7.3.3线性分组码的生成矩阵 1)线性码特性 (1)线性码的封闭性:线性码任意两个码字之和仍是一个 码字。 0定理731:设二元线性分组码G(c表示码字集合是由监督矩阵〃所定义的, 若U和v为其中的任意两个码字,则U+V也是G中的一个码字 瘴证明:由于U和V是码G中的两个码字,故有:MU=07 MV=07,那么MW=KUv)W0T 即UAv满足监督方程,所以UV一定是一个码字。 一个长为n的二元序列可以看作是GR2)(二元域)上的n维线性空间 中的一点。所有2个矢量集合构成了GF2)上的m维线性空间v。把 线性码放入线性空间中进行研究,将使许多问题简化而比较容易解决。 豪(n,A)线性码是n维线性空间V中的一个k维子空间v ash mfy@ustc.edu.cn 信息论与编码技术-信道纠错编码 17/
mfy@ustc.edu.cn 信息论与编码技术-信道纠错编码 17/ 1) 线性码特性 （1）线性码的封闭性：线性码任意两个码字之和仍是一个 码字。 ◦ 定理7.3.1：设二元线性分组码 CI (CI 表示码字集合) 是由监督矩阵H 所定义的， 若 U 和 V 为其中的任意两个码字，则U +V 也是 CI 中的一个码字. [证明]：由于 U 和 V 是码 CI 中的两个码字，故有：HU T=0T HV T=0T ，那么 H(U+V) T=H(U T+V T )=HU T+HV T=0T 即 U+V 满足监督方程，所以 U+V 一定是一个码字。 一个长为 n 的二元序列可以看作是GF(2) (二元域) 上的 n 维线性空间 中的一点。所有 2 n 个矢量集合构成了GF(2)上的 n 维线性空间 Vn。把 线性码放入线性空间中进行研究，将使许多问题简化而比较容易解决。 (n,k) 线性码是 n 维线性空间 Vn 中的一个 k 维子空间 Vk
1)线性码特性 〉(2)线性码由其生成矩阵或校验矩阵确定 (3)含有零码字(码字群的单位元) (4)所有码字可由其中一组k个独立码字线性组合而成 〉(5)码的最小距离等于非零码的最小重量 0(0 ash mfy@ustc.edu.cn 信息论与编码技术-信道纠错编码 18/
mfy@ustc.edu.cn 信息论与编码技术-信道纠错编码 18/ 1) 线性码特性 （2）线性码由其生成矩阵或校验矩阵确定 （3）含有零码字 （码字群的单位元） （4）所有码字可由其中一组k个独立码字线性组合而成 （5）码的最小距离等于非零码的最小重量
7.3.3线性分组码的生成矩阵 2)线性分组码的生成矩阵 生成矩阵的来由:在由(n,A)线性码构成的线性空间 的k维子空间中,一定存在k个线性独立的码字: 91,92,…,gko码G中其它任何码字￠都可以表为这k 个码字的一种线性组合,即: C=mk-1g1+mk-2g2 +.+ mogk (73.D m∈GF(2,i=0,…,k-1。写成矩阵形式得: Cn=mm2…,m153|=m0m832) cm=[mm-2…m}待编码的信息组 是一个×n阶矩阵。 mfy@ustc.edu.cn 信息论与编码技术-信道纠错编码 19/
mfy@ustc.edu.cn 信息论与编码技术-信道纠错编码 19/ 2) 线性分组码的生成矩阵 生成矩阵的来由：在由 (n,k) 线性码构成的线性空间 Vn 的 k 维子空间中，一定存在 k 个线性独立的码字： g1 ,g2 ,…, gk。码 CI 中其它任何码字 C 都可以表为这 k 个码字的一种线性组合，即： 。写成矩阵形式得： （ ） (2), 0,1, , 1 1 1 2 2 0 7.3.1 = − = − + − + + m GF i k m m m i k k k C g g g ──是一个 阶矩阵。 ──待编码的信息组 k n m m m k n k k = − − G m 1 2 0 , (8.3.2) 1 2 1 1 1 2 0 k k n k n mk− mk− m = = m G g g g C
7.3.3线性分组码的生成矩阵 2)线性分组码的生成矩阵 生成矩阵定义:由于矩阵G生成了(n,k)线性码, 称矩阵G为(门,线性码的生成矩阵。 g181812…81n g2821822 n n (73.3) gk」[8A18k2 gkn 0(0 ash mfy@ustc.edu.cn 信息论与编码技术-信道纠错编码 20/
mfy@ustc.edu.cn 信息论与编码技术-信道纠错编码 20/ 2) 线性分组码的生成矩阵 生成矩阵定义：由于矩阵 G 生成了 (n,k) 线性码， 称矩阵 G 为 (n,k) 线性码的生成矩阵。 (7.3.3) 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 = = k k k n n n k k n g g g g g g g g g g g g G
7.3.3线性分组码的生成矩阵 2)线性分组码的生成矩阵 〉生成矩阵G的特性 0G中每一行9=(gn2ga,gm)都是一个码字; 对每一个信息组m,由矩阵G都可以求得(n,k)线性码 对应的码字。 0(n,k)线性码的每一个码字都是生成矩阵G的行矢量的线 性组合,所以它的2k个码字构成了由G的行张成的n维 空间的一个k维子空间v。 0(0 ash mfy@ustc.edu.cn 信息论与编码技术-信道纠错编码 21/
mfy@ustc.edu.cn 信息论与编码技术-信道纠错编码 21/ 2) 线性分组码的生成矩阵 生成矩阵G 的特性 ◦ G 中每一行 gi=(gi1 ,gi2 ,…, gin ) 都是一个码字； ◦ 对每一个信息组m，由矩阵 G 都可以求得(n,k) 线性码 对应的码字。 ◦ (n,k) 线性码的每一个码字都是生成矩阵 G 的行矢量的线 性组合，所以它的2 k 个码字构成了由G 的行张成的 n 维 空间的一个k 维子空间Vk