e书联盟好书下载www.book118.com P与P称为互补别. 如P,P,PAQ,PA QA-P都是合取式、而P,P.VQ、PVQVQ都是析 取式， 析取范式是形如 AVA:V…Vh 的公式，其中A(i一1，….n)为合取式. 合取范是形如 A升AA…∧m 的公式，其中，(i=1,…,n)为析取式. (1)范式定理任·命题公式都存在有与之等值的合取范式和析取范式. 可通过求范式的其体步骤，来认识范式定理的正确性。 (2)求范式的步骤 对一个已给的公式，可按下述步骤求得该公式的合取范式和析取范式. ①消去已给公式中的联结词·和+，这可利用如下等值式： A→B=-AVB A-B=(AVB)∧(4VB) (多用于求合取范式) -(AAB)V(·AA-B) (多用于求析取范式) 因范式中不出现+，+符号，将它们以范式中出现的符号·，V,A来表示是自然的. ②重复使用摩根律和双重杏定律，把否定词内移到直接作用于命题变项上·这可利用 等值式： (A∧B)=∽AV-B -(AVB)二AA-B --A=A 将所有的否定词，都内移到命题变项前，这也是范式的要求， ③重复使用分配律，这可利用等值式： AA (B V C)-(AA B)V (AA() (多用于求析取范式) AV(BA()=(AVB)A(AVC)(多用于求合取范式) 将公式化成一些合取式的析取，或化成一些析取式的合取，都必须使用分配律来 实现. 对任…公式，经步骤①，②③必能化成范式.而且所求得的范式与该公式等值. (3)求范式举例 例1求一(PVQ)+(PAQ)的析取范式. 解(PVQ)(PAQ) -((PVQ)A(PAQ))V(--(PVQ)A-(PAQ)) -(-PA-QAPAQ)V((PVQ)A(-PVQ)) (摩根律、双重否龙) =(PA-QAPAQ)V(PAP)V(PAQ)V(QAP)V(QA-Q)(分配律) 这已是析取范式了.又因PA一P.QA一Q.PA一QAPAQ都是才盾式、从而利用 节2.2.1的同·律PVF-P,玉可简化为 ·25·
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e书联盟好书下载www.book118.com (PA-QVPAQ 可见·公武的范式不是唯一的. 例2求(PVQ)一(PAQ)的合取范式 解(PyQ)一(PAQ) -(PVQ)V(PAR))A((PVQ)V-(PAQ)) -((PVQ)V(PAQ))A((-PA-Q)V(PV Q)) (摩根律、双重杏定) =(PVQ)A(…PV-Q) (吸收律) 也可山心求得的一种范式，使用分配律来求另·种范式.如依例1求得的析取范式，便 可得合取池式. (PAQ)V(·PAQ) -(PV-P)A(PVQ)A(-QV-P)AG-QVQ) (分配律) =(PVQ)A(-PV-Q) (同一律) 这是合取范式了，同例2的结果，反过来，由合取范式使用分配律便可得析取范式. 求…个公式的析取范式和合取范式的步骤是一样的.不同的是选取合适的等值式和分 配律，以使形成相应的范武. (4)范式可用来判断重言式和矛盾式 若·公式的合取范式中，所有的析取式都至少含有·个互补对，则该范式及相应的公式 必为重言式. 若~公式的析取范式中，所有的合取式都至少含有一个互补对，则该范式及相应的公式 必为矛盾式 2.6.2主范式 一个公式的范式不是唯一的，因此使用范式判别几个公式是否相等就比较困难了，另 外，人们也期望范式具有唯一性，为此引人主（优）范式的概念 (1)主析取范式 对个命题变项P1…,P,来说，所组成的公式 Q1八Q2Λ…AQ 其中Q,=P,或P,(=1,…,n),则称QA…AQ为极小项，并以m,表示. 极小项必须含有Q1,…,Q全部n个文字. 由两个命题变项P:,P:可构成四个极小项：一P.A一P2,P1AP,P,AP:和PA P,若将P,与1对应，而一P与0对应，进而将极小项 …P.A一P.与00对应，简记为 P,AP:与01对应，简记为m:· P.个·P:与10对应，简记为m2 P:∧1'与11对应，简记为· n个命题变项P,…,P可组成2”个极小项.每个极小项也可以，表示，0≤≤2”-1. 定义2.6.1仅由极小项构成的析取式为主析取范式. 定理26.」任·？有4个命题变项的公式，都有雌的-个与之等值的怡仅含这” ·26·
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e书联盟好书下载www.book118.com 个命题变项的手析取范式. 使用真谁表列公式的方法以及将析取范式中的合取式填满命题变顶的方法，都待 到-·个公式的上杯：取范式 例3用真值长法将及化成士斯取范代 由P、Q到P一Q的真值表图1.2.6，从T列写PQ,便得 1+Q=(PQ)y(1AQ)=nV、 并简记为V…这便是Q的生析取范式， 又因为等值公式都有相同的貞值表，从前可知所有等值公式（变项均为：）的主析取范 式是相同的，或说一个公式的主析取范式是唯·的. 例4用填满命题变项法，将P→Q的析取范式化成主析取范式. P→+Q=PVQ 心热P+?的析取范式.