A-7众*gm (1.4.4) 当V=150V时，A≈0.1nm;当V=10V时，A≈0.0122nm,相应 的入都很短。在光学中我们知道，当光波波长与客体尺度可相比拟 时，波动性重要，几何光学必须被波动光学代替。同样，只有在微观 世界中，例如对于原子，其线度约为10nm,与相应的德布罗意波 长可相比拟，波动性才显著。处理这样的微观粒子，不能用经典力 学，而只能用波动力学。 l927年，戴维孙(Davission)和革末(Germer)的实验，证实了 电子德布罗意波的存在，他们将电子束投射到金属镍单晶上，观测 电子束强度和散射角9之间的关系。电子束的强度可通过加速电 压V控制.他们发现，散射电子束的强度随0而改变。当8取某些确 定值时，散射电子束的强度极大散射束强度的极大值满足类似于 X射线在单晶中衍射的公式 nλ=asin0(n=1,2,3,…) (1.4.5) 式中，λ就是德布罗意波长，a是镍单晶平面的光栅常数。这就证明 了电子确实具有波动性，而且德布罗意关系正确。 30年代以后的许多实验，进一步证实，不仅电子，而且其他 切实物粒子，如中子、质子等也都有衍射现象，都有波动性，而且德 布罗意关系对所有这些粒子都成立。实际上，一切物体都有波动 性。不过宏观物体的质量很大，由(1.4.3)式可见，其德布罗意波 长很小。入远远小于物体的线度，因而波动性隐而不显。 本章小结 1.经典物理学不能解释：黑体辐射、光电效应、原子光谐、原子稳定性、固体 比热、束缚态电子比热、振动比热等问题。 2.引入量子化假设e=v及玻尔模型后，可以解释经典物理学的困难。 3.实验表明，微观粒子具有波粒二象性。自由粒子满足德布罗意关系： 16
e=hv,p=k。 习题 1.1试利用普朗克公式证明维恩位移律。 1.2设一电子为电势差V所加速，最后打在靶上。若电子的动能转化为一个 光子，求当这光子相应的光波波长分别为500nm(可见光)，0.lnm(X射 线)以及0.0001nm(Y射线)时，加速电子所需的电势差是多少？ 1,3求下列各粒子的德布罗意波的波长： Gi)能量为100eV的自由电子： Gi)能量为0.1eV的自由中子； (i)能量为0.1eV,质量为1g的质点； Gw)温度为T=1K时，具有动能E=多T(k为玻耳兹曼常数)的氨原 子。 1.4利用玻尔量子化条件求： ()一维谐振子的能量， ()在均匀磁场中作圆周运动的电子的可能轨道半径。 1.5设箱的长宽高分别为a,b,c,用玻尔量子化条件求箱内运动粒子的能量， 1.6宏观世界里，量子现象常常可以被忽略。对下列的各种情况，在数值上加 以证明： (i)长l=1m,质量m=1kg的单摆的零点振荡的振幅： (i)质量m=5g以速度v=10cm/s向一高为5cm,宽为1cm的刚性障 碍物运动的子弹的透射几率； (i)质量m=0.1kg以速度。=0.5m/s运动的刚球，被大小为 1×1.5m2的窗子所衍射。 1.7在时间t=0时有一高斯波包f(x)=e量，证明： ()将高斯波包作傅里叶分解后，若k为第k个分波的波数，则有 △x"AkA≈1。 ()高斯波包在介质中运动时，必然引起扩散，而且波包愈狭，扩散愈 快。 12
第二章 波动力学基础 §2.1波函数的统计解释 按照德布罗意的观念，和每个粒子相联系的，都有一个波。怎 么理解粒子性和波动性之间的联系，这是量子力学首先碰到的一 个根本问题。 能否认为波由粒子所组成？答案是否定的。因为粒子束的单缝 或双缝等实验表明，若减小入射粒子流的强度，让粒子近似地一个 个地从粒子源射出，实验发现，虽则开始时底片上的感光点是无 规则的，但只要时间足够长，感光点足够多，底片上仍会出现衍射 花样。这说明，粒子的衍射现象与是否有其他粒子无关，如果波由 粒子组成，波的干涉、衍射等现象必然依赖于粒子间的相互作用。 这和上述实验结果矛盾。实际上，单个粒子也有波动性。 