第一章质点运动学 n↓am5 (b) 题1-7图 x=x+lt+一t 由此可计算在0~28和4-6s时间间隔内各时刻的位置分别为
第一篇力学 l/ 00.5 2 4.5 5.5 6 7.5 10-7.50 58.8 用描数据点的作图方法,由表中数据可作0~2s和4~6s时间内的x-t图在2 4s时间内,质点是作t=20m·s的匀速直线运动,其x-t图是斜率 k=20的一段直线[图(c)] 1-8已知质点的运动方程为r=2i+(2-t2),式中r的单位为m,t的单位为 求 (1)质点的运动轨迹; (2)!=0及t=2s时,质点的位矢 (3)由=0到t=2s内质点的位移Mr和径向增量△r; (4)2s内质点所走过的路程s 分析质点的轨迹方程为y=f(x),可由运动方程的两个分量式x(t)和y(t)中 消去t即可得到对于r、Δr、△r、Δs来说,物理含义不同,可根据其定义计算其中对s 的求解用到积分方法先在轨迹上任取一段微元d,则d=√(dx)2+(dy)2,最后用 s=|d积分求s 解(1)由x(1)和y(t)中消去t后得质点轨迹方程为 这是一个抛物线方程轨迹如图(a)所示 2)将t=0s和t=2分别代入运动方程,可得相应位矢分别为 r。=2),r2=4i-2 图(a)中的P、Q两点,即为t=0s和t=2s时质点所在位置 (3)由位移表达式,得 r2-r1=(x2-x)+(y2-y0)=4i-4 其中位移大小△r=√(△x)2+(△y)2=5.66m 而径向增量&r=△r=2-r=√x2+y-√x+y=247m (4)如图(B)所示,所求As即为图中PQ段长度,先在其问任意处取AB微元d 则d=√(dx)2+(山)2,由轨道方程可得dy=-1xd,代ds,则2s内路程为 4+x2dx=5,91
第一章质点运动学 O 题1-8图 1-9质点的运动方程为 x=-10g+302 5t-20t2 式中x,y的单位为m,t的单位为s 试求:(1)初速度的大小和方向;(2)加速度的大小和方向 分析由运动方程的分量式可分别求出速度加速度的分量,再由运动合成算 出速度和加速度的大小和方向 解(1)速度的分量式为 dt dy=15 de 40t 当=0时,t=-10m·6,=15m·s,则初速度大小为 =√+=180m·s1 设v与x轴的夹角为a,则 tana=一z (2)加速度的分量式为 du 60 则加速度的大小为 =√a+a,=72.1m: 设a与x轴的夹角为B,则
第—篇力 an B=-= B (或326°19) 1-10一升降机以加速度122m·s2上升,当上升速度为244m·s时,有 螺丝自升降机的天花板上松脱,天花板与升降机的底面相距274m计算:(1)螺 丝从天花板落到底面所需要的时间;(2)螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离 分析在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参 考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运 动列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y,=y(t)和y2= y2(t),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解;另一种方法是取升降机 (或螺丝)为参考系,这时,螺丝(或升降机)相对它作匀加速运动,但是,此加速度应 该是相对加速度.升降机厢的高度就是螺丝(或升降机)运动的路程 解1(1)以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分 别为 y =pat+aa y2=h+t4、 当螺丝落至底面时,有y1=y2,即 h+vnl-agl g (2)螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为 d=h-y2=-%l12 =0.716 解2(1)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的 y2 h 加速度大小a’=g+a,螺丝落至底面时,有 h-a(g +a) 0.705 g+ 题1-10图 (2)由于升降机在t时间内上升的高度为 h’=t 则 d=h-h'=0.716m
第一章质点运动学 1-1l…质点P沿半径R=30m的圆周作匀速率运动运动一周所需时间为 20.0s设t=0时,质点位于O点按(a)图中所示Oxy坐标系,求(1)质点P在任意 时刻的位矢;(2)5s时的速度和加速度 分析该题属于运动学的第一类问题,即已知运动方程r=r(t)求质点运动的 切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度),在确定运动方程时,若取以 点(0,3)为原点的Oxy坐标系,并采用参数方程x=x'()和y=y'(t)来表示圆周运 动是比较方便的然后,运用坐标变换x=x+x和y=y0+y,将所得参数方程转换至 Oxy坐标系中,即得Oxy坐标系中质点P在任意时刻的位矢采用对运动方程求导的 方法可得速度和加速度 y/m 题1-11图 解(1)如图(b)所示,在Oxy坐标系中,因=21,则质点P的参数方程为 x'=rsi T 坐标变换后,在Oxy坐标系中有 x=x'=Rsin T"=y'+yu=-RC0GE t +R 则质点P的位矢方程为 r=Rsin i+(-Rcos 3/+h)j 3in(0.1mt)i+3[ (0.lwt)1 (2)58时的速度和加速度分别为 d R + R-sin纩=(0.3