要的物理概念。 (4)对于许多物理态，由于粒子总要在全空间中出现，是必然 事件。粒子在全空间中出现的几率为1。因此一般应要求，波函数 (,t)应该是平方可积函数，是可归一化的，即 101ar=1 (2.1.6) 但应该指出，并非所有波函数均可用(2.1.6)式的方式归一化。例 如平面波(2.1.1)式，就不是平方可积函数。对于这一类在无穷远 处中不趋于零的波函数，其归一化问题我们将另行讨论。 (5)容易将波函数统计解释推广到多粒子体系。设体系由N 个粒子组成。(r1,2,…,rw,)是描述这个体系状态的波函数，则 |(r1,r,,rw,t)|drdr2…drw表示在t时刻第一个粒子出现在 r1→r1十dr,第二个粒子出现在r2→r2+dr2,…,第N个粒子 出现在rw→rw十drw的几率，相应的归一化条件是 lp(,2,…,rw,t)2dr,dr2…drw=1 (2.1.7) (6)显然，描述粒子微观运动的波函数不仅可用坐标「、时间t 为自变量，也可以用其他变量，比如用动量p为自变量。以p,t为独 立变量的波函数C(p,t),它的物理意义是C(p,t)Idp表示在t时 刻，粒子的动量在p→p十dp的几率，相应的归一化条件是 IC(p,t)dp=1 (2.1.8) C(p,t)为动量几率分布函数。对于描述粒子的微观状态，C(p,t) 起着和中(，t)相同的作用。于是自然会问，C(p,t)和(r,)之间 的关系是什么？我们将在下一节中回答这个问题。 §2.2态叠加原理 量子力学对粒子运动状态的描述与经典力学完全不同，在经 21
典力学中，粒子的坐标和动量有完全确定的数值，并且一旦给定某 一时刻粒子的坐标和动量，则不但在该时刻粒子的状态完全确定， 而且原则上还可以通过求解牛顿方程确定以后任何时刻的坐标和 动量，从而确定以后任何时刻粒子的状态，但在量子力学里，粒子 的运动状态用波函数描述。在某一量子态中测量坐标和动量，一般 地，坐标和动量不同时具有确定值。以平面波为例，平面波的动量 p有完全确定的数值，但它的振幅与空间坐标无关，粒子在空间各 点出现的几率密度相等。换句话说，粒子的位置坐标是完全不确定 的。一般说来，在量子力学中，除非(r,)是平面波，否则在以 (「，1)描述的粒子的量子态中测量动量P,将无确定值。因此，在 任一量子态(r,)中测量动量，由于每一个确定的动量都对应一 个确定的单色平面波，故而实际上等于是将(r,)按对应于各种 动量的平面波展开，将(“，)视为由各种单色平面波叠加而成的 波。从数学上看，相当于对(r,t)作傅里叶展开 1 (2.2.1) 在傅里叶展式中，每个分波都是单色平面波，都有确定动量。在物 理上，傅里叶展开相当于作频谐分析。(2.2.1)式中的展开系数 C(p,t),表示用各种相应的平面波叠加出(r,t)时，各种平面波 的几率幅，或者说，在b(r,)中，出现动量为p,能量为E的单色平 面波的几率是C(p,t)。 在量子力学中，既可以用(，)描述粒子的量子态，也可以 用C(p,)描述粒子的量子态。因为按量子力学，(r,t)给出在t 时刻，在？处粒子出现的几率密度。由这个几率密度，原则上可以 算出在以(，)描述的态中的各种可观测量的平均值。同样， C(p,t)给出在1时刻，动量为p的几率密度。利用C(p,t),原则 上也可算出在同一量子态中的各种可观测量的平均值.所不同的 只是("，t)是量子态在以r为自变量，在坐标空间中的表示，而 C(P,)是量子态在以p为自变量，在动量空间中的表示。它们是 名
同一个量子态在两个不同表象中的不同表示。这两种表示是完全 等价的，关于表象理论，以及关于上述的坐标空间及动量空间的严 格意义，我们将在第四章中作深入的探讨。 利用复变函数论中的巴塞瓦等式，不难证明 C(p,t)'dp =l(r,t)2dr =1 (2.2.2) 亦即如果(，)是已经归一化的波函数，则C(p,t)也是归一化波 函数。 傅里叶展开是将波展开为无限多个单色平面波后带权重 C(P,t)的线性叠加。在量子力学中，在波函数统计解释的意义下， 我们将权重C(p,t)解释为在(r,t)中出现动量为p的平面波 e@-/(2x)的几率幅。这里应该特别强调，这种叠加是线 性的。而且这种叠加的“统计解释”直接与测量联系起来：在波函 数(r,t)中测量动量，测得动量的数值为p的几率是IC(P,t)2。 