现将这范式巾的合取式一P添加变项Q,合取式Q添加P.即填满 变项P、Q,以构成极小项、 ·P=PA(QV…Q)=(P∧Q)V(PA=Q) Q-QA(P VP)=(Q AP)V(QA-P) 从而 P.-Q=-PVQ=(-PAQ)V(-P A-Q)V(PAQ)V(PAQ) =(PA-Q)(P AQ)V(P AQ) =m.Vm1Vm、=V5 这便是P→Q的主析取范式 (2)极小项的性质 对·个含有”个变项的公式来说，所有可能的极小项个数和该公式的解释个数· 样多，都是2”. 以每个极小项只在…个解释下为真 3极小项两两不等值，而H,八n,=F(≠). ‘任·含有个变项的公式、都山个（≤2）极小项的析取来表示.或说所有的极 小项建立个“坐标系” 拾心2”个极小项的析取构成的公式，必为重言式.即 Vm.-T 背八由个极小项的析取到成，那么其余的2·个极小项的析取必是公式1.如山 ·P,P:构成的月=V:,则-A一V. (3)飞合取池式 由n个命题变项P.·…,P,所组成的公式 QVQ,V…V2 其中2.=P或·Pi一1.…，n)、则称Q,V…VQ为极大项，并以M,表示 极大项必须含行Q,…,Q,全部”个文字 由两个命题变顶P·P:可柯成训个极人唢：PV-P,',VP·PV·P和I》,VP· 并分别以A1.11,f和表公. ·27·
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e书联盟好书下载www.book118.com n个命题变项P,,…,P.可组成2个极人项，每个极人项也可以M:来表示，0≤≤2”一1. 定义2.6.2仅由极大项构成的合取式为主合取范式. 定理2.6.2任一含有n个命题变项的公式，都有唯-·的一个与之等值的恰仪含这n 个命题变项的主合取范式. 同样使用真值表列写公式的方法，以及将合取范式中的析取式填满命题变项的方法都 可得到一个公式的唯一的主合取范式， 例5用真值表法将P一Q化成主合取范式. 依由P,Q到P+Q的真值表，从F列写P一Q,便得 P+Q=(-PVQ)A(PV-Q)=M:AM2 并简记为A.,这使是P一Q的主合取范式. 例6用填满命题变项法，将已为合取范式的PAQ化为主合取范式， PAQ=(PV(QA-Q))A(QV(P A-P)) =(P VQ)A(PV-Q)A(QVP)A(QV-P) =(∽PVQ)A(PVQ)A(PVQ)=M1AM2AM=∧13 (4)极大项的性质 ①对一个含有n个变项的公式来说，所有可能的极大项个数和该公式的解释个数一 样多，都是2”. ②每个极大项只在一个解释下为假 ③极大项两两不等值，而且M,VM,=T(≠)， ①任一含有n个变项的公式，都可由个(k≤？”)极大项的合取来表示.或说可将所有 的极大项建立一个“坐标系” 恰由2”个极大项的合取构成的公式，必为矛盾式.即 571 A M.=F 若A由是个极大项的合取组成，那么其余的2”一々个极大项的合取必是公式一A,如由 P1,P2,P构成的A=A0.2.5则A=A13467 (5)主析取范式与主合取范式间的转换 以三个变项的情形为例加以说明. 若心知A的主析取范式，如 A=Vo.t.4.5.1 兰A(…-01琳 =g1.6补 =八i4… 若已1的卡：合取池式，如 A -A1.4. =Vl…7…1.5nJ =V0l…:612) -V.. ·28·
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e书联盟好书下载www.book118.com 从真值表列写公式的主析取范式、主合取范式时，除分别从T和F列写外，在：填与合 取式利和析取式时是取变项还是变项的否定是有区别的、这就是主合取范式，主析取范式的 转换过程要求补的原因（求补是对2”一1=21=7而言的，如2的补为5，因为 2-5-7). 2.7推理形式 2.7.1推理形式 将以自然语句描述的推理关系·引入符号，抽象化并以条件式表示出来便得·种推理 形式. 例1果今犬我病了·那么我没来上课. 今天我病了. 听以今天我没米上课， 这是然语句针出的一个命题，有前提有结论，表小了-一种推理关系 引入符号，以P表示今天我病了，Q表示我没来上课.便可将这推理关系以条件式 ((P→Q)AP)→Q 米表示. 也叮以用图式表示： P-Q 结 这个条件式或图式就是·种推理形式.说明如果P真，P→Q真，就可推得Q真，这里 的P,Q可表任意命题、从而推理形式 ((P+Q)八P)*Q 反映了类推理关系 例2如果P,则Q 非P. 所以非Q 以条件式描述这种推理关系，得推理形式 ((P-Q)A-P)--Q 说的足、如果P→Q真，P假就可推得Q假.自然这推理形式也反映了一类推理关系. 例3如果1”.则Q. 非Q. 所以非”. 同样以条件式描述这种推理关系·得推理形式 ((+Q2)A…Q)→P 表明、如果P+Q真而Q假、就可推得P假.同样这类推理形式反映的是·类推理关系， 山于推理形式由前提和纰论部分劲成，使用蕴渊河·表示的条件式是自然的内为· +20
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