量值函数积分学 (24学时) 教学内容： 7.0引例7.1多元数量值函数积分的概念与性质7.2二重积分的计算 7.3三重积分的计算7.4数量值函数的曲线与曲面积分的计算 7.5数量值函数在几何、物理中的典型应用 教学要求： 1.理解多元数量值函数积分的概念与性质： 2.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质： 3.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）：了解三重积分的计算方法 (直角坐标、柱面坐标、球面坐标)： 4.理解第一型曲线积分与第一型曲面积分的概念，了解其性质： 5.会计算第一型曲线积分和第一型曲面积分： 6.会用重积分、数量值函数积分在几何和物理中的应用，如求体积、曲面面 积、弧长、质量、重心、转动惯量等。 授课方式：讲授 第八章：向量值函数的曲线积分与曲面积分 （24学时) 教学内容： 8.0引例8.1向量值函数在有向曲线上的积分 8.2向量值函数在有向曲面上的积分 8.3重积分、曲线积分、曲面积分之间的联系 8.4平面曲线积分与路径无关的条件8.5场论简介 教学要求： 1.了解第二型曲线积分和第二型曲面积分的概念： 2.会计算第二型曲线积分和第二型曲面积分 3.了解重积分、曲线积分、曲面积分之间的联系： 4.会利用格林公式、高斯、斯托克斯公式计算两类曲线、曲面积分 5.了解散度、旋度的概念及其计算方法。 授课方式：讲授 第九章：无穷级数 (18学时) 教学内容 9.0引例9.1常数项无穷级数的概念与基本性质 9.2正项级数敛散性的判别法9.3任意项级数敛散性的判别法 9.4幂级数9.5傅里叶级数 教学要求 1.理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必 9
9 7．了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程； 8．理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件 极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。 授课方式：讲授 第七章：多元数量值函数积分学 （24 学时） 教学内容： 7.0 引例 7.1 多元数量值函数积分的概念与性质 7.2 二重积分的计算 7.3 三重积分的计算 7.4 数量值函数的曲线与曲面积分的计算 7.5 数量值函数在几何、物理中的典型应用 教学要求： 1．理解多元数量值函数积分的概念与性质； 2．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质； 3．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）；了解三重积分的计算方法 （直角坐标、柱面坐标、球面坐标）； 4．理解第一型曲线积分与第一型曲面积分的概念，了解其性质； 5．会计算第一型曲线积分和第一型曲面积分； 6．会用重积分、数量值函数积分在几何和物理中的应用，如求体积、曲面面 积、弧长、质量、重心、转动惯量等。 授课方式：讲授 第八章：向量值函数的曲线积分与曲面积分 （24 学时） 教学内容： 8.0 引例 8.1 向量值函数在有向曲线上的积分 8.2 向量值函数在有向曲面上的积分 8.3 重积分、曲线积分、曲面积分之间的联系 8.4 平面曲线积分与路径无关的条件 8.5 场论简介 教学要求： 1．了解第二型曲线积分和第二型曲面积分的概念； 2．会计算第二型曲线积分和第二型曲面积分； 3．了解重积分、曲线积分、曲面积分之间的联系； 4．会利用格林公式、高斯、斯托克斯公式计算两类曲线、曲面积分； 5．了解散度、旋度的概念及其计算方法。 授课方式：讲授 第九章：无穷级数 （18 学时） 教学内容 9.0 引例 9.1 常数项无穷级数的概念与基本性质 9.2 正项级数敛散性的判别法 9.3 任意项级数敛散性的判别法 9.4 幂级数 9.5 傅里叶级数 教学要求 1．理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必
要条件：2.学握几何级数和P级数的收敛性： 3.了解正项级数的比较收敛法，掌握正项级数的比值收敛法： 4.了解交错级数的菜布尼兹定理，会估计交错级数的截断误差： 5.了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系： 6。了解函数项级数的收敛域及和函数的概念： 7.掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求） 8.了解幂级数及其收敛区间内的一些基本性质： 9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件： 10.会利用e,sinx,cosx,lnl+x)和(1+x)的麦克劳林(Maciaurin)展开式将 些简单函数间接展开成幂级数： 11.了解幂级数在近似计算上的简单应用： l2.了解函数展开为傅立叶(Fourier)级数的狄里克莱(Dirichlet)条件，会 将定义在（←π，）(-1，)上的函数展开为傅立叶级数，并会将定义在(0，)上的函数展 开为正弦或余弦级数。 授课方式：讲授 三、其他教学环节安排 无 四、考核方式 (1)平时成绩：20%（根据出勤、作业、课堂讨论等）进行比例分配 (2)期末考核：80%，闭卷笔试。 五、教材及主要参考书 (1)教材：大连理工大学数学系主编.工科微积分.大连：大连理工大学出版 社. (2)主要参老书 同济大学应用数学系主编.高等数学（第五版）.北京：高等教有出版社，2002. 王锦林，马知恩.工科数学分析基础。北京：高等教育出版社 朱自清.工科数学分析.北京：高等教育出版社. 王锦华，许品芳。高等数学新编。上海：上海交通大学出版社 撰写人：南江霞 审核人：刘学生 课程负责人：刘学生 10
10 要条件； 2．掌握几何级数和 P-级数的收敛性； 3．了解正项级数的比较收敛法，掌握正项级数的比值收敛法； 4．了解交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截断误差； 5．了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系； 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念； 7．掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求） 8．了解幂级数及其收敛区间内的一些基本性质； 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件； 10．会利用 ,sin ,cos ,ln(1 ) x e x x x + 和 (1 ) x + 的麦克劳林（Maciaurin）展开式将 一些简单函数间接展开成幂级数； 11．了解幂级数在近似计算上的简单应用； 12．了解函数展开为傅立叶（Fourier）级数的狄里克莱（Dirichlet）条件，会 将定义在 ( , ) − ( , ) −l l 上的函数展开为傅立叶级数，并会将定义在 (0, )l 上的函数展 开为正弦或余弦级数。 授课方式：讲授 三、其他教学环节安排 无 四、考核方式 （1）平时成绩：20%（根据出勤、作业、课堂讨论等）进行比例分配。 （2）期末考核：80%，闭卷笔试。 五、教材及主要参考书 （1）教材：大连理工大学数学系主编．工科微积分．大连：大连理工大学出版 社． （2）主要参考书： 同济大学应用数学系主编．高等数学（第五版）．北京：高等教育出版社，2002． 王锦林，马知恩．工科数学分析基础．北京：高等教育出版社． 朱自清．工科数学分析．北京：高等教育出版社． 王锦华，许品芳．高等数学新编．上海：上海交通大学出版社． 撰 写 人：南江霞 审 核 人：刘学生 课程负责人：刘学生