《复合材料力学分析》课程教学课件（讲稿）第2章 各向异性材料的弹性力学基础

应变-应力关系（柔度矩阵）S110.8S1S16StS14S15S22S12S26S2S24S2n02S23SS36S34S13S330303S46S24S44S45S14S34CA04SsSsoSisS35S45Ss6505S6S26S36S46&6S56S6666, = S,oj使用简写符号柔度分量、模量分量重复指标求和约定：0,=C,2023/2/1516

柔度分量、模量分量                                               =                           6 5 4 3 2 1 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 5 6 1 4 2 4 3 4 4 4 4 5 4 6 1 3 2 3 3 3 3 4 3 5 3 6 1 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 6 5 4 3 2 1 S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S i ij j i ij j S C     = = 应变-应力关系（柔度矩阵） 2023/2/15 16 使用简写符号， 重复指标求和约定：

1Maya二VaaNua,aaa,e-VyaOaE.EuGyaGaeGayEa81-VayMaa,yayy-VayMusydy80E.GuaGanGayEaE.1Mu8saarnMayee-V88-Vua8gdaEuE.GayEaGysGma三Yya1Ma,yaMaresHoa,ysay,yrMusyaTyaGyaEuGayEaE.GasYoa1MaanMa，bsMyajeaWoNy.aaTonGoyEaEuEaGaaGyaYoy1a,yHon,ayMaayMuataa,ayTayGayE,E.GyaEaGaa式中Ea、E、E分别表示a、y、轴方向的拉伸弹性模量;Gu.GaGay分别表示yazaay平面方向的剪切模量；V、VasVy是三个坐标方向的泊松比，第一下标表示作用力的方向，而第二下标是表示由作用力起伸缩的方向，uazy称作第一类相互影响系数aaa…称作第二类相互影响系数，它们反映拉-剪相互耦合作用；系数az、awaau称作钦卓夫（H.T.HeHIOB)系数，反映两个不同坐标面方向上剪切的耦合效应

刚度矩阵的对称性在刚度矩阵C中有36个常数，但在材料中，实际常数小于36个。首先证明C，的对称性：当应力作用产生d&的增量时，单位体积的功的增量为：dW=o,de;由o=Cjde,得：dW=C,de,de积分得：W-1/2 Cij9j8iawawaw同理=Cj=Cjic00;0000000C,的脚标与微分次序无关：Ci=Cji刚度矩阵是对称的，只有21个常数是独立的2023/2/1518

刚度矩阵的对称性 在刚度矩阵Cij中有36个常数，但在材料中，实际常数小 于36个。首先证明Cij的对称性： 当应力i作用产生di的增量时，单位体积的功的增量为： dW= i di 由i= Cij dj 得：dW= Cij dj di 积分得：W=1/2 Cij j i 2 ij j ij i i j W W C C       =  =    2 ji j i W C    =   Cij的脚标与微分次序无关： Cij =Cji 刚度矩阵是对称的，只有21个常数是独立的 同理 2023/2/15 18

dw=ode应变能密度W=C,e,.de,.d(e,o)（弹性势函数）1221/)+0282+0383+T23Y23+T3131+T12/12)-21-2C11e? +C128,82 +C136)E3 +C1461Y23 +C1561Y31 +C1661Y121-21-21-21-22262 +C236283 +C2482Y23 +C25E2Y31 +C268212++336g+C3463123+C353/31+C363312+244/23+C45/23/31+C46/23/12+55731+C5631Y126612任务W(o,)2

应变能密度W （弹性势函数） 1 ( ) 2 i i ij j i ij i j dW d C d C d       =  =  =  1 1 2 2 3 3 23 23 31 31 12 12 2 11 1 12 1 2 13 1 3 14 1 23 15 1 31 16 1 12 2 22 2 23 2 3 24 2 23 25 2 31 26 2 12 2 33 3 34 3 23 35 1 1 2 2 1 ( ) 2 1 2 1 2 1 2 W C i i ij i j C C C C C C C C C C C C C C                                        = = = + + + + + = + + + + + + + + + + + + + 3 31 36 3 12 2 44 23 45 23 31 46 23 12 2 2 55 31 56 31 12 66 12 1 2 1 1 2 2 C C C C C C C              + + + + + + + 任务 ( ) W  i