第一章质点运动学 解(1)取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分 别为 飞机水平飞行速度D=100m·8,飞机离地面的高度y=100m,由上述两式可 得目标在飞机正下方前的距离 452 (2)视线和水平线的夹角为 6= arctan =12.5 (3)在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为 a= arctan -= arctan 取自然坐标,物品在抛出2s时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为 a=gsin a=gsin arctan a,=gcos a=gcos arctan 9.62 -19如图(a)所示,一小型迫击炮架设在一斜坡的底端O处,已知斜坡 倾角为a,炮身与斜坡的夹角为β,炮弹的出口速度为v,忽略空气阻力求:(1) 炮弹落地点P与点O的距离OP;(2)欲使炮弹能垂直击中坡面证明a和B必 须满足tanβ=2ana 并与v无关 分析这是一个斜上抛运动看似简单,但针对题目所问,如不能灵活运用 叠加原理建立一个恰当的坐标系,将运动分解的话,求解起来并不容易现建立 如图(a)所示坐标系,则炮弹在x和y两个方向的分运动均为匀减速直线运动 其初速度分别为t0osB和 rosin B,其加速度分别为 gsin a和gosa.在此坐标 系中炮弹落地时,应有y=0,则x=OP.如欲使炮弹垂直击中坡面,则应满足 U,=0,直接列出有关运动方程和速度方程,即可求解由于本题中加速度g为恒 矢量故第一问也可由运动方程的矢量式计算即r=!+28,做出炮弹落地 时的矢量图[如图(b)所示],由图中所示几何关系也可求得0(即图中的r矢 量) (1)解1由分析知炮弹在图(a)所示坐标系中两个分运动方程为 x=vcos B-a" sin a (1)
第一篇力学 y=voisin B-a"gt cos a (2) 令y=0求得时间t后再代入式(1)得 2vo sin B OP=x cos acos B-sin asin B) gcos a Da sin gcos a cos(α+B) 解2做出炮弹的运动矢量图,如图(b)所示,并利用正弦定理,有 从中消去L后也可得到同样结果 (2)由分析知如炮弹垂直击中坡面应满足y=0和v,=0,则 β- gisin a=0 由(2)(3)两式消去t后得 B 由此可知.只要角a和β满足上式,炮弹就能垂直击中坡面,而与v的 大小无关 讨论如将炮弹的运动按水平和竖直两个方向分解,求解本题将会比较困 难,有兴趣读者不妨自己体验一下 P 题1-19图 1-20一直立的雨伞,张开后其边缘圆周的半径为R,离地面的高度为h, (1)当伞绕伞柄以匀角速o旋转时,求证水滴沿边缘飞出后落在地面上半径为 r=R√1+2h3/g的圆周上;(2)读者能否由此定性构想一种草坪上或农田灌 溉用的旋转式洒水器的方案?
第一章质点运动学 分析选定伞边缘O处的雨滴为研究对象,当伞以角速度c旋转时,雨 滴将以速度沿切线方向飞出,并作平抛运动建立如图(a)所示坐标系,列 出雨滴的运动方程并考虑图中所示几何关系,即可求证.由此可以想像如果 让水从一个旋转的有很多小孔的喷头中飞出,从不同小孔中飞出的水滴将 会落在半径不同的圆周上,为保证均匀喷洒对喷头上小孔的分布还要给予 精心的考虑 解(1)如图(a)所示坐标系中,雨滴落地的运动方程为 x sul= Rot (1) t'=h 由式(1)(2)可得 rOH g 由图(a)所示几何关系得雨滴落地处圆周的半径为 √x2+R2=R 2h (2)常用草坪喷水器采用如图(b)所示的球面喷头(60=45°)其上有大量 小孔.喷头旋转时,水滴以初速度v从各个小孔中喷出,并作斜上抛运动,通常喷 头表面基本上与草坪处在同一水平面上则以φ角喷射的水柱射程为 n2 R= sin 4p 为使喷头周围的草坪能被均匀喷洒,喷头上的小孔数不但很多,而且还不能 均匀分布,这是喷头设计中的一个关键问题 19 题1-20图 1-2l一足球运动员在正对球门前25.0m处以20.0m·s-的初速率罚 任意球,已知球门高为344m.若要在垂直于球门的竖直平面内将足球直接踢
第一篇力学 进球门,问他应在与地面成什么角度的范围内踢出足球?(足球可视为质点) 分析被踢出后的足球,在空中作斜抛运动,其轨迹方程可由质点在竖直平 面内的运动方程得到由于水平距离x已知,球门高度又限定了在y方向的范 围,故只需将x、y值代入即可求出 解取图示坐标系Oxy,由运动方程 x= ucos 8, y=tsin 8-ogl 消去t得轨迹方程 =xian 0-8,(1+tan2'0)x2 以x=25.0m,=20.0m·8及3.44m≥y≥0代入后,可解得 71.11°≥61≥69.92° 27.92°≥62≥18. 如何理解上述角度的范围?在初速一定的条件下,球击中球门底线或球门上缘 都将对应有两个不同的投射倾角(如图所示).如果以θ>71.11°或6<1889踢 出足球,都将因射程不足而不能直接射入球门;由于球门高度的限制,角也并 非能取71.11°与18.89°之间的任何值当倾角取值为27.92°<6<69,92°时,踢 出的足球将越过门缘而离去,这时球也不能射入球门因此可取的角度范圃只能 是解中的结果 3.44m 题-21图 1-22-质点沿半径为R的圆周按规律s=2-1b运动,、b都是常
第一章质点运动学 23 量.(1)求t时刻质点的总加速度;(2)t为何值时总加速度在数值上等于b? (3)当加速度达到b时,质点已沿國周运行了多少圈? 分析在自然坐标中,s表示圆周上从某一点开始的曲线坐标由给定的运 动方程s=s(t),对时间t求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v和加速度 的切向分量a,而加速度的法向分量为an=2/R.这样,总加速度为a=a,e1+ aen至于质点在t时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量As=s4-so,因圆 周长为2TR,质点所转过的圈数自然可求得 解(1)质点作圆周运动的速率为 bt 其加速度的切向分量和法向分量分别为 Do dr R R 故加速度的大小为 R 6+(v.-br) 其方向与切线之间的夹角为 (o-br) = arctan--= arctan一 R6 (2)要使la=b,由 √Rb3+(-b)=b可得 (3)从【=0开始到t=n时,质点经过的路程为 26 因此质点运行的圈数为 1-23一半径为0.50m的飞轮在启动时的短时间内,其角速度与时间的 平方成正比.在t=2.0s时测得轮缘一点的速度值为40m·s.求:(1)该轮 在t'=0.5s的角速度,轮缘一点的切向加速度和总加速度;(2)该点在20s内 所转过的角度 分析首先应该确定角速度的函数关系a=k2.依据角量与线量的关系由 特定时刻的速度值可得相应的角速度,从而求出式中的比例系数k,a=a(t)确