e书联盟好书下载www.book118.com (2)李明既聪明义用功. 令P表示“李明聪明”，Q表示“李明用功”.于是(2)可表示为PAQ (3)√2是有理数的话，2√/2也是有理数. 令P表示“√2是有理数”，Q表示“2√2是有理数”，于是(3)可表示为P+Q 1.5.2较复杂自然语句的形式化 需注意的是逻辑联结词是从自然语句中提炼抽象出来的，它仅保留了逻辑内容，而把自 然语句所表达的主观因素、心理因素以及文艺修辞方面的因素全部撇开了，从而命题联结词 只表达了自然语句的一种客观性质.又由于自然语句本身并不严谨，常有一义性，自然会出 现同一自然语句的不等价的逻辑描述，其根由在于人们对同一自然语句的不同理解. 例1张三与李四是表兄弟 这是普通的自然用语，它是-一个命题，令以R表示，若形式地规定： P:张三是表兄弟， Q:李四是表兄弟、 那么R=PAQ 显然，这样的形式化是错误的，原因很简单，“张三是表兄弟”，“李四是表兄弟”都不是命 题.实际上“张三与李四是表兄弟”才是一个命题，而且是一个简单命题.这例子说明自然语 句中的“与”不一定都能用合取词来表达， 例2张三或李四都能做这件事. 这句话中的“或”不一定就用析取词来表示，应允许有的人把这命题的内容理解为：张三 能做这件事而且李四也能做这件事，这样，这句话便可用PAQ的形式表示了， 例3给了三个命题 A：今晚我在家里看电视， B:今晚我去体育场看球赛. C:今晚我在家里看电视或去体育场看球赛. 问题是C与AVB是否表达的是同一命题呢？回答是否定的.因为C同A,B的真值关 系应由图1.5.1给出. 这表的前3行很容易理解，面第4行是说今晚我在家看电视，又去体育场看球赛，显然 对同一个人来说这是不可能的，从而这时C的真值为F,这就说明了C与AVB逻辑上是不 相等的.即C中出现的“或”不能以“V”来表示. 由图1.5.1给出的C同A,B的逻辑关系，常称为异或（不可兼或），以7表示，有 C=AVB 不难验证 C=(A∧B)V(AAB) AB C 若以A,B分别表示一位二进制数字，则C就表示了A与B的和 T (不考虑进位). F T T T F 例4今天我上班，除非今天我病了， 图1.5.1 ·10·
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e书联盟好书下载www.book118.com 以P表示今天我病了，Q表示今天我上班，例4是个因果关系，意思是如果今大我不 病，那么我上班，所以可描述成一PQ, 1.6波兰表达式 数理逻辑也谓之符号逻辑.自然对一个公式如何以符号描述是给以关注的，像括号的使 用，联结词的中辍、前锻、后辍形式的选择·都直接影响着同一公式描述和计算的复杂程度， 若用计算机来识别、计算、处理逻辑公式，不同的表示方法会带来不同的效率. 1.6,1计算机识别括号的过程 合式公式定义中使用的是联结河的中辍表示，又引入括号以便区分运算次序，这些都是 人们常用的方法. 计算机识别处理这样表示的公式的方法，需反复自左向右，自右向左的扫描.如对公式 (PV(QAR))V(SAT) 真值的计算过程，开始从左向右扫描，至发现第一个右半括号为止，便返回至最近的左半括 号，得部分公式(QAR)方可计算真值.随后义向右扫描，至发现第二个右半括号，便返回至 第一：个左半括号，于是得部分公式(PV(QAR)并计算真值，重复这个过程直至计算结束， 如图】.6.1所示的扫描过程1+2-+3→…→6-→7. (P V:Q A R))V(S T 图1.6.1 这种多次重复扫描，显然是有浪费的，从而降低了机器的使用效率.追湖这种重复扫描 的原因并不在于使用了括号，而在于公式的中辍表示方法. 1.6.2波兰式 般地说，使用联结词构成公式有三种方式，中辍式如PVQ,前辍式如VPQ,后辍式 如PQV. ·11·
