从物理上看，这个方程必须满足下述条件： (1)由于波函数满足态叠加原理，而态叠加原理对任何时间 都成立，因此描写波函数随时间变化的方程必然是线性方程 (2)方程的系数必须仅含有诸如质量m,电荷e等内禀物理 量，不应含有和个别粒子运动状态的特定性质有关的量，比如动量 ·等。另外，方程的系数应含有普朗克常数，以表征这一方程确是 描述普朗克常数起决定作用的微观世界中粒子的运动方程。 (3)因为波函数中的变数是r,t,因此它必然是个关于r和t的 偏微分方程.我们要求这个微分方程不高于二阶，以便一旦初始条 件和边界条件给定后，方程能唯一地确定以后任何时刻的波函数。 因为根据数学物理方法中的史斗姆·刘维定理，二阶正规的偏微 分方程的解，存在唯一性定理成立。 (4)由于经典力学是量子力学的极限情况，因此这个方程必 须满足对应原理：当方→0时，它能过渡到牛顿方程。 (5)对于自由粒子这一特殊情况，方程的解应是平面波。 当然，只靠这些条件，不足以唯一地决定所需的描述(r,) 随时间变化的方程。上面的这些条件，只为建立方程提供了一些必 要的条件，可给建立方程以启迪。 根据条件(5)，将平面波(2.1.1)式分别对t和x,y,之求微商 后得 i号光=B (2.3.1) -272ψ=2中 (2.3.2) 式中，算符可=子+子+点在丰相对论条件下，对于自由 a2 粒子，能量只有动能，满足E=p2/2m。由(2.3.1、2)及动能表示式 得 (2.3.3) 26
(2.3.3)式表明，至少对于自由粒子说来，平面波的解可由方程 (2.3.3)的一个特解给出由(2.3.1)及(2.3.2)式又可看出，能量 和动量作用在波函数上的结果与用算符品及-i了作用在波 函数上的结果相同。即存在着对应关系 E→i市品p→-i黄V (2.3.4) l926年，薛定谔(E.Schrodinger)推广上述规则至一般情况， 建立了描述波函数演化规律的薛定谔方程。设单粒子体系的哈密 顿量为 H=+U,0 (2.3.5) 利用对应规则(2.3.4)式，将能量、动量均用算符表示，并作用在 波函数上得 i号=-然4+U0沙=秒 (2.3.6) 27n (2.3.6)式称为薛定污方程。对多粒子体系，其哈密顿量是 H=户 2%+Uw 薛定谔方程是 号影之沙+U…,冲23D 显然，薛定谔方程满足必要条件(1)、(2)、(3)、(5)。关于必要 条件(4)，以后我们将证明，当方→0时，准确到的零次幂，薛定谔 方程将过渡到经典分析力学中的哈密顿-雅可比方程。至于力学 量和算符的对应关系(2.3.4)式，在第三章中将进一步阐述。 由于我们所选用的哈密顿量H是非相对论的，因此薛定谔方 】程只适用于非相对论情况。 22
关于薛定谔方程，注意： (1)薛定谓方程是量子力学的基本假定之一，是整个波动力 学的基础，其地位与牛顿方程在经典力学中的地位相仿。必须指 出，在本节中我们并未建立薛定谔方程，即使对自由粒子的情况也 同样。因为严格说来，只知道微分方程的解是不足以建立微分方程 的。 (2)应该指出，利用算符的对应规则(2.3.4)式以构造薛定谔 方程容易引起一些混淆。这表现在： ()对应规则(2.3.4)式是个带微商运算的算符。通常，一般 的微商算符不具有坐标变换下的不变性，即微商算符不是协变的。 为说明这个问题，不妨以二维自由粒子在极坐标下的薛定谔方程 为例。在笛卡儿直角坐标系中，二维自由粒子的薛定谔方程是 i2-影+c)a8 321 作变数代换，换到球极坐标，令 ly rsing (2.3.9) 从直角坐标系(x,y)换成平面极坐标系(r,p),将(2.3.9)式代入 (2.3.8)式后得出在(r,9坐标系中的薛定谔方程是 ih092=- 2a2 ∂t +是+) (2.3.10) 但是，另一方面，如果我们对极坐标下的经典哈密顿量 H=动2+ 直接应用对应规则A→一i子，则由器=H砂得 at 28
装-{品+户业 (2.3.11) 这个结果与(2.3.10)式不同。方程(2.3.11)式是错误的。对应规 则p=一i方了只适用于笛卡儿直角坐标系。必须先在直角坐标系 中用算符对应关系(2.3.4)，然后再作坐标变换，以得出在其他坐 标系中的结果。因为p→一i7中的微商并非对于任何坐标系中 都不变的协变微商.比如动量在r方向的分量p,所对应的算符p, 就不等于一弓，为澄清这种混淆，可以有两种方案：一是在位形 空间中引入适当的度规，并以协变微商代替规则(2.3.4)式中的 普通微商，二是沿用“惯例”，约定对应规则(2.3.4)式只在笛卡儿 直角坐标系中适用。要过渡到其他坐标系，需先在直角坐标系中沿 用规则(2.3.4)，然后再作坐标变换以过渡到其他坐标系。考虑到 本书的部分读者可能对协变微商不太熟悉，本书将沿用后一惯例。 (i)对应规则(2.3.4)式将力学量E、p等用算符代替，从而将 普通的代数运算变为算符运算，这也容易带来一些混淆。比方动能 中的2m,在经兔大样中该爽当然也可明成六左左 或其他。但在使用对应规则(2.34)时，由于p,→-i其中有 对x的微商算子.因此在量子力学中，然一项在算符意义下不能 写成坛左水方因为是袋，将写成微分算子一i号 后，器与品左办方不相同，因此在使用对应规测 (2.3.4)式时，必须规定动能项只能写成p/2m的形式。一般地， 为消除这种混滑，在使用力学量的算符对应规则时，沿用第二个惯 例：将经典的哈密顿量写成三部分之和：一是和坐标无关的动量的 二次式；二是只依赖于坐标的函数：三是可能出现的其形式为 ∑p,,(,…,w)的关于动量p,的线性函数。对于前两部分，在保 29
持原来形式不动的前提下用(2.3.4)式。对于第三部分，我们规定 必须把它写成对称的形式，即写成 是2[pf,w)+fwp]2.3.12) 之后，再应用(2.3.4)式给出它相应的算符形式。 还应该指出，在对应规则(2.3.4)式中，算符E和p均含有。 进入运动方程，是体系量子化的最重要的特征之一。 (3)与牛顿方程不同，几率流守恒定律自动地包含在薛定谔 方程之中，在经典力学中，牛顿方程和连续性方程是两个独立的方 程.量子力学中，由于中的统计解释，w(r,t)=中·(r,t)(r,)代表 t时刻在？处的几率密度，由薛定谔方程出发，可导出几率流守恒 定律的确，由w(r,t)的表示式及(2.3.6)式得 0=路+器 (2.3.13) 浩-热+4 (2.3.14) 2器=-流中-p (2.3.15) 因此 兴=流74-7w）=流？7-7) (2.3.16) J=-) (2.3.17) 称为几率流密度，由(2.3.16)及(2.3.17)式得 3+71=0 (2.3.18) 30