e书联盟好书下载www.book118.com 描述内果关系， 按例！~3建立推理形式的办法，可以引入任意多个推理形式.自然要问它们都是而.确 的吗？ 不止堍的推埋形式不是逻辑规律，只有正确的推理地式才是有意义的.才能用来推理， 定义2.7.1前提真，结论必真的推理形式为正确的推理形式. 不难理解，例】和例3所建立的推理形式 ((P-Q)AP)--Q (P·Q)A一Q)*-P 是确的 而例2建立的推理形式 ((P→Q)A-P)→Q 是不正确的 2.7.2重膏蕴涵 如果给定两个公式A、B,只要A取值为真，B就必取值为真，便称A重言（永真）蕴函 B.或称B是A的逻辑推论.并用符号 A→B 表水 符号“→”表示两个公式间的一种真值关系，它不是逻辑联结词，月→B也不是合式 公式. 对以A+B表示的推理形式来说，推理形式是正确的，就同A重言蕴涵B是同一糊念 了，于是正确的推理形式便可以A→B表示了， 可用真值表法，直接判断A→B是否成立.如果A,B依赖于n个命题变项P,·,P. 列出由P,·,P到A和B的真值表，然后查看，所有使A为真的解释，相应的B是否也 都为真 例4PPVQ正确否？ 列出其值表 P Q PVQ F T T T F T T T 图2.7.1 所有使P为真的解释是P.Q}=T,F:,{P,Q:=T,T:,即图2.7.1的第3、第4行. 这时PVQ均取值为T,从而有P→PVQ.也可以说推理形式 P→(PVQ) 是止确的. ◆3)·
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e书联盟好书下载www.book118.com 2.7.3重言蕴涵的几个结果 (1)如绑4>B,小为屯育式，则B也是重式. 1,1→B,对1，书来说的任解释下、者A真B必真.1为重言式、对任解释 下】都真，从响任解释下B也其·故B也是重言犬 (2)如果1→B.A同时成立、必行A=. 在[·解祥下、.->B知名A真有B莫.一！划若5真有A真，或说成总若小 假必有五假.从而征解释下1.B问时为真同时为假，故1一B, 父过米，.1-B也必有A→B和B>A, (3)如果1→3，乃→('，则1→(. (1)如巢A>B,1→('.则A→BAC. (5)划果1C,B→，则.1VB→( 2.8基本的推理公式 为了进行推理演算、引入·些基本的重言蕴涵式·作为基本的推理公式（或称推理定 种).对这些公式可用真值表法加以验证，也可给子直观的语义说明. 这作还介绍证明A→B的几种方法， 2.8.1基本的推理公式 (1)PAQ-P. 2)（PQ)→1. (3)(1P→2)→Q. (1)P.>VQ. ()…1→1-*Q (51Q.51-*Q. (i）-…PAPVQ)Q. (8)1A(1*2)→Q. (9)Q八(P→Q→P. (10)(P+Q)八(Q→R)>P→R, (i1)(PQ)A(QR→一R. (i2)(PR)A(Q -R)A(PVQ)R. (13)(P)A(RS)A(PVR)-QVS. 1目)(P+Q)A(R→S)A(QV-S)→-PV-R. (i5)QR)((PVQ)-(PVR)). 11)(仪K)>((P-Q)1》-*R). ·31·
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e书联盟好书下载www.book118.com 使用真值表法证明这些推理公式是容易的，可按节2.7.2例4的办法 若从语义上给予直观说明也是不难的.如公式(2)，一(P→Q)→P,公式(3)，(P+Q) →一Q.意思是说，若P-*Q不成立（取假），必有P为真、还有Q为假.这从P+Q的定义可 知，因只有当P=T而Q=F时，P+Q=F.又如公式(7)，一PA(PVQ)→Q.意思是 说，P不对，而PVQ又对、必然有Q对， 公式(8)、P∧(P·Q)→Q常称作假言推理，或称作分离规则，是最常使用的推理 公式. 公式(10)，(P*Q)∧(Q+R)→P*R常称作三段论. 2.8.2证明推理公式的方法 2.1节的等值定理，说明了A=B同A一B为重言式是等价的，从而可用A一B是重 言式来证明A二B,从而有理由期望A→B同A·B是重言式也是等价的 定理2.8.1A→B成立的充分必要条件是A+B为重言式. 证明设A→B成立.从而在任一解释下，A真必有B真.而不会出现A真B假的情 形，于是A→B必为重言式 反过来，设A→B为重言式，从而在任一解释下，若A真，B只能为真不可能为假，从 而有A→B. 定理2.8.2A→B成立的充分必要条件是AA一B是矛盾式， 证明是容易的.因(A→B)=(AVB)=AAB.从而A→B为真，AA7B必为 假.依定理2.8.1，A→B等价于A+B是重言式，从而等价于AA一B是矛盾式. 这两个定理说明了可用A*B是重言式或AA一B是矛盾式来证明推理公式A→B.另 外，还可以利用下面的结论或方法证明推理公式， (1)若B→7A必有A→B, 从而若使B为假的解释下也有A为假，便得A→B. 这种证明方法是显然的，若将A→B视为定理，那么一B→一A就是其逆否定理，两者必 同时成立. (2)解释法证明A→B 以(P+Q)A(Q+K)→P+R为例来说明. 设(P+Q)A(Q+R)=T,从而有 P-Q-T Q→R=T 若P=T,必有Q=T以及R=T.从而P→R=T.而若P=F右端必成立，故这三段 论推理式成立. (3)其值表法. 已使用过不再说明了， 对A→B的证明，一般前提 A-A,AAe八…A月 还需说明的是应竹先验证·下A…、A的一致性，即】自身不能为假.如果A:,…,A不 ·32·
