华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第十二章（12.9）二阶常系数非齐次线性微分方程

§12.9二阶常系数非齐次线性微分方程 f(x)=Pn(x)e型 二、x)=e[P(x)osam+P(x) sina]型 方程y"+py+q=fx)称为二阶常系数非齐次线性 微分方程,其中p、q是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应 的齐次方程的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个 特解y=y*(x)之和 Y(x)+y*(x) 首页 页 返回 结束

§12.9 二阶常系数非齐次线性微分方程 一、 f(x)=Pm (x)e x型 二、f(x)=e x [Pl (x)coswx+Pn (x)sinwx]型 首页 上页 返回 下页 结束 铃 方程y+py+qy=f(x)称为二阶常系数非齐次线性 微分方程 其中p、q是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应 的齐次方程的通解y=Y(x)与非齐次方程本身的一个 特解y=y*(x)之和 y=Y(x)+y*(x)

f(x)=Pn(x)e型 设方程y"+py+q=Pn(x)e特解形式为*=O(x)e,则得 Q(x)+(24+)Q(x)+(2+p+q)Q(x)=Pn(x)-(大) 提示 y*+py*+qy*-[Q(x)e]+[Qx)eay+qQ(x)e Q"(x)+2Q(x)+2Q(x)]ex+pQ(x)+x)ex+qQ(x)ex [Q"(x)+(2A+p)g(x)+(+p+q)Q(x)]lx 首页上页返回下 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、 f(x)=Pm (x)e x 型 提示 =[Q(x)+(2+p)Q(x)+( 2+p+q)Q(x)]e x  =[Q(x)+2Q(x)+ 2Q(x)]e x+p[Q(x)+Q(x)]e x+qQ(x)e x y*=Q(x)e x 设方程y+py+qy=P  m (x)e x 特解形式为 下页 Q(x)+(2+p)Q(x)+( 2+p+q)Q(x)=Pm (x) ——(＊) 则得 =[Q(x)e x ]+[Q(x)e x ]+q[Q(x)e x y*+py*+qy* ]

f(x=P (x)e型 设方程y"+py+q=Pn(x)e特解形式为*=O(x)e,则得 Q(x)+(24+p)Q(x)+(02+p+q)Q(x)=Pn(x) (大) (1)如果不是特征方程尸2+p+q=0的根,则y*=Qn(x)e 提示 此时2+p2+g≠0 要使()式成立,Q(x)应设为m次多项式: 2m(x)=borm+b rm-l+.+bm-jx+b 首页 上页 返回 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示 此时 2+p+q0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm (x)=b0 x m+b1 x m−1+    +bm−1 x+bm  (1)如果不是特征方程r 2+pr+q=0的根则y*=Qm (x)e x  下页 y*=Q(x)e x 设方程y+py+qy=P  m (x)e x 特解形式为 Q(x)+(2+p)Q(x)+( 2+p+q)Q(x)=Pm (x) ——(＊) 则得 一、 f(x)=Pm (x)e x 型

fx)=Pn(x)e型 设方程y"+py+q=Pn(x)e特解形式为*=O(x)e,则得 Q(x)+(24+p)Q(x)+(02+p+q)Q(x)=Pn(x) (大) (1)如果不是特征方程尸2+p+q=0的根,则y*=Qn(x)e (2)如果是特征方程产2+p+q=0的单根,则y*=xQn(x)e 提示 此时2+p4+q=0,但22+p≠0 要使(*)式成立,Qx)应设为m+1次多项式:Q(x)=xQn(x) 其中Q(x)b+bxm-4+…+bmx+bm 厂首页页 返回 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、 f(x)=Pm (x)e x 型 提示 此时 2+p+q=0但2+p0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m+1次多项式 Q(x)=xQm (x) 其中Qm (x)=b0 x m +b1 x m−1+    +bm−1 x+bm  (2)如果是特征方程r 2+pr+q=0的单根 则y*=xQm (x)e x  下页 (1)如果不是特征方程r 2+pr+q=0的根则y*=Qm (x)e x  y*=Q(x)e x 设方程y+py+qy=P  m (x)e x 特解形式为 Q(x)+(2+p)Q(x)+( 2+p+q)Q(x)=Pm (x) ——(＊) 则得

fx)=Pn(x)e型 设方程y"+py+q=Pn(x)e特解形式为*=O(x)e,则得 Q(x)+(24+p)Q(x)+(02+p+q)Q(x)=Pn(x) (大) (1)如果不是特征方程尸2+p+q=0的根,则y*=Qn(x)e (2)如果是特征方程产2+p+q=0的单根,则y*=xQn(x)e (3)如果是特征方程产2+p+q=0的重根,则y*=x2Qn(x)e 提示 此时2+p4+q=0,22+p=0 要使(*)式成立,Q(x)应设为m+2次多项式:Q(x)=x2n(x) 其中Q(x)bn+b1xm-1+…+bnx+bn 首页上页返回 页结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、 f(x)=Pm (x)e x 型 提示 此时 2+p+q=0 2+p=0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m+2次多项式 Q(x)=x 2Qm (x) 其中Qm (x)=b0 x m+b1 x m−1+    +bm−1 x+bm  (3)如果是特征方程r 2+pr+q=0的重根 则y*=x 2Qm (x)e x  下页 (2)如果是特征方程r 2+pr+q=0的单根 则y*=xQm (x)e x  (1)如果不是特征方程r 2+pr+q=0的根则y*=Qm (x)e x  y*=Q(x)e x 设方程y+py+qy=P  m (x)e x 特解形式为 Q(x)+(2+p)Q(x)+( 2+p+q)Q(x)=Pm (x) ——(＊) 则得