考研物理《量子力学》课程教学资源（讲义，共十二章，主讲：张永德）

§2.3 Schrodinger方程向经典力学的过渡 量子力学向经典力学的过渡有多种途径。这里只给出两种从 Schrodinger方程出发的 过渡。 1,方→0过渡方式 首先经典的波动光学在数学形式上是怎样过渡到几何光学的。众所周知,几何光学是麦 克思韦方程当波长λ→0时的极限情况,就是说,令 EG,)=()10 H(,1)=h(k kL(2}- (2.9) 这里,E、h是F的复矢量函数,是为了考虑光场可能存在的各种偏振状态。、h、L均 O 与k= c无关(这里,k=32=nk0,n=二)将这两个表达式代入空间非均匀但 各向同性的非导体介质(σ=0)的麦克斯韦方程组,令k→>∞,即取极短波长近似,很 容易得到对于光程函数L(P)的程函方程一一几何光学的基本方程, (VL) (2.10) 与此同时,平均波印亭矢量的空间轨迹即为几何光学中的光线。这就从波动光学过渡到了几 何光学。 与此类似,我们可以指望牛顿力学是量子力学当h→>0时的极限情况。就是说,对接 近经典的量子系统,如令 s(F, r) u(, s=a(r, t)e 这里a和S均为实函数,可以预计,当→0时S将服从牛顿力学规律而成为经典粒子的 作用量。为说明这点,将此表达式代入 Schrodinger方程,可得 as-in aa+ a(vs) -th a△S-VS Aa+va=0 n 2m 分开实项和虚项,可得两个方程 e+2m7(VS)+1、b △a=0 As+-vs. Va=0 at 2m 页),则它的本征函数族{}是完备的。但是,除了少数特殊情况外,在一般情况下断定一个厄米算符是 否“有下限无上限”却是困难的 3n..朗道,EM栗弗席茨,量子力学(非相对论)上册,高等教育出版社,1980年。也参见K. Gottfried, Quantum Mechanics, vol 1, P 70(1965)

§2.3 Schro&&dinger 方程向经典力学的过渡 量子力学向经典力学的过渡有多种途径。这里只给出两种从 方程出发的 过渡。 Schro&&dinger 1, h → 0过渡方式 首先经典的波动光学在数学形式上是怎样过渡到几何光学的。众所周知，几何光学是麦 克思韦方程当波长λ → 0时的极限情况，就是说，令 ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) i[k L( ) r t i k L r t H r t h r e E r t e r e ω ω − − = = r ] r r r r r r r r r 0 0 , , (2.9) 这里，e 、h 是 r r r r 的复矢量函数，是为了考虑光场可能存在的各种偏振状态。e 、h 、 均 与 r r L 0 0 2 λ ω π = = c k 无关（这里， v c k = = nk ,n = 2 0 λ π ）。将这两个表达式代入空间非均匀但 各向同性的非导体介质（σ = 0 ）的麦克斯韦方程组，令 k0 → ∞ ，即取极短波长近似，很 容易得到对于光程函数 (r)的程函方程——几何光学的基本方程， r L ( ) 2 2 ∇L = n (2.10) 与此同时，平均波印亭矢量的空间轨迹即为几何光学中的光线。这就从波动光学过渡到了几 何光学。 与此类似，我们可以指望牛顿力学是量子力学当 时的极限情况。就是说，对接 近经典的量子系统，如令 h → 0 ( ) ( ) ( ) h r r r S r t i r t a r t e , ψ , = , 这里 和 均为实函数，可以预计，当 时 S 将服从牛顿力学规律而成为经典粒子的 作用量。为说明这点，将此表达式代入 方程，可得 a S h → 0 Schro&&dinger a ( ) 0 2 2 2 2 2 + ∇ − ∆ − ∇ ⋅∇ − ∆ + = ∂ ∂ − ∂ ∂ a Va m S a m i a S m i S m a t a i t S a h h h h 分开实项和虚项，可得两个方程 ( )       + ∆ + ∇ ⋅∇ = ∂ ∂ + ∇ + − ∆ = ∂ ∂ 0 1 2 0 2 2 1 2 2 S a m S m a t a a ma S V t m S h 页），则它的本征函数族{ψ n}是完备的。但是，除了少数特殊情况外，在一般情况下断定一个厄米算符是 否“有下限无上限”却是困难的。 a Л.Д. 朗道，E.M. 栗弗席茨，量子力学（非相对论） 上册，高等教育出版社，1980 年。也参见 K. Gottfried, Quantum Mechanics, vol.1, p.70 (1965)