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e书联盟好书下载www.book118.com 是一致的而是有矛盾的，从而A为假，这时不管结论B是什么公式，A→B都是成立的， 但这种推理是没有实用意义的， 2.9推理演算 节2.8.2给出的讹明A>乃的儿种方法，都是从真值的角度进行解释或论证的，其中真 值表法最为直观，然而这些方法的共同缺点是看不出由前提小到结论B的推演过程.而H 这些方法也难于在谓词逻辑中使用. 可建立推理过程的证明方法，是由引入几条推理规则，并考虑到基本的推理公式来实现 的，从前提A,·,A出发，通过使用推理规则和基本的推理公式，逐步推演出结论B.这种 方法推演层次清晰，更近于数学的推理，而且也容易推到谓词逻辑. 2.9.1推理规则 这里所列出的几条规则，较2.8、】节的基本推理公式更为-般化.在推理过程中，推理 规则和基本推理公式配合使用， (1)前提引入规则在推理过程中，可以随时引入前提. (2)结论引用规则在推理过程中所得到的中间结论，可作为后续推理的前提， (3)代人规则在推理过程中，对重言式中的命题变项可使用代入规则. (4)置换规则在推理过程中，命题公式中的任何部分公式都可以用与之等值的命题 公式来置换. (5)分离规则（假言推理）如果已知命题公式A→B和A,则有命题公式B. (6)条件正明规则A,AA→B与A>A→B是等价的. 其中(1)，(2)在椎理过程中显然是常用的，正确性是自然的.代人规则和置换规则作： 过说明、再明确下代入规则仅可对重言式使用.分离规则就是基本的推理公式，由子它 的重要性而列为推理规则，是在A→B,A成立的条件下，将B分离出来的规则，最为常 用.规则(6)可将对A→12→B的证明化为AAA→B的证明.意思是说、可将要证明的 结论A2→B中的1，作为条件来使用.从而简化了证明. 2.9.2使用推理规则的推理演算举例 例1证明R是PQ,Q*R,P的逻辑椎论. 证明 (1)P 前提引人 (2)I+Q 前提引人 (3)Q (1)(2)分离 (4)Q+R 前提引人 (5)R (3)(1)分离 例2证期RVS可以由前提(VD.(V)--E.k+(.A·B),(.1AB)* ·3·
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e书联盟好书下载www.book118.com (RVS)推演出来. 证明 (1)('V/))* 前提引入 (2)B+(1AB) 前提引入 (3)(1))-*(.1}) (1)(2)÷段论 (4)(AAB)→(RVS) 前提引入 (5)(CV)-→(RVS) (3)(4)三段论 (6)(V) 前提：入 (7)RVS (5)(6)分离 这个例子中出现7个命题变项，列写真值表就有2二128行，其繁琐程度可想而知. 使用真值表法实现这个证明是太繁了，若要证明 (VD)A((CVD)E)A(-E→(AAnB)A((A∧一B)→(RVS)→(RVS) 为重言式也是相当复杂的 例3证明(PVQ)八(P+R)A(Q-→S)→SVR. 证明 (1)VQ 前提引入 (2)P→Q (1)置换 (3)Q+8 前提引入 (4)-1?-*S (2)(3)三段论 (5)·S-P (4)置换 (6)PR 前提引入 (7)-S*R ()(6)三段论 (8)SVR (7)置换 这个例子说明，证明过程中、将PVQ写成·P→Q更便于推理 例4证明(P→(Q*S)A(RVP)AQ→R*S. 证明 (1)-RVP 前提引入 (2)尺-I (1)置换 (3)R 附加前提引人 {4) (2)(3)分离 (5)1-(Q*S) 前提引入 (6)Q-*S (4)(5)分离 (7)Q 前提引入 (8)S (6)(7)分离 (9)尺*.S 条件证明规则 这例子说明使用条件证明规则，将结论R→S中的R作为前提，来证明S简化了证明 近程 例5证明((”Q)--(RVS))A(Q→P)V-K)AR=→(P一Q. 。31
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