自然，几率波的叠加不一定非要由无穷多个波叠加而成。叠加 的波的数目可以是有限的，也可以不满足傅里叶积分展开或傅里 叶级数展开所必须满足的各种数学条件。在量子力学中，作为基本 假定，引入一个非常根本的关于描述量子态的几率波叠加的态叠 加原理： 如果中，中2，…，中，是体系可能的状态，则它们的线性叠加所得 出的波函数 =C%+c4+…+C=2c (2.2.3) 也是体系的一个可能状态：当体系处在中态时，出现4的几率是 1C,/匀C,出现4的几率是C,/空C,,…余类推。 在(2.2.3)式中，n可以是有限的，也可以是无限的。这个原理称为 态叠加原理。 现在对态叠加原理进行一些讨论： 23
(1)态叠加原理是一个和测量联系非常密切的原理。在原理 的叙述中，所谓“当体系处在少态时，出现4，的几率是C2…”这 句话的确切的意思是：设体系处在中，态时，测量某力学量A得出 的准确值为a1,当体系处在中态时，测量A得出的准确值为a2, …,则当体系处在由4，中2，…等态线性叠加而成的状态少时，测量 力学量A,所得到值既可能是a1,也可能是a2,…,出现a,值的几率 是1C1/∑C,,出现a,值的几率是1C,/∑1C,P,余类推.也 就是说，测量力学量A得出的是一些可能值a1,a2,….但这些可能 值的相对几率，或者说，各个可能的状态中：，中，…的相对权重，是 完全确定的。(2.2.3)式中的叠加系数，给出了它们之间的相对权 重。 (2)在(2.2.3)式中出现的叠加，是波函数，或者说，是几率幅 的叠加，而不是几率的叠加。因而它必然出现干涉、衍射等现象。仍 以双缝衍射为例.设通过第一个缝的波函数为中，第二个缝的波函 数为中2，同时开启两个缝后的波函数少是中和2的线性叠加 中=C141+C22 |中12=C14+C2212 =1C4I2+1C2422+CC2中2+C,C2"1 (2.2.4) 在(2.2.4)式中出现干涉项C1C4十C,C4。 (3)这里还要指出，在量子力学中，对于几率波而言，波的干 涉是描述粒子运动状态的几率波自身的干涉，而不是不同粒子之 间的干涉。为说明这个问题，讨论一个一束偏振光通过检偏片的例 子。设光的偏振方向与晶轴的夹角为a。根据光学中的马吕斯定 律，若入射光的强度为1，则通过检偏片后的光强I是 I=Iocos'a (2.2.5) 这表明，若光的偏振方向与晶轴平行，α=0时，光全部通过检偏 片；若相互垂直，a=π/2时，光被全部吸收。当两者之间的夹角为@ 24
时，原入射光强的cos2a通过检偏片，它的sina被吸收。 现在减弱入射光束的强度，如果我们能使装置中的光强减弱 到只让一个光子入射，则当a=0时，光子通过，并且光子的能量和 偏振方向在通过检偏片前后不变，当α=x/2时，光子被吸收。当 夹角为α时，在通过检偏片后，既有可能观测到光子，也有可能观 测不到光子。观测到光子的几率是cos2a,观测不到光子的几率是 sin2a,当然，观测到的光子总是一整个光子，而不是半个或者cos2a 个光子。 描述a=0时光子的波函数记为中；a=π/2时光子的波函数 为中1，则当夹角为α时，描述光子状态的波函数是 9。=cosa吵y+sina1 (2.2.6) 中.部分处在中〃态，部分处在中1态，处在少〃态的几率是cos2a,处在 中1态的几率是sin2a,(2.2.6)式正是态叠加原理。单个光子的波 函数满足态叠加原理(2.2.6)式，说明单个光子的波函数本身就 有相干的现象。相干现象并非多个光子的集合才具有的性质。这正 是几率波和通常的水波，声波等物质波之间的重要区别。 (4)由于一般说来，中依赖于时间，是t的函数，因此态叠加原 理不仅对某一个时刻成立，而且随着时间的变化，态叠加原理仍然 成立。这就暗含着中随时间演化的方程必然是线性方程，因为只有 这样，态叠加原理才能在任何时刻都成立。 §2.3薛定谔方程 在经典力学中，体系运动状态随时间的变化遵循牛顿方程。牛 顿方程是关于变量：的二阶全徽分方程，方程的系数只含有粒子 的内禀物理量一质量m。一旦初始条件给定，方程将唯一地决 定以后任何时刻的运动状态。 在量子力学中，体系的运动状态由波函数(r,t)描述.和经 典力学类似，也可以建立一个决定(r,)随t变化规律的方程式。 25