浙江大学：《数值分析》课程PPT教学课件（双语版）第六章 插值 Interpolation（6-5）三次样条

§5三次样条 Cubic Spline 定义设a=x<x;<.<xn=b。三次样条函数S(x)eC1a,b, 且在每个x,x止为三次多项式/ cubic polynomial。若它同 时还满足S(x2)=f(x),(i=0,…,n)则称为∫的三次样条插值函 * / cubic spline interpolant*. 注:三次样条与分段 Hermite插值的根本区别在于(x)自 身光滑,不需要知道f的导数值(除了在2个端点可能需 要);而 hermite插值依赖于∫在所有插值点的导数值。 f(r) H() s(x)

§5 三次样条 /* Cubic Spline */ 定 义 设 。三次样条函数 , 且在每个 上为三次多项式 /* cubic polynomial */。若它同 时还满足 ，则称为 f 的三次样条插值函 数 /* cubic spline interpolant */. a  x0  x1  ...  xn  b ( ) [ , ] 2 S x  C a b [ , ] i i1 x x S(x ) f (x ), (i 0, ... ,n) i  i  注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自 身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需 要）；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。 f(x) H(x) S(x)

§5 Cubic Spline >构造三次样条插值函数的三弯矩法 method of bending moment * 在|x,xl上,记b=x1<对应力学中的梁弯矩,故名 则Sux)为1次多项式,需2个卢a喱定之。 设S“(xx 对每个,此为次多项式 对于x∈x,xl可得到 SUP(x)=M+M 积分2次,可得SW(x)和Sw(x): SW(r)=-M(-x)2 x;1)2 +M 2h 2h+ 利用已知 Su(xi-1=y so(x)=M (x;-x) +M 可解 6 (x-x-1+Ax+B 6h

§5 Cubic Spline  构造三次样条插值函数的三弯矩法 /* method of bending moment */ 在 [ x j1 , x j ]上，记 , h j  x j  x j 1 ( ) ( ) for [ , ] 1 [ ] j j j S x  S x x  x  x 对每个j, 此为3次多项式 则 S[j]”(x) 为 1 次多项式，需 2 个点的值确定之。 设 S[j]”(xj1) = Mj1， S[j]”(xj) = Mj 对应力学中的梁弯矩，故名 对于x [xj1 , xj] 可得到 S[j]”(x) = j j j j j j h x x M h x x M 1 1      积分2次，可得 S[j]’(x) 和 S[j](x) ： j j j j j j j A h x x M h x x M         2 ( ) 2 ( ) 2 1 1 2 S 1 [j]’(x) = j j j j j j j j A x B h x x M h x x M        6 ( ) 6 ( ) 3 1 3 S 1 [j](x) = 利用已知 S[j](xj1) = yj1 S[j](xj) = yj 可解

§5 Cubic spline A3iVi-1M; -M h;A x+B,=(; x3+( M1,、x 6 6 下面解决M:利用S在x的连续性 Ix-x so(r)=-M M +flr -1,x I Mi -Mi-1 2 M-M C小SH(x)=-= (x-x) +M +1 几 +1 6 利用S(x)=S+(x),合并关于M、M、M1的同类项,并 记4= b+n1,H=1-1,8=八x,x形1-几x,xD,整理 后得到:H1M1+2M1+1Mm1=8 M ≤j≤n-1 11 g1 即:有m+1个未知数,m-1个方程。 H-1 g 还需2个边界条件/ boundary conditions

