24 第一篇力学 定后,注意到运动的角量描述与线量描述的相应关系,由运动学中两类问题求解 的方法(微分法和积分法),即可得到特定时刻的角加速度、切向加速度和角 位移 解因oR=v,由题意a∝t2得比例系数 所以 a=0(t)=2t2 则t'=0.58时的角速度角加速度和切向加速度分别为 2t"=0.5rad =4t'=2.0rad·s a,=aR=1.0 总加速度 a=a+a=aRe +o Re (aR)2+(a2R) 在2.0s内该点所转过的角度 2r de =5.33rad 1-24一质点在半径为010m的圆周上运动,其角位置为=2+42,式 中θ的单位为rad,t的单位为s.(1)求在t=2.0s时质点的法向加速度和切向 加速度.(2)当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时,6值为多少? (3)t为多少时,法向加速度和切向加速度的值相等? 分析掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系,应用运动学求 解的方法即可得到 解(1)由于0=2+4+2,则角速度a==122.在t=2s时,法向加速度 和切向加速度的数值分别为 an1-2、=ro2=2.30×102m·s-2 a3a=7 4.80m·s (2)当 时,有3a1=a2,即 3(24r)2=r2(122) 此时刻的角位置为
第一章质点运动学 =2+43=3.l5ra (3)要使an=a1,则有 r(122)2=24rt t=0.55s 1-25一无风的下雨天,一列火车以v1=20.0m·s的速度匀速前进,在 车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75°角下降.求雨滴下落的速度n2 (设下降的雨滴作匀速运动) 分析这是一个相对运动的问题.设雨滴为 研究对象地面为静止参考系S,火车为动参考系 sv为S相对S的速度,v为雨滴相对S的速度, 利用相对运动速度的关系即可解 解以地面为参考系,火车相对地面运动的 题1-25图 速度为v,雨滴相对地面竖直下落的速度为v2,旅客看到雨滴下落的速度v为 相对速度,它们之间的关系为v2=v2+v(如图所示),于是可得 5,36m 1-26如图(a)所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速率为t1,下落雨滴的 速度方向偏于竖直方向之前0角速率为"2,若车后有一长方形物体问车速v1 为多大时,此物体正好不会被雨水淋湿? 分析这也是一个相对运动的问题.可 视雨点为研究对象,地面为静参考系S,汽车 为动参考系S如图(a)所示,要使物体不被 淋湿,在车上观察雨点下落的方向(即雨点 相对于汽车的运动速度v的方向)应满足 a≥ arctan,再由相对速度的矢量关系 v2=v2-v,即可求出所需车速v 解由v=v-U1[图(b)],有 sin 6 o= arctan Cos 面要使&≥ arctan,则 Dr-U, sin 0 I 题1-26图 Ua cos
第一篇力学 sin e 人能在静水中以1.10m·s-的速度划船前进今欲横渡一宽为 1.00×103m、水流速度为0.55m·s-的大河.(1)他若要从出发点横渡该河而 到达正对岸的一点,那么应如何确定划行方向?到达正对岸需多少时间?(2 如果希望用最短的时间过河,应如何确定划行方向?船到达对岸的位置在什么 地方? 分析船到达对岸所需时间是由船相对于岸的速度v决定的由于水流速 度的存在,v与船在静水中划行的速度v之间有v n+v(如图所示)若要使船到达正对岸,则必须使v沿 正对岸方向;在划速一定的条件下,若要用最短时间过 河,则必须使v有极大值 解(1)由v=l+v可知a= arcsin,则船到达正 题1-27图 对岸所需时间为 =1.05×10 Os a (2)由于b= U/ COs a,在划速一定的条件下,只有当a=0时,最大(即 t=′),此时船过河时间t=dv,船到达距正对岸为l的下游处,且有 d 5.0×10 Ⅰ-28一质点相对观察者O运动,在任意时刻t,其位置为x=nt y=gt2/2,质点运动的轨迹为抛物线若另一观察者O以速率t沿x轴正向相对 于O运动试问质点相对O的轨迹和加速度如何 分析该问题涉及到运动的相对性.如何将已 知质点相对于观察者O的运动转换到相对于观察 o(oyo) 者O的运动中去,其实质就是进行坐标变换,将系 0中一动点(x,y)变换至系O中的点(x,y).由于 观察者O’相对于观察者O作匀速运动,因此,该坐 标变换是线性的 解取Oxy和Ox'y'分别为观察者O和观察 者O所在的坐标系,且使Ox和Ox'两轴平行在 题I-28图 t=0时,两坐标原点重合由坐标变换得 x=x-”="t-=0 y =y
第·-章质点运动学 加速度 d a =n d2-8 由此可见,动点柑对于系O是在y方向作匀变速直线运动.动点在两坐标 系中加速度桕同,这也正是伽利略变换的必然结果
第二章牛顿定律 2-1如图(a)所小,质量为m的物体用平行于斜面的细线联结置于光滑 的斜面上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小 为() A)gsin 8 ) gcos8 (C)glan 0 (D)cot 8 分析与解当物体离开斜面瞬间,斜面对物体的支持力消失为零,物体在绳 子拉力F1(其方向仍可认为平行于斜面)和重力作用下产生平行水平面向左的 加速度a,如图(b)所示,由其可解得合外力为 macon,故选(D).求解的关键是 正确分析物体刚离开斜面瞬间的物体受力情况和状态特征 题2-1图 2-2用水平力F把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止.当 F逐渐增大时,物体所受的静摩擦力F的大小() (A)不为零,但保持不变 (B)随FN成正比地增大 (C)开始随F增大,达到某一最大值后,就保持不变 (D)无法确定 分析与解与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值AFx范围内 取值当F增加时,静瘴擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被 作用物体的运动状态由题意知物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大 小相等,方向相反,并保持不变,故选(A) 2-3一段路面水平的公路,转弯处轨道半径为R,汽车轮胎与路面间的摩 擦因数为μ,要使汽车不至于发生侧向打滑,汽车在该处的行驶速率( (A)不得小于AE (B)必须等于√kE