第一章矢量分析主劵要内容梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理格林定理5. 1.标量场的方向导数与梯度6. 矢量场的惟一性定理2.矢量场的通量与散度7.玄姆霍兹定理3.矢量场的环量与旋度8.正交曲面坐标系4.无散场和无旋场
第一章 矢量分析 主 要 内 容 梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 1. 标量场的方向导数与梯度 2. 矢量场的通量与散度 3. 矢量场的环量与旋度 4. 无散场和无旋场 5. 格林定理 6. 矢量场的惟一性定理 7. 亥姆霍兹定理 8. 正交曲面坐标系
补充知识矢量代数1．标量和矢量标量一个只用大小描述的物理量矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示矢量的代数表示:A=é,A=é|AA矢量的大小模：A=|矢量的单位矢量：A矢量的几何表示常失量：大小和方向均不变的矢量。2
2 1. 标量和矢量 矢量的大小模： A A = 矢量的单位矢量： 标量：一个只用大小描述的物理量。 A A e A = 矢量的代数表示： A e A e A = = A A 补充知识 矢量代数 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示 A 矢量的几何表示 常矢量：大小和方向均不变的矢量
2.失量用坐标分量表示A=Ae. +Aé, +AeA, = AcosαA,= AcosβA, = AcosyVA= A(e, cosα+e, cos β+é. cosy)ea =é, cosα+e, cosβ+e, cosyY
3 A A e A e A e = + + x x y y z z A A A A A A x y z = = = cos cos cos ( cos cos cos ) A A e e e = + + x y z cos cos cos A x y z e e e e = + + 2.矢量用坐标分量表示 z Ax A Ay Az x y
3.矢量的运算1)矢量的加法和减法A±B=é(A,±B,)+é,(A,±B,)+é(A, ±B.)BKA(2)矢量的乘法运算量A与B的夹角kA=ékA +é,kA, +é.kA矢量的点积A.B= ABcos0= A,B, +A,B, +A,BA.B=B.A矢量的标积符合交换律A//B>A.B=ABAIB>A.B=0ex é, =é, é. =e. e =0éx.éx =é,é, =é.é. =l
4 （2）标量乘矢量 (2)矢量的乘法运算 x x y y z z kA e kA e kA e kA = + + A B B A = ——矢量的标积符合交换律 1 x x y y z z e e e e e e = = = 0 x y y z z x e e e e e e = = = A B q 矢量 A 与 的夹角 B A B ⊥ A B = 0 A B / / A B AB = 3.矢量的运算 ( ) ( ) ( ) A B e A B e A B e A B = + + x x x y y y z z z (1)矢量的加法和减法： cos A B AB A B A B A B q x x y y z z = = + + 矢量的点积
矢量的矢积（叉积）AxB=é,ABsin0用坐标分量表示为AxB=é(A,B, -AB,)+é,(A.B,-A,B.)+é(A,B, -A,B,)写成行列式形式为te"feéAxBAxB=A, A,AB.B、B,BABsine0A×B=-B×AA矢量A与B 的叉积
5 矢量的矢积（叉积） sin A B e AB = n q ( ) ( ) ( ) A B e A B A B e A B A B e A B A B = − + − + − x y z z y y z x x z z x y y x x y z x y z x y z e e e A B A A A B B B = A B B A = − q AB sin q A B B A 矢量 A 与 的叉积 B 用坐标分量表示为 写成行列式形式为