e书联盟好书下载www.book118.com (PVP)VQ与Q的真值都同P无关.例2中PV-P,QV-Q都是重式，它I的其值 地都与P,Q兀关.冉有对例】和例2来说，公式的解释都是针对1”和Q的设定、如：P.Q 一T,F.这表示P=I,二上， Pg一P-PVQ F T F 1 图2.i.1 2.1.2等值定理 定理2.1.1对公式A和B,A=B的充分必要条件是A一B是重言式， 若A一B为重言式(A,B必不会都是简单命题、而是由简单命题P,…,P构成的，对 A、B的一个解释，指的是对P,…,P的一组具体的真值设定)、则在任一解释下}和B 都只能有相同的其值，这就是定理的意思 证明是容易的.若A一B是重言式，即在任一解释下，A一B的真值都为T,依A一B的 定义只有作A,B有相同的值时、才有A+B=T,丁是在任一解释下，A和B都有相同的 真值，从而有A=B.反过来，若有A一B,即在任·-解释下A和B都有相同的真值，依 A+B的定义、A一B只有为真，从而A一B晁重言式. 有了这个等值定理，证明两个公式等值，只要证明由这两个公式构成的双条件式是重 i式 不要将“=”视作联结词，在合式公式定义里没有“=”出现，我们是将A=B看成是表 小公式A与B的一种关系.这种关系具有3个性质： (1）月反性A=A. (2)对称性若A=B.则B=1. 《3)传递性若1=B,B一(.则A=(' 这3条性质体现了“=”的实质含义， 2.2等值公式 2.2.1基本的等值公式（命题定律） (1)双重否定律 -P=P. (2)结合律 (PVQ)VR PV(QVR). (PAQ)AR-P∧(QAR). (P+Q)R二》+(R). ·15·
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e书联盟好书下载www.book118.com (P+Q)→R≠P→(Q→R). (3)交换律 PVQ=QV P. PAQ=QAP. P++Q=Q++P. P→Q≠Q→P. (4)分配律 PV(QAR)=(PVQ)A(PVR). PA(QVR)=(PAQ)V(PAR). P+(Q→R)=(P+Q)+(P→R). P(Q+R)≠(P-Q)(P一R) (5)等幂律（恒等律） PVP=P. PAP=P. P-→P=T. P+P T. (6)吸收律 PV(PAQ)=P. PA(PVQ)=P. (7)摩根律 -(PVQ)=-PA-Q. -(PAQ)=-PV-Q. 对蕴涵词、双条件词作否定有 (P→Q)=PAQ. n(P+Q)=P*+Q=P→nQ=（PAQ)V(P八Q) (8)同-·律 PVF=P. PAT=P. T→P=P. | T++P=P. 还有 P-F=P. 1 FP=一P. (9)零律 PVT=T. PAF=F. 还有 P→TT F-P=T. ▣16·
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e书联盟好书下载www.book118.com (10)补余律 PVP =T. PA-P=F. 还有 P-P=-P. nP→PP. +一P= 所有这些公式，都可使用直值表加以验证.若使用文氏(V'enn)图（参见9.4.1节）也容 易理解这些等值式，这种图是将P,Q理解为某总体论域上.的子集合，而规定PAQ为两集 合的公共部分（交集合），PVQ为两集合的全部（并集合），P为总体论域（如矩形域）中P 的余集，关于集合论的内容详见第9章.如图2.2.1所示. P八Q 图2.2.1 从文氏图看公式6就很容易了，因PAQ较P来得“小”，PVQ较P来得“大”，从而有 PV(PAQ)=P,PA(PVQ)=P. 若将V,A分别以+和·来表示，于是 PV(QAR)=(PVQ)A(PVR) 化成P+Q·Re(P+Q)·(P+R). PVP-P 化成”+P=P. PAP=P 化成P·PP. PV(PAQ)-P 化成P+P·Q=P. P八(PVQ)=P 化成P·(P+Q)=P. 这些以一·表示的等式，在实数域里明显地不成立，这就提醒我们，与、或的逻辑运第 同数的十，·运算是有区别的. 对这些等式使用自然用语加以说明，将有助于理解.如P表示张三是学生，Q表示李四 是工人，那么(PVQ)就表示并非“张三是学生或者李四是工人”.这相当于说，“张三不是 学生而且李四也不是工人”，即可由一PA一Q表示，从而有一(PVQ)=”PA一Q. 2.2.2常用的等值公式 山于人们对一、V、A史为熟悉，常将含有+和一的公式化成仅含有、V、A的公式.这 ·17·
