南京大学：《数值计算方法》课程教学资源（PPT课件）第七章 矩阵特征值和特征向量的数值解法 7.3.2 矩阵的QR分解 7.3.3 QR算法

例73.3设矩阵 210 A=121 试用QR算法(7.3.3)求它的特征值 解令A1=A,并对A作QR分解得

例 7.3.3 设矩阵           = 0 1 4 1 2 1 2 1 0 A 试用 QR 算法(7.3.3)求它的特征值。 解 令 A1 = A ，并对 A1 作 QR 分解得

089447040824801825741-5-2668-04714 A=-0424-0816497-03651480-2419-244990 04082480.91287100 3.286335 OR 于是 00001.09540 A2=Rg1=10954300013416 1.341630000

1 1 1 0 0 3.286335 0 2.449490 2.449490 5 2.236068 0.447214 0 0.408248 0.912871 0.447214 0.816497 0.365148 0.894427 0.408248 0.182574 Q R A =           − − − − −           − − − − − = 于是 0 1.3416 3.0000 1.0954 3.0000 1.3416 3.0000 1.0954 0 2 1 1           − A = R Q = −

同理作A2=R2Q2,又有 3.70590.95580 A=Rg2=095583521409738 0 0.97381.7727 如此下去,可得 4.72330.12990 A=RQ4=0.1299300870.0048 0.00481.2680 4.72820.07810 10F10210 0.07813.0035-0.0020 0.00481.2680

同理作 A2 = R2 Q2 ，又有           = = 0 0.9738 1.7727 0.9558 3.5214 0.9738 3.7059 0.9558 0 A3 R2 Q2 如此下去，可得           = = 0 0.0048 1.2680 0.1299 3.0087 0.0048 4.7233 0.1299 0 A9 R9 Q9           = = − 0 0.0048 1.2680 0.0781 3.0035 0.0020 4.7282 0.0781 0 A10 R10Q10

从A0可以看出,已近似接近对角矩阵,即有特征值 λ1≈4.7282,2≈3:0035,3≈1.2680,与矩阵A的三个精确解 41=3+√3≈47321,42=32=3-√3≈12679 相比,已有良好精确度。随着迭代次数增加,n将收敛到矩阵 A的三个精确特征值

从 A1 0 可以看出，已近似接近对角矩阵，即有特征值 4.7282, 3.0035, 1.2680, 1  2  3  与矩阵 A 的三个精确解 3 3 4.7321, 3, 3 3 1.2679 1 = +  2 = 3 = −  相比，已有良好精确度。随着迭代次数增加，An 将收敛到矩阵 A 的三个精确特征值

定义732设矩阵A=(an)m,如果对>j+1,均有, 则称矩阵A为上 Hessenberg矩阵,即 l1n1213 In 2122023 n 3n nn-1nn 如果a+1≠0(i=1,2,…,n-1),则称矩阵A为不可约上

定义 7.3.2 设矩阵 A = aij nn ( ) ，如果对i  j +1，均有， 则称矩阵 A 为上 Hessenberg 矩阵，即 (7.3.4) 1 3 2 3 3 3 2 1 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 3 1                 = n n− n n n n n a a a a a a a a a a a a a A       如 果 0( 1,2, , 1) ai+1i  i =  n − ， 则 称 矩 阵 A 为 不 可 约 上 Hessenberg 阵