从第一式中略去h2项,并将第二式乘以2a,得 (VS)+V=0 at、2m 0 第一式就是关于单粒子作用量S的经典哈密顿一一雅可比方程°。第二个方程可看成连续性 方程。如果不把a2看成是粒子的几率密度,而看成是粒子密度,则该方程完全是个经典力 学方程。 综上所述,当 Schrodinger方程中h→>0(实质上是说,所研究体系的动量或能量足 够大,以至相应的德布罗意波长λ≈0)时,若略去h2项,则得到经典力学的规律。说得 仔细些,当h→0时,若在波函数的振幅和位相中,只计及到的一次方项,则它们均服 从经典力学规律。 2,取平均值过渡方式 也可以换一种方法来研究这种过渡的问题。这就是研究势场中 Schrodinger波函数的 平均动量变化的规律。以x方向为例, (P)=wl-in o lya (p,)=-i ay dv-inly dt △v+Vvax a h △y+v n ni ov ox Ov-y Ox ar villa 这里,第一个积分中的两项均包含Δ算子,对之进行分部积分并利用无穷远处的边条件(在 那里ψ及其一阶偏导数均为零),可得第一项积分为零;第二项积分在消去两项将之化简之 后,即得 (p,)=-v 参见例如,吴大猷著,古典动力学,第251页,科学出版社,1983年。 Hamilton-Jacobi方程为 这里

从第一式中略去 项，并将第二式乘以 ，得 2 h 2a ( ) ( )         =      ∇ + ∂ ∂ + ∇ + = ∂ ∂ 0 0 2 1 2 2 2 m S div a t a S V t m S (2.11) 第一式就是关于单粒子作用量 S 的经典哈密顿——雅可比方程a 。第二个方程可看成连续性 方程。如果不把 看成是粒子的几率密度，而看成是粒子密度，则该方程完全是个经典力 学方程。 2 a 综上所述，当 方程中 （实质上是说，所研究体系的动量或能量足 够大，以至相应的德布罗意波长 Schro&&dinger h → 0 λ ≈ 0 ）时，若略去h 项，则得到经典力学的规律。说得 仔细些，当 时，若在波函数的振幅和位相中，只计及到h 的一次方项，则它们均服 从经典力学规律。 2 h → 0 2, 取平均值过渡方式 也可以换一种方法来研究这种过渡的问题。这就是研究势场中 波函数的 平均动量变化的规律。以 Schro&&dinger x 方向为例， ∫       ∂ ∂ = − ∗ dv x p i ˆ x ψ h ψ (2.12) 故 ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫       ∂ ∂ − ∂ ∂ +             ∂ ∂ − ∆ ∂ ∂ = − ∆       − ∆ + ∂ ∂ − ∂ ∂       = − ∆ + ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = − ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ dv x V x dv V m x x V dv x m dv x V m dv x t dv i t x p i dt d x ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ 2 2 2 ˆ 2 2 2 h h h h h 这里，第一个积分中的两项均包含 ∆ 算子，对之进行分部积分并利用无穷远处的边条件（在 那里ψ 及其一阶偏导数均为零），可得第一项积分为零；第二项积分在消去两项将之化简之 后，即得 ∫ ∂ ∂ = − ∗ dv x V p dt d ˆ x ψ ψ a 参见例如，吴大猷著，古典动力学，第 251 页，科学出版社，1983 年。 Hamilton-Jacobi 方程为 , = 0 ∂ ∂ +        ∂ ∂ t S x S H x i i 这里 i i p x S = ∂ ∂

或 d p=-Jw(VV)dv=-(vv)=(F) 这表明,微观粒子运动在期望值(平均值)的意义上是遵从牛顿第二定律的,量子效应只是 围绕经典平均值的一种量子涨落。 §24力学量期望值的运动方程和对易子计算 1,力学量期望值的运动方程 力学量9在态v(,)中的期望值为 (2Q)=JwG,2w(i, 1)d 对它求时间导数,得 d Q=门am aQ y + y Lw'HQw+w l%2 w-iy' QHwlah ∫vl22+a2-)kh ot 这里,—是当算符Ω中显含有时间参数时的偏导数。接着,引入两个定义:其一是所谓 “量子泊松括号 其二是算子的时间微商算子4,这个新算符用其平均值来定义,即44的平均值是平 均值的时间微商: 代入上面计算结果,得 dtdr Jw a2+, Abe fyah ot 由于态是任意的,于是我们得到如下算符的时间导数算符公式 (217)