那么，能否认为粒子由波所组成，比方，是否可以认为粒子就 是波包？答案也是否定的。以自由粒子为例。对于自由粒子，由于不 受外力场的作用，粒子的能量ε和动量p均为常数。按德布罗意关 系(1.4.1)和(1.4.2)式，和自由粒子相联系的波的频率“，波矢k 均为常数及常矢量。因此和自由粒子相联系的波是平面波。在量子 力学中，波函数取为复数。平面波是 中=Aer-)=Aepr…B） (2.1.1) 其振幅A与坐标无关.因此它充满全空间。若认为自由粒子由波组 成，则一个自由粒子将占据整个空间，这当然是不合理的。非但如 此，由于自由粒子的德布罗意波满足 18
E=w= 方2k2 2m (2.1.2) 因此群速度是 (2.1.3) 相速度是 “== (2.1.4) (2.1.4)式表明，相速度“是k的函数，因而必然存在色散。如果把 自由粒子看成是个物质波的波包，即使在真空中，也会因为存在色 散而使粒子自动解体。这当然与实际情况不符。 在历史上，对波粒二象性和波函数的解释，一直是有争议的。 即使到现代，也仍然有不同观点。而且持不同观点的人有些还是量 子力学的奠基人之一，但被物理学家们普遍接受的波函数的解释 是玻恩(M.Born)提出的统计解释，他认为，粒子在衍射或干涉实 验中所揭示的波动性质，既可以看成是大量粒子在同一个实验中 的统计结果，也可以认为是单个粒子在许多次相同实验中显示的 统计结果。感光底片在「处的强度，与打在该点的粒子数成正比， 也和波函数在该点的振幅的绝对值的平方成正比。波函数所刻划 的实际上是粒子在某时刻在空间的几率分布。事实上，通常波动性 总是指某种物理量在空间的分布呈周期性变化，并且由于波的相 干叠加，而出现干涉和衍射等现象。而在玻恩的统计解释中，他保 留了波的最重要的特性一相干叠加，不过，他把“某种物理量” 改为“粒子出现的几率”。玻恩提出的波函数统计解释是：波函数在 某一时刻在空间中某一点的强度，即其振幅绝对值的平方和在这 一点中找到粒子的几率成正比，和粒子相联系的波是几率波 按照波函数的统计解释，有： (1)由于(r,t)2给出在t时刻，粒子出现在r处的几率密 度，因此原则上我们可由统计平均值公式
lyf(r)odr (f(r)》= (2.1.5) 中灿r 求出描述体系状态的力学量f()的平均值。在这种意义下，一般 认为，(r,)描述了微观粒子的运动状态，即量子态。然而应该指 出，在量子力学中对量子态的描述和经典力学中对状态的描述有 根本不同。在经典力学中描述状态靠给定一些力学量，如广义动 量，广义坐标等等，在热力学中描述体系的宏观状态靠给出一些宏 观量，如压强、温度、体积以及状态方程。但在量子力学中，描述粒 子的量子态靠给定波函数，但中本身不是力学变量，也不具有任 何经典物理学中物理量的意义。由中所给定的只是在它所描述的 量子态中，测量某力学量的平均值或者这个力学量的各种可能值 和出现这些可能值的相应的几率。至于这种描述是否完备以及在 这种描述的背后是否还隐藏着某些更深刻的东西，或者某些“隐变 数”，这是争论极多的问题。有兴趣的读者可参阅本书的最后一章。 (2)由于粒子在某一时刻在空间中某点出现的几率应该单 值，因此，除个别孤立奇点外，波函数少(r,)应该是r的单值、有界 和连续函数 (3)在非相对论量子力学中，若仅限于波函数的统计解释，则 因统计解释中只涉及波函数的振幅，因此存在下述不确定性： ()常数因子的不确定性。若C为常数，则(r,)和C(r,t) 描述同一个物理状态。因为它们的相对几率相同： l()2lC4,)? 1br2,=1C2,) 中和C少表示同一个几率波。通常，C由总的几率为1的归一条件决 定。 (ii)相角的不确定性。由于(r,t)与(r,t)e(a为实常数)的 模相同，因此α不定，这说明，只限于统计解释还不能完全穷尽对 波函数的认识。越来越多的实验事实证明，波函数的位相是非常重 20