南京大学：《数值计算方法》课程教学资源（PPT课件）第七章 矩阵特征值和特征向量的数值解法 7.3.2 矩阵的QR分解 7.3.3 QR算法

例73.2设矩阵 A=2-1-1 2-45 试作矩阵A=QR分解。 解为直观起见,下面给出H矩阵形式

例 7.3.2 设矩阵           = 2 4 5 2 1 1 1 1 1 - A - - 试作矩阵 A = QR 分解。 解 为直观起见，下面给出 H 矩阵形式

(1)求H1,作A2=H1A。 1°G,=sign(分小 2l1=a1+O1=4,2=2,=(4,2,2) 3p1=a1=3×4=12 1-2-2 12 22-1

(1) 求 H1 ，作 A2 = H1 A。 1 sign ( )( ) 3; 2 3 1 1 2 1 = 11  1 = i=  a ai  2 4, 2, (4,2,2) ; 1 11 1 2 T u = a + = u = u =  3 3 4 12; 1 =1 u1 =  =            = − = − 3 1 2 2 2 1 1 2 2 3 1 1 1 1 - - - - - - - H I uu T 

A2=H1A=00-3 0-33 (2)求H2,作A3=H242=R 2=sgn(a2)∑ e(2)定Sgn(O)=1) 2l1=0,2=a2+a2=3,l3=a3)=-3,=(0,3,-3)

 4           = = 0 3 3 0 0 3 3 3 3 2 1 - - - - A H A (2)求 H2 ，作 A3 = H2 A2 = R 1 sign ( )( ) 3 ( sign (0) 1); 2 2 (2) 2 (2) 2 2 2 2 =  = = = 约定 i  a ai  ( ) 2 0, 3, 3, (0,3, 3) ; 2 2 3 3 2 (2) 1 2 2 2 T u = u = a + = u = a = − u = − 

100 H2=1-p2 uu 001 010 A3=H242=0-3-3=R hH 221 由矩阵乘法可直接验证A=OR

3 9; 2 =  2 u2 =            = − = − 0 1 0 0 0 1 1 0 0 3 1 1 2 2 H I uu T   4 - - R - - A H A =           = = 0 0 3 0 3 3 3 3 3 3 2 2           − − − − − − = = 2 2 1 2 1 2 1 2 2 3 1 Q H1 H2 由矩阵乘法可直接验证 A = QR

7.3.3QR算法 设A=(an)∈R,QR算法是对A进行一系列的 正交相似变换,达到求出矩阵A的全部特征值和相应的 特征向量。算法如下 分解:A=QR 构造:A1=QAQk=RQA(k=1,2,3,) 这里Qk为正交矩阵,Rk为上三角矩阵,且当Rk主对角 元均为正数时,则上述正交三角分解唯

7.3.3 QR算法 设 n n A aij R  = ( ) ，QR 算法是对 A 进行一系列的 正交相似变换，达到求出矩阵 A 的全部特征值和相应的 特征向量。算法如下： 分解： Ak = Qk Rk 构造： ( 1,2,3,...) A +1 = Q Ak Qk = Rk Qk k = T k k 这里 Qk 为正交矩阵，Rk 为上三角矩阵，且当 Rk 主对角 元均为正数时，则上述正交三角分解唯一