或 p ( ) V dv V F dt d r r = − ∇ = − ∇ = ∫ ∗ ˆ ψ ψ (2.13) 这表明，微观粒子运动在期望值（平均值）的意义上是遵从牛顿第二定律的，量子效应只是 围绕经典平均值的一种量子涨落。 §2.4 力学量期望值的运动方程和对易子计算 1, 力学量期望值的运动方程 力学量Ωˆ 在态 (r,t r ψ )中的期望值为 ( ) ( ) ( ) Ω ≡ Ω = ∫ Ω ∗ r t r,t dv ˆ , ˆ r r ψ ψ (2.14) 对它求时间导数，得 ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫       + Ω − Ω ∂ ∂Ω =       − Ω ∂ ∂Ω = Ω +       − Ω ∂ ∂Ω = Ω +       ∂ ∂ + Ω ∂ ∂Ω Ω + ∂ ∂ Ω = Ω = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ H H dv i t H dv i t H i H dv i t H i dv dt t t t d dt d ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ h h h h h (2.15) 这里， ∂t ∂Ωˆ 是当算符 中显含有时间参数时的偏导数。接着，引入两个定义：其一是所谓 “量子泊松括号”， Ωˆ [ ] [ ] (AB BA) i A B i A B QP ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ,ˆ 1 ˆ ,ˆ ≡ = − h h (2.16) 其二是算子 Aˆ 的时间微商算子 dt dAˆ ，这个新算符用其平均值来定义，即 dt dAˆ 的平均值是 平 均值的时间微商： Aˆ         ≡ = dt dA A dt d dt dA ˆ ˆ 代入上面计算结果，得 [ ] ∫       + Ω ∂ ∂Ω = Ω = Ω ∗ H dv dt t d dt d ψ ˆ , ˆ QP ψ ˆ ˆ 由于ψ 态是任意的，于是我们得到如下算符的时间导数算符公式： [ ] H QP dt t d ˆ , ˆ ˆ ˆ + Ω ∂ ∂Ω = Ω (2.17)

这个表达式可看作是与力学量一对应的算符Ω的定义式。比如,若Ω=x,则此式即相 应于速度算符的定义式。 如果算符Ω不显含t,则时间导数的平均值(也即平均值的时间导数)成为 ∫vp. 举例,对位置算符x,它显然不显含时间,于是它的导数算符为 E1(-) i (x△-Ax)= (219) 边(2m 2im( ax 又比如, .H V=-VV dt ih 于是,一个力学量的厄米算符,如果它既不显含1,又与系统的哈密顿量对易,那么这 个力学量便是这个系统的一个守恒的物理量,简称为守恒量,或称为运动常数。就给定的系 统而言,说某个力学量守恒,具体的含义是:第一,该力学量在此系统任意(束缚)态内的 平均值不随时间变化:第二,如果在所给的态中该力学量具有确定值(即此波函数是该力学 量算符的本征函数),则在所有以后时刻该态仍具有该确定值,或者说,这个定值是守恒量 子数,又常称为好量子数 在分立谱的定态上,任何不显含时间的力学量的平均值不随时间变化。证明如下: HU=E 于是 y(Q2H-HS2)y, dv 1吵Q,,h-w 0 2,对易子运算

