§2正交多项式与最小二乘拟合 /*Orthogonal Polynomials Least-Squares Approximation * 已知x1…,xmn;y1…,ym,求一个简单易算的近 似函数P(x)≈fx)使得∑Px)-P最小。 已知[a,b上定义的fx),求一个简单易算的 近似函数P(x)使得Px)-f(x)最小 定义线性无关 nearly independent函数族{a(x) q(x),…,gp(x),…}满足条件:其中任意函数的线性组合 ag(x)+a1g1(x)+…+angn(x)=0对任意x∈Ia,b成立 当且仅当a0=a1=.=an=0
§2 正交多项式与最小二乘拟合 /* Orthogonal Polynomials & Least-Squares Approximation */ 已知 x1 … xm ; y1 … ym, 求一个简单易算的近 似函数 P(x) f(x) 使得 最小。 = − m i i i P x y 1 2 | ( ) | 已知 [a, b]上定义的 f(x)，求一个简单易算的 近似函数 P(x) 使得 − 最小。 b a P x f x dx 2 [ ( ) ( )] 定义 线性 无 关/* linearly independent */ 函数 族 { 0 (x), 1 (x), … , n (x), … } 满足条件：其中任意函数的线性组合 a00 (x)+a11 (x)+…+ann (x)=0 对任意 x[a, b]成立 当且仅当 a0= a1=… =an =0
8 2 Orthogonal Polynomials L-S Approximation 定义考虑一般的线性无关函数族φ={(ax),q1(x),…, gn(x),…},其有限项的线性组合P(x)=∑a(x)称为广义 j=0 多项式/ generalized polynomial+l 纔常见多项式: >{q(x)=x}对应代数多项式/ algebraic polynomial >{q(x)= cos x}、{v(x)=sinx}→{q(x),v(x)对应三 角多项式/ trigonometric polynomial* >{q(x)=e,k≠k}对应指数多项式/ exponential polynomial */
§2 Orthogonal Polynomials & L-S Approximation 定义 考虑一般的线性无关函数族={ 0 (x), 1 (x), … , n (x), … }，其有限项的线性组合 称为广义 多项式 /* generalized polynomial*/. = = n j P x j j x 0 ( ) ( ) 常见多项式： ➢ { j (x) = x j } 对应代数多项式 /* algebraic polynomial */ ➢ { j (x) = cos jx }、{ j (x) = sin jx } { j (x), j (x)}对应三 角多项式 /* trigonometric polynomial */ ➢ { j (x) = e kj x , ki kj } 对应指数多项式 /* exponential polynomial */
8 2 Orthogonal Polynomials L-S Approximation 定义权函数: 离散型/ discrete type 根据一系列离散点(x;,y)(=1,…,n)拟合时,在每一误 差前乘一正数w,即误差函数=2wPx)-y2,这个 就称作权 weight,反映该点的重要程度。 ②连续型/ continuous type 在[a,b上用广义多项式P(x)拟合连续函数f(x)时,定义权 函数(x)∈Ca,b,即误差函数p=Jp(x)P(x)-y(x)d 权函数必须px)满足:非负、可积,且在a,b的任何子区 间上p(x)≠0
§2 Orthogonal Polynomials & L-S Approximation 定义 权函数： ① 离散型 /*discrete type */ 根据一系列离散点 拟合时，在每一误 差前乘一正数wi ，即 误差函数 ，这个wi 就称作权/* weight*/，反映该点的重要程度。 (x , y ) (i 1, ... , n) i i = = = − n i wi P xi yi 1 2 [ ( ) ] ② 连续型 /*continuous type */ 在[a, b]上用广义多项式 P(x) 拟合连续函数 f(x) 时，定义权 函数 (x) C[a, b]，即误差函数 = 。 权函数必须(x)满足：非负、可积，且在[a, b]的任何子区 间上(x) 0。 x P x y x dx b a 2 ( )[ ( ) − ( )]
8 2 Orthogonal Polynomials L-S Approximation 定义广义LS拟合: ④离散型/ discrete type" 在点集{x1…,xmn}上测得{y1…,ym},在一组权系数{v1 wm}下求广义多项式P(x)使得误差函数p=EwP(x)-y (,g)=0表示∫与g ②连续型P 带权正交。 已知y(x)∈Ca,b以及px),求广义多项式P(x)使 得误差函数-∫p最小 4p内积与范数 ∑ wif(ig() 离散型 则易证(g)是内积,(,8) 而‖∫=√,∫是范数。 p(x)f(x)g(x)dx-连续型 广义LS问题可叙述为:求广义多项式P(x)使得 =(P-y,P-y)=‖P-y2最小
§2 Orthogonal Polynomials & L-S Approximation 定义 广义 L-S 拟合： ① 离散型 /*discrete type */ 在点集{ x1 … xm } 上测得{ y1 … ym }，在一组权系数{ w1 … wm }下求广义多项式 P(x) 使得误差函数 最小。 = = − n i wi P xi yi 1 2 [ ( ) ] ② 连续型 /*continuous type */ 已知 y(x) C[a, b] 以及权函数 (x)，求广义多项式 P(x) 使 得误差函数 = x P x y x dx 最小。 b a 2 ( )[ ( )− ( )] 内积与范数 = = b a m i i i i x f x g x dx w f x g x f g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) 1 离散型 连续型 则易证( f, g ) 是内积， 而 || f || = ( f , f ) 是范数。 ( f, g )=0 表示 f 与 g 带权正交。 广义 L-S 问题可叙述为：求广义多项式P(x)使得 = (P − y, P − y) = || P − y ||2 最小
8 2 Orthogonal Polynomials L-S approximation 设P(x)=a0p0(x)+a1g1(x)+…+an9n(x) 则完全类似地有:如=0→∑(,g)=(91,y),k=0,m,n 即: b=(9,甲) 法方程组 /normal equations"/ n2 定理|m=c在胜一解9(09(,.9(线性无关 证明:若存在一组系数{cx}使得a090+a191+…+ann=0 则等式两边分别与q,q1,…,q作内积,得到: a(9n,9)+a(,%)+…+a(,9)=0即:Ba=0 a0(q0,1)+a1(q1,91)+…+an(qn,q)=0 a0(q0,n)+a1(q1,n)+…+an(qn,n)=0
§2 Orthogonal Polynomials & L-S Approximation a k y k n n j k j j ( , ) ( , ) , 0, ... , 0 = = = 设 则完全类似地有： P( x) = a00 ( x) + a11 ( x) + ... + a n n ( x) = 0 ak 法方程组 /*normal equations */ 定理 Ba = c 存在唯一解 0 (x), 1 (x), … , n (x) 线性无关。 即： ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 y y a a b n n ij i j = = = c 证明：若存在一组系数 {i } 使得 0 0 +1 1 + ...+ n n = 0 则等式两边分别与0 , 1 , … , n作内积，得到： + + + = + + + = + + + = ( , ) ( , ) ... ( , ) 0 . . . ( , ) ( , ) ... ( , ) 0 ( , ) ( , ) ... ( , ) 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 n n n n n n n n n 即：B = 0 … …