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e书联盟好书下载www.book118.com 前缀式用于逻辑学是由波兰的数理逻辑学家J.Lukasiewicz提出的，称之为波兰表 示武， 如将公式PV(QVR)S)的这种中辍表示化成菠兰PV(QvR)AS) 式，可由内层括号遂步向外层脱开（或由外层向里逐层脱开） VQR 的办法.如图1.6.2. 以波兰式表达的公式，由计算机识别处理的过程，当自名 AVQRS 向左扫描时可以一次完成，避免了重复扫描，同样后辍表示 (逆波兰式)也有同样的优点，而且自左向右一次扫描（看起来 VP AVQRS 更合理)便可识别处理一个公式，很是方便，常为计算机的程 图1.6.2 序系统所采用，只不过这种表示的公式，人们阅读起来不大 习惯. 习题1 1.判断下列语句是否是命题，并对命题确定其真值， (1)火星上有生命存在. (2)12是质数. (3)香山比华山高. (4)x十y=2. (5)这盆茉莉花真香！ (6)结果对吗？ (7)这句话是错的， (8)假如明天是星期日，那么学校放假. 2.P表示今天很冷，Q表示正在下雪， (1)将下列命题符号化： 如果正在下雪，那么今天很冷， 今天很冷当且仅当正在下雪， 正在下雪的必要条件是今天很冷· (2)用自然语句叙述下列公式： (PAQ)-PV-Q.P-+Q,-PVQ,--P,-P+Q. 3.对下列公式直观叙述在什么样的解释下为真，并列写出真值表来验证. (1)(PVQ),-PA-Q,(PAQ). (2)(-PVQ)A(PV-Q),(PAQ)V(-PA-Q). (3)(P→Q)∧7(PQ). (4)P+Q,Q+nP,-P→Q,Q→P. (5)P+(Q→R),PAQ+R. 4.下列公式哪个是重言式，永假式和可满足的，并用代人规则（对重言式）或其值表来 验证. (I)-*P. ·12
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e书联盟好书下载www.book118.com (2)((VQ)*(QVP)). (3)(Q-*R)+(PVQ)-(PVR)) (4)(Q-→R)(P+Q)→(P→R)). (5)(P*Q)→(-Q→P). (6)(PAQ)→(PVQ). 5.形式化下列自然语句. (1)他个子高而且很胖 (2)他个子高但不很胖. (3)并非“他个了高或很胖”. (4)他个子不高也不胖. (5)他个子高或者他个子矮而很胖， (6)他个子矮或他不很胖都是不对的 (?)如果水是清的，那么或者张三能见到池底或者他是个近视眼 (8)如果嫦娥是康构的，而如果圣诞老人也是虚构的，那么许多孩子受骗了， 6.将下列公式写成彼兰式和逆波兰式. (1)P→QVRVS (2)PA-R+PVQ (3)--PV(WAR)VQ ·13·
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e书联盟好书下载www.book118.com 第2章命题逻辑的等值和推理演算 推理形式和推理演算是数理逻辑研究的基本内容，自然介绍了基本概念后就需进行讨 论了，命题的等值演算也可看作是推理演算，推理形式是由前提和结论经蕴涵词联结而成 的，推理过程是从前提出发，根据所规定的规则来推导出结论，我们讨论的是前提真结论必 然真的演绎推理， 重言式是重要的逻辑规律，正确的推理形式，等值式都是重言式，所以对重言式的讨论 和对推理的讨论实质上是相同的， 这章对命题等值和推理演算的讨论，是以语义的观点进行的非形式的描述，目的是直观 容易理解，也便于实际问题的逻辑描述和推理.而严格的形式化的讨论在第3章所建立的公 理系统。 在数字电路和计算机硬件的设计等领域，命题演算获得了卓有成效的应用. 这章的前6节讨论等值演算，后4节讨论推理演算， 2.1等值定理 若把初等数学里的十，一，×、÷等运算符看作是数与数之间的联结词，那么由这些联结 词所表达的代效式之间，可建立如下许多等值式： x2-y2=(x+y)(.x-y) (x+y)2=x2+2xy+y2 sin'x+cos'x 在命题逻辑里也同样可建立一些重要的等值式， 2.1.1等值的定义 给定两个命题公式A和B,而P1,·,P,是出现于A和B中的所有命题变项，那么公 式A和B共有2个解释，若在其中的任一解释下，公式A和B的真值都相等，就称A和 B是等值的（或称等价）.记作A=B或A仁B. 显然，根据真值表就可以判明任何两个公式是否等值， 例1证明(PAP)VQ=Q. 证明画出(PAP)VQ与Q的真值表可看出，等式是成立的.见图2.1,1. 例2证明PV一P=QV7Q. 证明画出PV一P,QV一Q的真值表，可看出它们是等值的，而且它们都是重言式. 从例1、例2还可说明，两个公式等值并不要求它们·定含有相同的命题变项.若仪在 等式·端的公式里有变项P出现，那么等式两端的公式其真值均与P无关.例1中公式 ·14▣
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