§12.7高阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程举例 二、线性微分方程的解的结构 自
一、二阶线性微分方程举例 二、线性微分方程的解的结构 §12.7 高阶线性微分方程 首页 上页 返回 下页 结束 铃
二阶线性微分方程举例 ◆二阶线性微分方程 二阶线性微分方程的一般形式为 y+P(x)y'+o(y-fe) 若方程右端fx)=0时,方程称为齐次的,否则称为非齐次的. 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、二阶线性微分方程举例 ❖二阶线性微分方程 下页 二阶线性微分方程的一般形式为 y+P(x)y+Q(x)y=f(x) 若方程右端f(x)0时 方程称为齐次的 否则称为非齐次的
例1设有一个弹性系数为c的弹簧,上端固定,下端挂一 质量为m的物体.给物体一个初始速度v后,物体在平衡位置 附近作上下振动,物体受到的阻力的大小与运动速度成正比, 比例系数为μ.取x轴铅直向下,并取物体的平衡位置为坐标原 点,物体的位置x是t的函数x().则x()所满足的微分方程为 x +2n+k2x=0 其中2n=2,k2=C 如果物体还受到铅直扰力F=Hinp的作用, O中 +2n -+k2x=hsin pt 其中h= H 例详解首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 2 2 0 2 2 + +k x= dt dx n dt d x 其中 m n 2 = m c k 2 = 如果物体还受到铅直扰力F=Hsinpt的作用 其中 m H h= k x h pt dt dx n dt d x 2 sin 2 2 2 则 + + = 例1详解 下页 例1 设有一个弹性系数为c的弹簧 上端固定 下端挂一个 质量为m的物体 给物体一个初始速度v0后 物体在平衡位置 附近作上下振动 物体受到的阻力的大小与运动速度成正比 比例系数为 取x轴铅直向下 并取物体的平衡位置为坐标原 点 物体的位置x是t的函数x(t) 则x(t)所满足的微分方程为
例2设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成 的电路,其中R、L、及C为常数,电源电动势是时间的函数 E= E Sino,这里En及也是常数 设时刻电容器两极板间的电压为u,则v满足微分方程 的+2du +oru sin at LC R 其中B R 2L LC 如果电容器经充电后撤去外电L E 源(E=0),则上述方程成为 d21 +q-g K +2B-+c062=0 2详解 自 返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 设时刻t电容器两极板间的电压为uc 则uc满足微分方程 t LC E u dt du dt d u m c c c 2 0 2 sin 2 2 + + = 其中 L R 2 = LC 1 0 = 如果电容器经充电后撤去外电 源(E=0) 则上述方程成为 2 0 2 0 2 2 + + c = c c u dt du dt d u 例2详解 首页 例2 设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成 的电路 其中R、L、及C为常数 电源电动势是时间t的函数: E=Em sint 这里Em及也是常数
二、线性微分方程的解的结构 令定理1(齐次方程的解的叠加原理) 如果函数y(x)与y2(x)是方程y+Px)y+Q(x)=0的两个解, 那么y=Cv(x)+C2y2(x)也是方程的解,其中C1、C2是任意常数 简要证明这是因为 (Cu1+C22)"+P(x)(Cu1+C22)+Q(xCw1+C2y2) =(Cuy1′+C2y2")+P(x)(C1+C2y2)+Q(x)(Cu1+C2y2) CIv +P()y1+Q(x)y+C2Dv2 +P(x)y2+2()y2l 0+0=0. 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、线性微分方程的解的结构 简要证明 这是因为 ❖定理1(齐次方程的解的叠加原理) 下页 如果函数y1 (x)与y2 (x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的两个解 那么y=C1 y1 (x)+C2 y2 (x)也是方程的解 其中C1、C2是任意常数 (C1 y1+C2 y2 )+P(x)(C1 y1+C2 y2 )+Q(x)(C1 y1+C2 y2 ) =C1 [y1 +P(x)y1 +Q(x)y1 ]+C2 [y2 +P(x)y2 +Q(x)y2 ] =0+0=0 =(C1 y1 +C2 y2 )+P(x)(C1 y1 +C2 y2 )+Q(x)(C1 y1+C2 y2 )