6.3 Legendre多项式的微分表示 第10页 从这个表达式很容易求出 Legendre多项式P(x)在x=0点的数值 P2(0)=(-)2)n,P2+(0)=0. Legendre多项式的微分表示,还可以得到许多有意义的结果,例如,把 Legendre 多项式的微分表示和Roll引理结合起来,就能证明l次 Legendre多项式的l个零 点一定都是实数,并且位于区间(-1,1)内
16.3 Legendre õª©L« 1 10 lùLªéN´¦ÑLegendreõªPl(x)3x = 0:êµ P2l(0) = (−) l (2l)! 2 2l l! l! , P2l+1(0) = 0. lLegendre õª©L«, ±Nõk¿Â(J, ~X, rLegendre õª©L«ÚRolle Ún(Üå5, ÒUy²l gLegendre õªl " :½Ñ´¢ê, ¿ u«m(−1, 1) S©
6.4 Legendre多项式的正交完备性 第11页 16.4 Legendre多项式的正交完备性 Legendre多项式是作为本征值问题的本征函数出现的,因此,从本征值问题 出发,可以证明 Legendre多项式的正交性,即不同次数的 Legendre多项式在区 (x)Pk(x)dx=0,k≠L. 可以从方程出发来证明 现在用另一种方法证明这个结果 先计算积分 其中k和都是非负整数 ★对于这个积分,从被积函数的奇偶性可以判断 P(x)dx=0,当k±l=奇数 ★当k士l为偶数时,可将P2(x)用它的微分表示代入,于是有 " PI(a) l 24!d 由于(x2-1)中一定含有图子(x2-1),所以在代入上下限=士1后,分 部积分出来的项一定为0,于是就有 PI(r)dr drk dl dr drdr 这样,分部积分一次,其效果就表现在三方面 (1)改变一次正负号 (2)对函数(x2-1)的微商减少一次 (3)对函数x个的微商增加一次 这样,分部积分次后,微商运算就全部转移到函数xk上,结果就变为 r"Pi(a)dx= ida 这时有两种可能,一是k<l,函数x微商次一定为0,于是 1(x)dx=0,当k<L
16.4 Legendre õª5 1 11 16.4 Legendre õª5 Legendreõª´ ¯K ¼êÑy§Ïd§l ¯K Ñu§±y²Legendreõª5§=ØÓgêLegendreõª3« m[−1, 1]þ§ Z 1 −1 Pl(x)Pk(x)dx = 0, k 6= l. ±l§Ñu5y²© y3^,«{y²ù(J© kOÈ© Z 1 −1 x kPl(x)dx, Ù¥kÚlÑ´Kê© F éuùÈ©§lȼêÛó5±ä Z 1 −1 x kPl(x)dx = 0, k ± l =Ûê. F k ± lóê§òPl(x)^§©L«\§u´k Z 1 −1 x kPl(x)dx = 1 2 l l! Z 1 −1 x k d l dxl ³ x 2 − 1 ´l dx = 1 2 l l! · x k d l−1 dxl−1 ³ x 2 − 1 ´l ¯ ¯ ¯ 1 −1 − Z 1 −1 dx k dx d l−1 dxl−1 ³ x 2 − 1 ´l dx ¸ . du d l−1 dxl−1 ¡ x 2 − 1 ¢l¥½¹kÏf¡ x 2 − 1 ¢ §¤±3\þex = ±1§© ÜÈ©Ñ5½0§u´Òk Z 1 −1 x kPl(x)dx = 1 2 l l! Z 1 −1 (−) 1 dx k dx d l−1 dxl−1 ³ x 2 − 1 ´l dx. ù§©ÜÈ©g§ÙJÒLy3n¡µ (1) UCgKÒ¶ (2) é¼ê ¡ x 2 − 1 ¢lû~g¶ (3) é¼êx kûO\g© ù§©ÜÈ©lg§û$Ò Ü=£¼êx kþ§(JÒC Z 1 −1 x kPl(x)dx = 1 2 l l! Z 1 −1 (−) l d lx k dxl ³ x 2 − 1 ´l dx. ùkü«U§´k < l§¼êx kûlg½0§u´ Z 1 −1 x kPl(x)dx = 0, k < l.