586阻尼振动 、阻尼振动 振幅随时间而减小的振动称为阻尼振动 阻尼(damp):消耗振动系统能量的原因, 阻尼种类:厂摩擦阻尼 辐射阻尼 1阻尼振动的振动方程和表达式 1)阻力 对在流体(液体、气体)中运动的物体,当物体速度较小时,阻力∝速度。 阻尼力 dx 7=y dt 式中y:阻力系数 2)振动方程 讨论在阻力作用下的弹簧振子 受力:弹性恢复力-kx和阻力-y 则有振动方程 引入阻尼系数B=y2m和固有频率Oo 得阻尼振动( damped vibration)的微分方程 d2x +OX 当阻尼系数较小系统作阻尼振动,这时微分方 程的解为 x= Ae p cos(ot +p) A Bt e ' cos ot 2+2 尽三 ·此方程的解应分三种情形讨论 B2<m2称作欠阻尼 underdamping B2>2称作过阻尼( overdamping) 阻尼振动曲线
1 §8.6 阻尼振动 一、阻尼振动 振幅随时间而减小的振动称为阻尼振动 阻尼(damp)：消耗振动系统能量的原因。 阻尼种类： 摩擦阻尼 辐射阻尼 1 阻尼振动的振动方程和表达式 1）阻力 对在流体(液体、气体)中运动的物体，当物体速度较小时，阻力 速度。 阻尼力 式中 ：阻力系数 2）振动方程 讨论在阻力作用下的弹簧振子 受力：弹性恢复力 –kx 和阻力 则有振动方程 引入阻尼系数 = /2m 和固有频率 得阻尼振动(damped vibration)的微分方程 当阻尼系数较小,系统作阻尼振动，这时微分方 程的解为 ·此方程的解应分三种情形讨论： 2 < 2 称作欠阻尼(underdamping) 2 > 2 称作过阻尼(overdamping) 阻尼振动曲线 r d d F = − = x v t 2 2 d d d d x x kx m t t − − = 0 k m = 2 2 2 0 d d 2 0 d d x x x t t + + = cos( ) t x Ae t − = + 2 2 2 = + 0 A A t O x ( 0) = T t Ae− cos t Ae t − − v
B2=m2称作临界阻尼( critical damping) 欠阻尼 过阻尼 临界阻尼 三种阻尼比较 二、受迫振动( forced vibration 系统在周期性外力的作用下所进行的振动,称为受迫振动。 1系统受力:以弹簧振子为例, 弹性力kx 阻尼力 周期性驱动力∫= Fo coso t 2振动方程:由牛顿定律有 y,+F coSO t=m 2B=y/m f=f/m 得微分方程 d-x dx 2B+O x=f coso. 3解 x= Ae""cos(ot+)+Acos(o t+dp) 在驱动力开始作用时,受迫振动的情况是较为复杂的,但经过不太长时间后,受 迫振动达到稳定振动状态。受迫振动达到稳定振动状态,其运动方程称为其稳态 解 x=Acos(@, t+dP) 4特点:稳态时的受迫振动是简谐振动,但它不是无阻尼自由谐振动 (1)角频率:等于驱动力的角频率a (2)振幅:·系统作等幅振动(虽有阻力消耗能量,但同时有驱动力作功对系统输入 能量,系统仍可维持等幅振动)
2 2 = 2 称作临界阻尼(critical damping ) 二、受迫振动(forced vibration) 系统在周期性外力的作用下所进行的振动，称为受迫振动。 1.系统受力：以弹簧振子为例， 弹性力 -kx 阻尼力 周期性驱动力 f = F0 cos t 2.振动方程：由牛顿定律有 令 得微分方程 3 解： 在驱动力开始作用时，受迫振动的情况是较为复杂的，但经过不太长时间后，受 迫振动达到稳定振动状态。受迫振动达到稳定振动状态,其运动方程称为其稳态 解 4 特点：稳态时的受迫振动是简谐振动，但它不是无阻尼自由谐振动。 (1)角频率：等于驱动力的角频率 p (2)振幅：·系统作等幅振动(虽有阻力消耗能量，但同时有驱动力作功对系统输入 能量，系统仍可维持等幅振动)。 2 2 p d d cos d d t x F ω t m t x − kx− + = 0 k m = 2 = m f F m = 2 2 2 0 p d d 2 cos d d x x x f ω t t t + + = x t o 欠阻尼 过阻尼 临界阻尼 三种阻尼比较 − v 0 cos( ) cos( ) t p p x A e t A t − = + + + x A t = + cos( p p )
其振幅由系统参数(ω)、阻尼(、驱动力(F,ωp)共同决定。 (a2-ao2)+4B2am2 A的大小敏感于O和a的相对大小关系,而和初始条件(x0、t0)无关。 (3)初相:亦决定于、B、和,与初始条件无关。 φ值在-π~0之间。可见,位移x落后于驱动力∫的变化(∫的初相为零)。 练习:请将无阻尼自由谐振动和稳态受迫振动作一对比。 三、共振( resonance) 位移共振:当驱动力的角频率ω等于某个适当数值(称共振角频率)时,振幅 出现极大值、振动很剧烈的现象 速度共振:当驱动力的角频率正好等于系统的固有角频率时,速度幅oA达极 大值的现象。 1共振方程 共振频率 d'x+2B3+afx=f cosOpt 小阻尼 共振振幅 4 阻尼 大阻尼 共振角频率 日=0 1>> B1
3 其振幅由系统参数(0)、阻尼()、驱动力(F, p)共同决定。 A 的大小敏感于和0 的相对大小关系，而和初始条件(x0、0)无关。 (3)初相：亦决定于0、、和，与初始条件无关。 值在- 0 之间。可见，位移 x 落后于驱动力 f 的变化( f 的初相为零)。 练习：请将无阻尼自由谐振动和稳态受迫振动作一对比。 三、共振（resonance） 位移共振：当驱动力的角频率 等于某个适当数值(称共振角频率)时，振幅 出现极大值、振动很剧烈的现象。 速度共振：当驱动力的角频率正好等于系统的固有角频率时，速度幅A 达极 大值的现象。 1 共振方程 共振振幅 共振角频率 2 2 2 2 0 p p ( ) 4 f m A = − + p 2 2 0 p 2 tan − = − 2 2 2 0 p d d 2 cos d d x x x f t t t + + = 2 2 r 0 = − 2 r 2 2 0 2 f A = − A A o 共振频率 0 大阻尼 小阻尼 阻尼 →0 x =A cos (t +)