这个表达式可看作是与力学量 dt dΩ 对应的算符Ω ˆ& 的定义式。比如，若 ，则此式即相 应于速度算符的定义式。 xˆ Ωˆ = 如果算符Ωˆ 不显含t ，则时间导数的平均值（也即平均值的时间导数）成为 [ ] = ∫ Ω Ω ∗ H dv dt d ψ ˆ , ˆ QPψ (2.18) 举例，对位置算符 x ，它显然不显含时间，于是它的导数算符为 [ ] ( ) ( ) m p im x x x i m xT Tx i x H i v x x ˆ 2 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ, 1 ˆ 2 =       ∂ ∂ ∆ − ∆ = − −         = − = = − h h h h h (2.19) 又比如， [ ] [p V ] V i p H dt i dp F ≡ = = ˆ, = −∇ 1 , ˆ 1 ˆ ˆ r h r h r r (2.20) 于是，一个力学量的厄米算符，如果它既不显含t ，又与系统的哈密顿量对易，那么这 个力学量便是这个系统的一个守恒的物理量，简称为守恒量，或称为运动常数。就给定的系 统而言，说某个力学量守恒，具体的含义是：第一，该力学量在此系统任意（束缚）态内的 平均值不随时间变化；第二，如果在所给的态中该力学量具有确定值（即此波函数是该力学 量算符的本征函数），则在所有以后时刻该态仍具有该确定值，或者说，这个定值是守恒量 子数，又常称为好量子数. 在分立谱的定态上，任何不显含时间的力学量的平均值不随时间变化。证明如下： 设 Ω = ∫ Ω = dv H E n n n n n ψ ψ ψ ψ ˆ ˆ * 于是 ( ) 0 { } 1 } ˆ ˆ { 1 } ˆ ˆ ˆ { 1 ) ˆ ˆ ˆ ˆ ( 1 * * * * = = Ω − Ω = Ω − Ω = Ω − Ω = Ω − Ω Ω ∫ ∫ ∫ ∫ n n n n n n n n n n n n E E i E H dv i E dv H dv i H H dv dt i d h h h h ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ 证毕。 2, 对易子运算

量子力学的对易子运算全部建立在下面这个基本对易子的基础上 氏,p]=i .21) 这个对易子是量子力学基本假设内容之一。由这个对易子,便可决定当籴=x时, P, 将此结论自然地推广到3维x(a=1,2,3),得 请6 (2.22) 此外,对易子运算中还常用到一些恒等式,如 m+]=1l+d B=-B, A d+BE已[l-0等 作为运算的一个例子,我们证明如下结论: 设A=A(x,),B=B()能表达成,户的幂级数,且对易子问=i,求证 lima, Be =(4, B)c (2.23) 这里,右边是当A,B的算符变数换为经典变量x,p时的泊松括号。 证:设A=∑am(这是可以做到的,因为如有文在户右边的项,均通过基本对 l,m=0 易子将之调换,直到每项的X均在p的左方)。 首先,注意有以下对易关系: Li,f(, p)]=ih 2,f( ,代可少+…+m 类似有 ax lm[以B浏=lm∑aF,B

量子力学的对易子运算全部建立在下面这个基本对易子的基础上： [xˆ, pˆ x ] = ih (2.21) 这个对易子是量子力学基本假设内容之一。由这个对易子，便可决定当 xˆ = x 时， x p i x ∂ ∂ ˆ = − h 。将此结论自然地推广到 3 维 (α = 1,2,3) α x ，得 [ ] α β hδ αβ x , pˆ = i (2.22) 此外，对易子运算中还常用到一些恒等式，如 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ˆ,[ ] ˆ, ˆ [ ] ˆ,[ ˆ, ˆ] [ ] ˆ,[ˆ, ˆ] 0,等等 ˆ ˆ , ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ ˆ ,ˆ ˆ , ˆ ˆ ,ˆ ˆ , ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ ,ˆ + + = = + = − + = + A B C B C A C A B A BC B A C A B C A B B A A αB βC α A B β A C 作为运算的一个例子，我们证明如下结论： 设 Aˆ = A( ) xˆ, pˆ , Bˆ = B(xˆ, pˆ)能表达成 xˆ , pˆ 的幂级数，且对易子[xˆ, pˆ] = ih ，求证 [A B]QP {A B}CP , ˆ ,ˆ lim 0 = h→ (2.23) 这里，右边是当 A , ˆ Bˆ 的算符变数换为经典变量 x , p 时的泊松括号。 证：设 （这是可以做到的，因为如有 在 右边的项，均通过基本对 易子将之调换，直到每项的 均在 的左方）。 ∑ ∞ = = , 0 ˆ ˆ ˆ l m l m lm A a x p xˆ xˆ pˆ pˆ 首先，注意有以下对易关系： [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( )         ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ =         ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =         ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ = −1 −2 −1 3 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ, ˆ, ˆ n n n n x p f x p f x p f x f x p i x x p f x p f x p f x f x p i x x p f p f x f x p i x p f x f x p i h L h h h 类似有 [ ] ( )       ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ = − −1 −2 −1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ, ˆ ˆ m m m m p x f p x f p x f p f x p ih p L ∴ [ ] ( ) ( ) ∑ [ ( )] → → = l m l m alm x p B x p i A x p B x p i , 0 0 ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ , 1 ˆ ˆ, ˆ , ˆ ˆ, ˆ lim 1 lim h h h h