§5 Cubic Spline j j j j j j j h M M h y y A 6 1  1    j j j j j j j j j j j j h x x h M y h x x h M A x B y 1 2 2 1 1 ) 6 ) ( 6 (           下面解决 Mj ： 利用S’ 在 xj的连续性 [xj1 , xj]: S[j]’(x) = j j j j j j j j j j j h M M f x x h x x M h x x M 6 [ , ] 2 ( ) 2 ( ) 1 1 2 1 2 1            1 1 1 1 2 1 1 2 1 6 [ , ] 2 ( ) 2 ( )               j j j j j j j j j j j h M M f x x h x x M h x x [xj , xj+1]: S[j+1]’(x) = M 利用S[j]’(xj) = S[j+1]’(xj)，合并关于Mj1、 Mj、 Mj+1的同类项，并 记 , , , 整理 后得到： 1 1 j j j j h h h    l  j 1 j m   l ( [ , ] [ , ]) 6 1 1 1 j j j j j j j f x x f x x h h g       m jM j1  2M j  l jM j1  g j 1  j  n1 即：有n+1个未知数，n1个方程。                      1 1 0 1 1 1 1 2 2 n n n n g g M M m l m l 还需2个边界条件 /* boundary conditions */

§5 Cubic spline a第1类边条件/ clamped boundary+:s(a)=y0’,S(b)=yn M-M la, x1 SIT(x)=-Mo +M 2h1 类似地利用xn1,b 2M0+M1=x(f1x0,x1l-y)=g0 上的sm(x) M+2M (yn’-f|xn-1,xnD)=gn a第2类边条件:s"(a)=y”=M,S"(b)=yn”=M 这时:=0,S1=2y;An=0,gn=2yn 特别地,M=Mn=0称为自由边界/ free boundary+,对应的 样条函数称为自然样条/ Natural Spline a第3类边条件/ periodic boundary+: 当∫为周期函数时,「2 HTM1「g1 A222() yn=yo, S(a)=S(b) Mo=M u-I 2 a 2M

§5 Cubic Spline  第1类边条件 /* clamped boundary */： S’(a) = y0 ’ ， S’(b) = yn ’ [a , x1 ]: S[1]’(x) = 1 1 0 0 1 1 2 1 1 2 1 0 6 [ , ] 2 ( ) 2 ( ) h M M f x x h x a M h x x M        0 1 0 1 0 1 ( [ , ] ) 6 2 y g 0 f x x ’ h M  M    n n n n n n yn ’ f x x g h M  M      ( [ , ]) 6 1 2 1 类似地利用[ xn1 , b ] 上的 S[n]’(x)  第2类边条件： S”(a) = y0 ” = M0， S”(b) = yn ” = Mn 这时： n n n  0 , g  2y ;  0 , g  2y l0 0 0 m 特别地，M0 = Mn = 0 称为自由边界 /* free boundary */，对应的 样条函数称为自然样条 /* Natural Spline */。  第3类边条件 /* periodic boundary */ ： 当 f 为周期函数时， yn = y0 ， S’(a+) = S’(b)  M0 = Mn                n n n n n n g g M M1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 l m m l m l l m

§5 Cubic spline 注:另有三转角法得到样条函数,即设Sm(x)=m,则 易知[x,x上的w(x)就是 Hermite函数。再利用s” 的连续性,可导出关于m的方程组,加上边界条件 即可解。 L Cubic Spline由 boundary conditions唯一确定。 矿收敛性:若∈Ca,且mb≤C<∞,则 致 S(x)→>f(x) as max;→>0 即:提高精度只须增加节点,而无须提高样条阶数 稳定性:只要边条件保证|A,,n1,孔n|<2, 则方程组系数阵为SDD阵,保证数值稳定。 HW:p131#4#5

§5 Cubic Spline 注：另有三转角法得到样条函数，即设 S[j]’(xj) = mj，则 易知[xj1 , xj]上的S[j](x) 就是Hermite函数。再利用S” 的连续性，可导出关于mj的方程组，加上边界条件 即可解。 Cubic Spline 由boundary conditions 唯一确定。 收敛性：若 f C[a,b]，且 h  C   ，则 h i i min max 一致 S(x)  f(x) max  0 hi as 即:提高精度只须增加节点, 而无须提高样条阶数。 稳定性：只要边条件保证 | m0 |, | l0 |, | mn |, | l n | < 2， 则方程组系数阵为SDD阵，保证数值稳定。 HW: p.131 #4 #5