7.3.3线性分组码的生成矩阵 2)线性分组码的生成矩阵 线性系统分组码 。线性系统分组码的构成:通过行初等变换,将G化为前k列是单位 子阵的标准形式。 0 gu 912 n-k kxr 34 qkI 9k2 lk(n-k 将上式代入C1n=(cn1,.cn=2,…;Co)=(mk-1,mk2…,m)Gkxm得: Cn-(k+j)=mk-1q1j+ mk-2q2j+.+ moqkj J (7.35) ash mfy@ustc.edu.cn 信息论与编码技术-信道纠错编码 22/
mfy@ustc.edu.cn 信息论与编码技术-信道纠错编码 22/ 2) 线性分组码的生成矩阵 线性系统分组码 ◦ 线性系统分组码的构成：通过行初等变换，将G 化为前k 列是单位 子阵的标准形式。 (7.3.4) 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 2 ( ) 21 22 2( ) 11 12 1( ) k k r k k k n k n k n k k n q q q q q q q q q − − − = G = I Q (7.3.5) 1,2, , 1,2, , ( , , , ) ( , , , ) ( ) 1 1 2 2 0 1 1 2 0 1 2 0 = + + + = − = = = = − + − − − − − − − − c m q m q m q j n k c m i k c c c m m m , n k j k j k j k j n i k i n n n k k k n 将上式代入C G 得：
7.3.3线性分组码的生成矩阵 2)线性分组码的生成矩阵 线性系统分组码 线性系统分组码定义:用标准生成矩阵Gxn编成的码字,前面k位 为信息位,后面r=n-k位为校验位,这种信息位在前校验位在后的 线性分组码称为线性系统分组码。 信息位 校验位 图83.1系统码的码字结构 当生成矩阵G确定之后,n,k)线性码也就完全被确定了,只要找到 码的生成矩阵,编码问题也同样被解决了。 ash mfy@ustc.edu.cn 信息论与编码技术-信道纠错编码 23/
mfy@ustc.edu.cn 信息论与编码技术-信道纠错编码 23/ 2) 线性分组码的生成矩阵 线性系统分组码 ◦ 线性系统分组码定义：用标准生成矩阵Gk×n 编成的码字，前面k 位 为信息位，后面r=n－k 位为校验位，这种信息位在前校验位在后的 线性分组码称为线性系统分组码。 ◦ 当生成矩阵G 确定之后，(n,k) 线性码也就完全被确定了，只要找到 码的生成矩阵，编码问题也同样被解决了。 图8.3.1 系统码的码字结构 信息位 校验位
7.3.3线性分组码的生成矩阵 2)线性分组码的生成矩阵 举例:(7,4)线性码的生成矩阵为: 4x7 0010 若mx4=(1010),如 1×7=m1x4(4x7 (1010011) 000 0(0 ash mfy@ustc.edu.cn 信息论与编码技术-信道纠错编码 24/
mfy@ustc.edu.cn 信息论与编码技术-信道纠错编码 24/ 2) 线性分组码的生成矩阵 举例：(7,4) 线性码的生成矩阵为： ( 1010011) 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 C m G 1 0 1 0 m ( 1010 ) 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 G 1 7 1 4 4 7 1 4 4 7 = = = = = 若 ，则：
7.3.3线性分组码的生成矩阵 3)生成矩阵与一致监督矩阵的关系 由于生成矩阵G的每一行都是一个码字,所以G的每行 都满足:Hx(G1x)l=(01x),则有: Hx(Gx)=(0x)或Gkx(H×)=0kxr Q]H=[P冂] 线性系统码的监督矩阵H和生成矩阵G之间可以直接互换。 GHS= QPk I]= a (Pxk)+OKxr=o 所以,Q=(P 或(a)y=P 0(0 (7.3.6) H=I(Q mfy@ustc.edu.cn 信息论与编码技术-信道纠错编码 25/
mfy@ustc.edu.cn 信息论与编码技术-信道纠错编码 25/ 3) 生成矩阵与一致监督矩阵的关系 由于生成矩阵 G 的每一行都是一个码字，所以 G 的每行 都满足：Hr×n (C1×n ) T=(01×r ) T，则有： Hr×n (Gk×n ) T=(0k×r ) T 或 Gk×n (Hr×n ) T=0k×r 线性系统码的监督矩阵 H 和生成矩阵 G 之间可以直接互换。 k r k r T r k r T r k k k r T k k r r k r T S S = + = = = P Q 0 I P G H I Q P I I Q ( ) ( ) r k T k r T k r r k = = Q P Q P ( ) ( ) 或 所以， (7.3.6) ( ) = = r T S k r S k k r H Q I G I Q S k k r S r k r G I Q H P I = =
7.3.3线性分组码的生成矩阵 3)生成矩阵与一致监督矩阵的关系 举例: 已知(7,4)线性系统码的监督矩阵为 (7,4) 110100 可直接写出它的生成舞阵车: 00010 010011 00101 0 ash 00010 mfy@ustc.edu.cn 信息论与编码技术-信道纠错编码 26/
mfy@ustc.edu.cn 信息论与编码技术-信道纠错编码 26/ 3) 生成矩阵与一致监督矩阵的关系 举例： 已知 (7,4) 线性系统码的监督矩阵为： = = 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 (7,4) (7,4) G H 可直接写出它的生成矩阵 ： Q QT