第一篇力学 a d 2=- r/ sin " +i T/cos TU=(-0. O3ms-)i 1-12地面上垂直竖立一高20.0m的旗杆,已知正午时分太阳在旗杆的正上 方,求在下午2:00时,杆顶在地面上的影子的速度的大小在何时刻杆影将伸展至 20.0m? 分析为求杆顶在地面上影子速度的大小,必须建立影长与时间的函数关系 即影子端点的位矢方程根据几何关系影长可通过太阳光线对地转动的角速度求 得由于运动的相对性,太阳光线对地转动的角速度也就是地球自转的角速度这样 影子端点的位矢方程和速度均可求得 解设太阳光线对地转动的角速度为o,从正午时分开始计时,则杆的影长为 s= htg at,下午2:00时,杆顶在地面上影子的速度大小为 d s he de =1.94×10-3m 当杆长等于影长时,即s=h,则 t=arctan TC h4G=3×60×60s 即为下午3:00时 1-13质点沿直线运动加速度a=4-t2,式中a的单位为m·s2,t的单 位为s.如果当t=3s时,x=9m,=2m·s-1,求质点的运动方程. 分析本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须 在给定条件下用积分方法解决由a=和=可得d=adt和dr=ndt:如a =a()或=v(t),则可两边直接积分如果a或v不是时间t的显函数,则应经 过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分 解由分析知,应有 d 4 3 由 得 x 12 将;=38时,x=9m,U=2m·s代入(1)(2)得t=-1m·s',x0= 0.75m.于是可得质点运动方程为
第一章质点运动学 15 x=2t2-t-t+0.75 -14一石子从空中由静止下落,由于空气阻力,石子并非作自由落 体运动,现测得其加速度a=A-Bv,式中A、B为正恒量,求石子下落的速 度和运动方程 分析本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度 t的函数因此需将式d=a()d分离变量为、=dt后再两边积分 解选取石子下落方向为y轴正向,下落起点为坐标原点 (1)由题意知 a dr a-bu 用分离变量法把式(1)改写为 dv dt A-Br (2 将式(2)两边积分并考虑初始条件,有 A-B 得石子速度 由此可知当,冖→∞时,t→为一常量通常称为极限速度或收尾速度, (2)再由n=中=(1-e-)并考虑初始条件有 (I-e-)dt 得石子运动方程 y=B 1-15-质点具有恒定加速度a=6i+4,式中a的单位为m·s2.在t=0 时,其速度为零,位置矢量r=10m求:(1)在 任意时刻的速度和位置矢量;(2)质点在Oxy平 y/m 面上的轨迹方程,并画出轨迹的示意图 分析与上两题不同处在于质点作平面曲 线运动,根据叠加原理,求解时需根据加速度的 两个分量a和a,分别积分,从面得到运动方程r O 的两个分量式x(1)和y(t).由于本题中质点加速 题I-15图
16 第一篇力学 度为恒矢量,故两次积分后所得运动方程为固定形式,即x=x+14+,a,和 y=y+ont+na,t,两个分运动均为匀变速直线运动读者不妨自己验证一下 解由加速度定义式,根据初始条件1=0时=0,积分可得 t二 (62+41)dt U=6t+4 dr 又由U=。,及初始条件=0时,=(10m)积分可得 r=(10+32)i+22j 由上述结果可得质点运动方程的分量式,即 X=10+3t y=22 消去参数t,可得运动的轨迹方程 3y=2x-20 这是-个直线方程直线斜率1小≠ana=2,a=304轨迹如图所示 1-16-质点在半径为R的圆周上以恒定的速率运动,质点由位置A运 动到位置B,OA和OB所对的圆心角为△(1)试证位置A和B之间的平均加 速度为a=√2(1-cs△)v/(R△B);(2)当△O分别等于90°、30°、10°和1° 时,平均加速度各为多少?并对结果加以讨论 分析瞬时加速度和平均加速度的物理含义不同,它们分别表示为a d dt 和a=A在匀速率圆周运动中,它们的大小分别为a,=n,a=14则,式中 △|可由图(b)中的几何关系得到,而△t可由转过的角度A0求出 由计算结果能清楚地看到两者之间的关系,即瞬时加速度是平均加速度在 △→0时的极限值. 解(1)由图(b)可看到△初=n2-v1,故 v1U2cos△O
第一章质点运动学 17 √2(1-cs△6) AsR△e 所以 4t=、1-cos△) (2)将△=90°,30°,10°,1°分别代人上式 a,≈0.9003 0.9886 R a3=0.997,a≈1.00 以上结果表明,当Δ0→0时,匀速率圆周运动 的平均加速度趋近于一极限值,该值即为法向加 速度 R 1-17质点在Oxy平面内运动,其运动方程 (b) 为r=2.0i+(190-2.02),式中r的单位为m,t 的单位为s求:(1)质点的轨迹方程;(2)在t1 题1-16图 1.0s到t2=2.06时间内的平均速度;(3)t1=1.0时的速度及切向和法向加速 度;(4)t=1.0s时质点所在处轨道的曲率半径p 分析根据运动方程可直接写出其分量式x=x(1)和y=y(t),从中消去参 数t,即得质点的轨迹方程.平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率,即 U=△/△t,它与时间间隔M的大小有关,当△→0时,平均速度的极限即瞬时速 度四=“切向和法向加速度是指在自然坐标下的分矢量a,和an,前者只反映 质点在切线方向速度大小的变化率即a4=,e,后者只反映质点速度方向的变 化,它可由总加速度a和a,得到在求得t1时刻质点的速度和法向加速度的大 小后,可由公式an=求p 解(1)由参数方程 19.0-2 消去t得质点的轨迹方程 y=190-0.50x2
18 第一篇力 (2)在h1=1.00到2=2.0s时间内的平均速度 Ar 2-I 2.0i-6.0j ΔtE2-t (3)质点在任意时刻的速度和加速度分别为 )=,+t,j j=2.0i-4.0旷 d t) 4.0 dt. di 则t1=1.00s时的速度 v(t)l1=,=2.0i-4.0 切向和法向加速度分别为 du 3.58 a,en= (4)t=1.0s质点的速度大小为 +υ2=4.47m 则 11.17 1-18飞机以100m·s的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100m 时,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处,问:(1)此时目标在飞机正下 方位置的前面多远?(2)投放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度 (3)物品投出20s后,它的法向加速度和切向加速度各为多少? 分析物品空投后作平抛运动忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理 知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动到达 地面目标时,两方向上运动时间是相同的因此,分别列出其运动方程,运用时间 相等的条件,即可求解 此外,平抛物体在运动过程中只存在 竖直向下的重力加速度.为求特定时刻t 时物体的切向加速度和法向加速度,只需 求出该时刻它们与重力加速度之间的夹 角a或β.由图可知,在特定时刻t,物体的 切向加速度和水平线之间的夹角a,可由 此时刻的两速度分量,、v,求出,这样,也 就可将重力加速度g的切向和法向分量 求得 题1-18图