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e书联盟好书下载www.book118.com 也是诽明和理解含有+，一的公式的一般方法， 下面将要介绍的公式11~18是等值演算中经常使用的，地该掌握它们，特别是能直观 地解释它们的成立， (11)P→Q=-PVQ. 通常对1)*Q进行运算时，不如用一PVQ来得方便.而且以一PVQ表示P+Q帮助我 们理解“如果P则Q”的逻辑含义，问题是这种表示也有缺点，丢失了P,Q间的因果关系， (12)P+Q-nQ+-P. 如将P→Q视为正定理，那么一Q+一P就是相应的逆否定理，它们必然同时为真，同 时为假，所以是等值的 (13)P→(Q+R)=(PAQ)+R P是(Q→R)的前提，Q是R的前提，于是可将两个前提的合取PAQ作为总的前提. 即如果P则如果Q则R,等价于如果P与Q则R, (14)P+Q=(PAQ)V(-PA-Q). 这可解释为P+Q为真，有两种可能的情形，即(PAQ)为真或（一PA一Q)为真.而 PAQ为真，必是在P=Q=T的情况下出现，"PA一Q为真，必是在P=Q=F的情 况下出现.从而可说，P+Q为真，是在P,Q同时为真或同时为假时成立.这就是从取真来 描述这等式. (15)P+Q=(PV-Q)A(-PVQ). 这可解释为PQ为很，有两种可能的情形，即(PV一Q)为假或(PVQ)为很，而 PVQ为假，必是在P=F,Q=T的情况下出现，PVQ为假，必是在P=T,Q=F 的情况下出现.从而可说P一Q为假，是在P真Q假或P假Q真时成立.这就是从取假来 描述这等式. (16)PQ=(P*Q)A(Q-*P). 这表明P+Q成立，等价于正定理PQ和逆定理Q·P都成立. (17)P.*(Q→R)=Q+(P*R). 前提条件P,Q可交换次序 (18)(P-R)A(Q-R)=(PVQ)-R. 左端说明的是由P而且由Q都有R成立，从而可以说由P或Q就有R成立，这就是 等式右端. 2.2.3置换规则 对公式A的子公式，用与之等值的公式代换称为置换， 置换规则公式A的子公式置换后，A化为公式B,必有A=B. 当A是重言式时，置换后的公式B必也是重言式 置换与代人是有区别的.置换只要求A的某一子公式作代换，不必对所有同一的子公 式都作代换. 在等值演算过程中，常无意识的使用了首换规则.这里只不过是对置换规则给予明确 说明. ·18·
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e书联盟好书下载www.book118.com 2.2.4等值演算举例 例1证明(-PA(-QAR)V(QAR)V(PAR)=R. 证明 左端=(PA(-QAR)V((QVP)AR) (分配律) =((-PA-Q)AR)V((QVP)AR) (结合律) =((PVQ)AR)VO(QVPAR) (摩根律) =((PVQV(QVP))AR (分配律) =((PVQ)V(PVQ))AR (交换律) -TAR (置换) =R (同-…律) 例2试证((PVQ)A(nP∧(-QVK)))V(-PAQ)V(PAR)=T. 证明 左端=(PVQ)A(PV(QR))V((PVQ)A(PVR)) (摩根律) =((PVQ)A(PVQ)A(PVR))V-((PVQ)A(PVR)) (分配律) =((PVQ)A(PVR))V-((PVQ)A(PVR)) (等幂律) =T, (置换) 从例中可看出，一个命题公式的表示形式并不是唯一的，可以有多种不同的表达式，通 过等值演算可以寻求出最简单的逻辑表达式，在数学电路中，当电路的功能明确后，如何寻 求简单而又可靠的电子线路，等值演算为此提供了有力的手段 2.3命题公式与真值表的关系 对任依赖于命题变元P,…,P的命题公式A来说，可根据P,…,P,的真值给出1 的真值，从而建立起由P:,·,P到A的真值表.这个由公式列写真值表的过程是容易的. 反过来，若给定了由P,…,P到A的真值表，是否可以写出命题公式A对P,…,P 的逻辑表达式呢？回答是肯定的， 例如有如图2.3.1所示的真值表，可列写出A,B由P,Q表达的公式来. Q A BA C F T T F T F T F T F T T T F F 任盘 图2.3.1 2.3.1从T来列写 从图2,3.1看！的其值「、如何依赖下P.Q的真值.在图中的第1.第2和第4行A ·I9·
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