(2.3.18)式就是几率流守恒定律。在量子力学中，几率流守恒是 波函数统计解释和薛定谔方程的推论。 (4)薛定谔方程为波函数的归一化条件提供了必要的理论基 础。由于中不仅依赖于r,而且依赖于t,因此在归一化条件(2.1.6) 式中，将|少(r,)对r全空间作定积分后，一般应该是t的函数， 并非常数。但显然如果不是常数，就不可能在任何时刻，都能有同 一个归一化条件。现在证明，利用几率流守恒定律可得 ∫gr=金d=-∫口·J=-fds (2.3.19) 当体积V+∞，即拓广到全空间后，对于任何满足平方可积条件 的波函数，当r→∞时，中→0至少应比r32快，因此 .as-0 于是得 是」a-&∫d=0 (2.3.20) 即中~r是个与t无关的常数，从而保证了总可用(2.1.6)式的 方式进行归一化。 几率流守恒定律表明：在非相对论量子力学中，一般说来，粒 子既不能产生，也不会湮灭。体系的总粒子数守恒。粒子必然会在 全空间中出现。这是个必然事件，几率为1。 (5)定态问题：现在讨论薛定谔方程的一个重要特例：势能U 不显含时间t的情况。对体系的波函数(r,t)分离变量，令 (r,t)=(r)f(t) (2.3.21) 代入薛定谔方程(2.3.6)中分离变量后得 31
i影=E (2.3.22) [-7+u]o=Bw (2.3.23) 方程(2.3.22)式的解是 f(t)=Ce- (2.3.24) 将f(t)代入(2.3.21)式中，并将任意常数C归入()内，然后由 归一化条件决定(r,t)中所含的常数，我们总可将(2.3.21)式写 成 (r,t)=(r)e号 (2.3.25) 我们称这时的体系处在定态。由于 I(r,t)|2=(r)|2 (2.3.26) 因此体系处于定态时的几率密度与时间无关。定态薛定谔方程的 能量算符H=一 p+0.(223式可写成 H中=E中 (2.3.27) (2.3.27)式说明，定态薛定谔方程是关于能量算符H的本征方 程，中是本征函数，能量E是相应于这一本征函数的本征值。求解 定态薛定谔方程就是求解能量的本征方程，而求得的相应的本征 值表示体系的能级。 问题1假定将势能U(r)→U(r)+C,C是常数，问粒子的 波函数、能量本征值、定态薛定谔方程给出的几率幅是否改变，如 何改变？ 问题2若4和中：是薛定谔方程的两个解，问积分 中·(r,t)中(r,)dr是否显含时间？ (6)薛定谔方程的边界条件：薛定谔方程是关于空间坐标 32
(x,y,z)的二阶偏微分方程，因此要求出确定的解，必须给出边界 条件。薛定谔方程所满足的边界条件具有非常普遍的特征： ()若势能U(r)处处连续，则薛定谔方程的解，波函数中及波 函数对空间坐标的一级微商也处处连续。 ()若势能U()具有某一不连续的间断点或间断面，则中和 少在这一间断点或面上仍然是连续函数。 (i)若势能U(r)具有一阶奇点，则在奇点处波函数中连续， 但波函数对空间坐标的一级微商可以不连续，在非相对论量子力 学中，在薛定谔方程的意义下，粒子不能穿透势能为无穷大的空间 区域，因此在这些区域内中=0，但在这个区域的边界上，少仍然是 连续函数。 (v)若势能U(r)具有高阶奇点，则在奇点处一般说来中和 都可以不连续。 通常，若势能在全空间均无奇性，则波函数也在全空间中有 限当势能在r=0点发散，且其行为是】(s<2),则4在r=0点 仍然是有限的.但当s≥2时，会出现“朗道坠落”(Landau fall)现 象。我们在以后会深入讨论这个问题。 例18函数势 讨论一维8函数势阱。取 U(x)=-U6(x) (2.3.28) 定态薛定谔方程是 將+梁B-Ux)沙=0 (2.3.29) 现在来求E<0的束缚态解。令 k=2mE7形，v(x）=2mW2=-V,6x, 无2 V。=2mmU 33
(2.3.29)式化为 -k+V8(x)4=0 dx (2.3.30) 取e为任意小正数，(2.3.30)式对x作积分，积分区间取为 （-e,十e)得 (e)-(-e)-hr+V(0)=0(2.3.31) 令e→0+，(2.3.31)式变成 $(0*)一(0)=-V中(0) (2.3.32) (2.3.32)式说明，在势能的一阶奇点处，中不连续.但中在x=0 处仍然是连续函数。这和上述关于边界条件的讨论一致。 为求出体系的波函数和能级，取试解 (x)~e- (2.3.33) 则由于x'={x/x,得 (2.3.34) '(0+)-4(0)=-2k(0) (2.3.35) 对比边界条件(23.32)式，得是一堂一.另外，直接将 (2.3.33)式代入(2.3.30)式后可证明，(x)~e-川满足 (2.3.30)式.因而(x)确实是解。归一化后得 )=√死。学 (2.3.36) 相应的能级是 E= 一方2k2 (2.3.37) 2m 2方2 34
(2.3.36)和(2.3.37)式表明，8势阱中的粒子，总有一个束缚态。 (x)对于x是个偶对称的波函数，随着|x|的增加，中指数衰减。 §2.4一维方势阱 从本节起，我们将深入讨论在各种不同势场下薛定谔方程的 求解问题先考虑一维情况。 1.一维无限深势阱 讨论一维薛定谔方程在势场 V(x)= /0 lxl<a oo≥a (2.4.1) 下的解。由于在{x|≥a处，势场为无限大，因此粒子出现的几率 为0.薛定谔方程和边界条件为 z<a (2.4.2) (5=0 lxl≥a 在|x<a区域内的通解是 =Asinax+Bcosax a=2架1 (2.4.3) 利用边界条件|=。=0及|--。=0，得 Asinaa+Bcosaa =0 (2.4.4) -Asinaa Bcosaa =0 解是： 0A=0,Oa=0,a=2盟， (n是奇数) ()B=0,sinoa=0,a=,(m是偶数) 35